Congruence CAC

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Dans $\triangle ABC$ , quel angle est compris entre les côtés $AB$ et $BC$ ?
1. a)Aucun des trois
2. b) $\angle A$
3. c) $\angle C$
4. d) $\angle B$
Réponse: $\angle B$
$AB$ et $BC$ se rejoignent en $B$ , donc l'angle compris est $\angle B$ .
2.
Quelles informations prouvent $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CAC ?
1. a) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $CA = FD$
2. b) $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
3. c) $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $AB = DE$
4. d) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle A = \angle D$
Réponse: $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
$AB$ et $BC$ se rejoignent en $B$ , $DE$ et $EF$ en $E$ , donc $\angle B = \angle E$ est l'angle compris. Le deuxième choix est CCA, le troisième ACA et le quatrième CCC.
3.
$\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ ont $AB = DE = 5$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ et $BC = EF = 12$ cm. Dans $\triangle ABC$ , $AC = 13$ cm. Quelle est la longueur de $DF$ , en cm ?
Réponse: 13
Les angles droits sont compris entre les côtés égaux, donc $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CAC. $DF$ est homologue de $AC$ , donc $DF = 13$ cm.
4.
Les segments $AE$ et $BD$ se coupent en $C$ . $\angle ACB = 48°$ . Combien mesure $\angle DCE$ , en degrés ?
Réponse: 48
$\angle ACB$ et $\angle DCE$ sont opposés par le sommet, donc égaux : $\angle DCE = 48°$ . C'est l'angle caché qu'utilisent les démonstrations CAC avec des segments sécants.
5.
Deux triangles ont deux paires de côtés égaux et une paire d'angles égaux, mais l'angle n'est pas compris entre les côtés égaux. Que peux-tu conclure ?
1. a)Congrus par ACA
2. b)Rien de sûr : c'est CCA
3. c)Congrus par CAC
4. d)Congrus par CCC
Réponse: Rien de sûr : c'est CCA
C'est CCA, qui n'est pas un critère de congruence : les mêmes données peuvent donner deux triangles différents. Rien n'est certain.
6.
Dans $\triangle PQR$ et $\triangle XYZ$ : $PQ = XY$ , $\angle Q = \angle Y$ et $\angle R = \angle Z$ . Quel critère prouve $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ ?
1. a)CCC
2. b)ACA
3. c)AAC
4. d)CAC
Réponse: AAC
Le côté compris entre $\angle Q$ et $\angle R$ serait $QR$ , mais le côté connu est $PQ$ . Deux angles et un côté non compris : AAC.
7.
Dans $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ : $AB = DE$ , $AC = DF$ et $\angle A = \angle D$ . Quelle affirmation est correcte ?
1. a) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CAC
2. b) $\triangle ABC \cong \triangle EDF$ par CAC
3. c) $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ par CAC
4. d)Pas assez d'informations : c'est CCA
Réponse: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CAC
$AB$ et $AC$ se rejoignent en $A$ , donc $\angle A$ est compris : c'est CAC, pas CCA. Avec $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ (car $AB = DE$ ) et $C \leftrightarrow F$ , on obtient $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .
8.
Dans le quadrilatère $ABCD$ , $AB = CB$ et $\angle ABD = \angle CBD$ . Si $\angle BAD = 95°$ , combien mesure $\angle BCD$ , en degrés ?
Réponse: 95
$AB = CB$ , $\angle ABD = \angle CBD$ et le côté commun $BD$ donnent $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ par CAC. $\angle BCD$ est homologue de $\angle BAD$ , donc il mesure $95°$ .
9.
Les segments $AE$ et $BD$ se coupent en $C$ , milieu des deux segments. $AB = 3x + 1$ et $ED = 2x + 6$ (en cm). Trouve $x$ .
Réponse: 5
$AC = CE$ , $BC = CD$ et les angles opposés par le sommet en $C$ donnent $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ par CAC, donc $AB = ED$ : $3x + 1 = 2x + 6$ , donc $x = 5$ (les deux côtés mesurent alors 16 cm).
10.
Combien de triangles $ABC$ différents ont $\angle A = 30°$ , $AB = 12$ et $BC = 8$ ?
Réponse: 2
La hauteur vaut $12 \div 2 = 6$ . Comme $6 < 8 < 12$ , le côté $BC$ atteint la droite $AC$ en deux points : 2 triangles. C'est pourquoi CCA n'est pas un critère.
11.
$\triangle ABC$ : $AB = BC = 7$ cm et $\angle B = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = EF = 7$ cm et $\angle E = 40°$ . Trouve $\angle D$ .
Réponse: 70
1. À quel sommet se trouve l'angle entre les côtés AB et BC ? B
2. Quel critère prouve que les triangles sont congrus ? CAC
3. Comme AB = BC, les angles en A et en C sont égaux. Combien mesure ∠A, en degrés ? 70
4. ∠D est homologue de ∠A. Combien mesure ∠D, en degrés ? 70
12.
Les segments $AE$ et $BD$ se coupent en $C$ , avec $AC = CE = 6$ cm et $BC = CD = 4$ cm. Si $AB = 8$ cm, quelle est la longueur de $DE$ ?
Réponse: 8
1. ∠ACB et ∠ECD sont-ils égaux ? oui
2. Quel critère prouve △ACB ≅ △ECD ? CAC
3. Quelle est la longueur de DE, en cm ? 8
13.
Dans le quadrilatère $ABCD$ : $AB = AD$ , $\angle BAC = \angle DAC = 32°$ et $\angle ABC = 118°$ . Trouve $\angle BCD$ .
Réponse: 60
1. Quel côté △ABC et △ADC ont-ils en commun ? AC
2. Combien mesure ∠ACB, en degrés ? 30
3. △ABC ≅ △ADC par CAC. Combien mesure ∠ACD, en degrés ? 30
4. Combien mesure ∠BCD, en degrés ? 60
14.
$\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ ont $AB = DE = 6$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ et $BC = EF = 8$ cm. Trouve le périmètre de $\triangle DEF$ .
Réponse: 24
1. Quel critère prouve △ABC ≅ △DEF ? CAC
2. Quelle est la longueur de AC, en cm ? 10
3. Quelle est la longueur de DF, en cm ? 10
4. Quel est le périmètre de △DEF, en cm ? 24
15.
$\triangle PQR$ et $\triangle STU$ ont $PQ = ST = 10$ et $\angle Q = \angle T = 55°$ . De plus $QR = 2y + 3$ et $TU = 15$ . Pour quelle valeur de $y$ les triangles sont-ils congrus par CAC ?
Réponse: 6
1. Quel côté de △PQR doit être égal à TU ? QR
2. Quelle doit être la valeur de QR ? 15
3. Résous 2y + 3 = 15. Que vaut y ? 6
16.
Deux triangles différents ont $\angle A = 30°$ , $AB = 8$ et $BC = 5$ . De combien $AC$ est-il plus long dans le grand triangle que dans le petit ?
Réponse: 6
1. Quelle est la hauteur de B au-dessus de la droite AC ? 4
2. Combien de triangles différents sont possibles ? 2
3. À quelle distance du pied de la hauteur se trouve chaque point C possible ? 3
4. De combien le plus grand AC dépasse-t-il le plus petit ? 6
17.
Les diagonales $AC$ et $BD$ du quadrilatère $ABCD$ se coupent en $M$ , milieu des deux. $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 8$ cm et $BC = 5$ cm. Trouve le périmètre de $ABCD$ .
Réponse: 26
1. Quelle est la longueur de CM, en cm ? 4.5
2. Quel critère prouve △AMB ≅ △CMD ? CAC
3. Quelle est la longueur de CD, en cm ? 8
4. De même, △BMC ≅ △DMA. Quelle est la longueur de AD, en cm ? 5
5. Quel est le périmètre de ABCD, en cm ? 26
18.
Quatre paires de triangles sont décrites ci-dessous. Pour chaque paire, décide si les triangles sont sûrement congrus, puis compte combien de paires le sont.
Réponse: 2
1. Paire 1 : deux côtés et l'angle compris entre eux sont égaux. Sûrement congrus ? oui
2. Paire 2 : deux côtés et un angle non compris entre eux sont égaux. Sûrement congrus ? non
3. Paire 3 : les trois angles sont égaux. Sûrement congrus ? non
4. Paire 4 : deux angles et un côté non compris entre eux sont égaux. Sûrement congrus ? oui
5. Combien des quatre paires sont sûrement congrues ? 2