Guide de l'enseignant: Congruence CAC

Démontre que deux triangles sont congrus avec deux côtés et l'angle compris, repère les éléments égaux cachés et comprends pourquoi CCA ne suffit pas.

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Quiz de classe

10 questions sur Congruence & Similitude. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer le critère CAC et repérer l'angle compris entre deux côtés
Expliquer avec un contre-exemple pourquoi CCA ne prouve pas la congruence
Trouver les éléments égaux cachés dans une figure : angles opposés par le sommet, côtés communs, milieux et bissectrices
Utiliser les éléments homologues après CAC pour trouver des côtés et des angles inconnus
Choisir le bon critère (CCC, CAC, ACA, AAC) à partir des informations données

Prérequis

• Introduction à la congruence : ce que sont des figures congrues et le symbole de congruence
• Triangles congrus : éléments homologues et énoncés de congruence
• Congruence ACA et AAC : éléments compris et non compris
• Somme des angles d'un triangle et angles opposés par le sommet

Amorces de discussion

1. Si tu connais deux longueurs de côtés d'un triangle, que dois-tu encore savoir pour tracer un seul triangle ?
2. Pourquoi est-il important de savoir si l'angle est entre les deux côtés ou non ?
3. Peux-tu trouver des angles opposés par le sommet ou des côtés communs autour de toi, par exemple dans une paire de ciseaux ou un cadre de fenêtre ?
4. Comment pourrais-tu mesurer la largeur d'une rivière sans la traverser ?

Idées reçues courantes

Deux côtés quelconques et un angle quelconque prouvent la congruence

Remédiation: Construis le cas CCA au compas : trace un angle de $30°$ , reporte $AB = 10$ et trace depuis $B$ un cercle de rayon $6$ . Les élèves voient le cercle couper l'autre demi-droite deux fois et obtiennent deux triangles.

CAC et CCA sont la même chose, écrite dans un autre ordre

Remédiation: Insiste sur le fait que les lettres décrivent des positions, pas une simple liste. Dans CAC, le A est entre les deux C ; dans CCA, il ne l'est pas. Fais colorier les deux côtés et vérifier si l'angle se trouve là où ils se rejoignent.

Seuls les éléments donnés avec des nombres comptent

Remédiation: Montre des figures avec des segments qui se croisent et des côtés communs. Demande aux élèves de marquer chaque paire égale avant de nommer un critère, y compris celles que personne n'a écrites.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donne une liste de vérification : trouve les deux côtés, trouve leur point commun, l'angle est-il à ce point ?
• Surligne chaque paire d'éléments homologues d'une couleur différente
• Commence par des triangles dans la même orientation avant les triangles tournés ou retournés

Pour les élèves au niveau:

• Mélange des cas CCC, CAC, ACA, AAC et CCA et demande aux élèves de les trier
• Rédige de courtes démonstrations utilisant des angles opposés par le sommet ou un côté commun
• Utilise les éléments homologues après CAC pour trouver des côtés et des angles manquants

Pour les élèves avancés:

• Cherche quand CCA donne zéro, un ou deux triangles en comparant le côté opposé à la hauteur
• Démontre avec CAC et la bissectrice que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux
• Montre avec CAC qu'un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu a des côtés opposés égaux

Alignement aux standards

HSG-CO.B.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.7)
Utiliser la définition de la congruence par les isométries pour montrer que deux triangles sont congrus si et seulement si leurs côtés et angles homologues sont égaux
HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)
Expliquer comment les critères de congruence des triangles (ACA, CAC et CCC) découlent de la définition de la congruence par les isométries
HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Utiliser les critères de congruence et de similitude des triangles pour résoudre des problèmes et démontrer des relations dans des figures géométriques

Ressources de la leçon

visualPaire de triangles CAC
Deux triangles avec les côtés égaux et l'angle compris marqués ; le second est tourné et retourné
activityPailles et charnière
Les élèves fixent deux pailles à un angle donné et comparent le troisième côté, puis essaient CCA avec une paille qui pivote
worksheetChasse aux éléments cachés
Figures avec des angles opposés par le sommet et des côtés communs ; les élèves marquent chaque paire égale et nomment le critère

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Le critère CAC (côté-angle-côté) dit : si deux côtés d'un triangle et l'angle compris entre eux sont respectivement égaux à deux côtés d'un autre triangle et à l'angle compris entre eux, alors les deux triangles sont congrus.

\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DEF

L'angle doit être l'angle compris : l'angle formé par les deux côtés donnés. Son sommet est le point commun aux deux côtés. Pour les côtés

AB

BC

, ce point est

B

, donc l'angle compris est

\angle B

Pourquoi ça marche : imagine deux baguettes reliées par une charnière. Dès que la longueur des baguettes et l'ouverture de la charnière sont fixées, la distance entre les extrémités libres est fixée aussi. Le troisième côté n'a qu'une longueur possible, donc il n'y a qu'un triangle possible.

Attention : deux côtés et un angle qui n'est pas compris entre eux (CCA) ne prouvent pas la congruence. Le côté opposé à l'angle peut parfois pivoter vers deux positions différentes et donner deux triangles différents.

Exemples résolus

Dans

\triangle ABC

AB = 6

cm,

\angle B = 50°

BC = 8

cm. Dans

\triangle DEF

DE = 6

cm,

\angle E = 50°

EF = 8

cm. Les triangles sont-ils congrus ? Si

AC \approx 6{,}2

cm, quelle est la longueur de

DF

Liste les éléments égaux

AB = DE = 6

cm,

BC = EF = 8

cm,

\angle B = \angle E = 50°

→ Deux paires de côtés et une paire d'angles

Vérifie que l'angle est compris

Les côtés

AB

BC

se rejoignent en

B

; les côtés

DE

EF

se rejoignent en

E

→

\angle B

\angle E

sont les angles compris

Applique CAC

Deux côtés et l'angle compris sont égaux →

\triangle ABC \cong \triangle DEF

Utilise les éléments homologues

AC

correspond à

DF

(première et troisième lettres) →

DF = AC \approx 6{,}2

Réponse: Oui, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CAC, donc $DF \approx 6{,}2$ cm.

Erreurs courantes

Utiliser CAC alors que l'angle n'est pas entre les deux côtés

Pourquoi c'est faux: Deux côtés et un angle non compris (CCA) peuvent décrire deux triangles différents, comme le montre l'exemple $30°$ , $10$ , $6$ .

Correct: Cherche le point commun aux deux côtés. Seul l'angle à ce sommet peut servir pour CAC.

Associer les sommets dans le mauvais ordre

Pourquoi c'est faux: Écrire $\triangle ABC \cong \triangle FED$ alors que $B$ correspond à $E$ et $A$ à $D$ associe les mauvais éléments et mène à de fausses conclusions.

Correct: Écris les sommets dans l'ordre des correspondances. Si $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ , écris $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

Croire qu'il manque une information parce qu'un élément n'est pas écrit dans l'énoncé

Pourquoi c'est faux: Les angles opposés par le sommet et les côtés communs sont égaux même si personne ne le dit. Les élèves les oublient et abandonnent une démonstration qui fonctionne.

Correct: Avant de décider, cherche des segments qui se croisent (angles opposés par le sommet) et un côté qui appartient aux deux triangles (côté commun).

Utiliser les éléments homologues avant d'avoir prouvé la congruence

Pourquoi c'est faux: Les éléments homologues sont égaux seulement parce que les triangles sont congrus. Sans cette preuve, tu supposes ce que tu veux démontrer.

Correct: Démontre d'abord $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (par exemple par CAC), puis déduis les autres éléments égaux.

Pourquoi c'est important

CAC est l'un des outils les plus utilisés dans les démonstrations de géométrie, car les informations nécessaires sont souvent données gratuitement :

Angles opposés par le sommet : quand deux segments se croisent, les angles opposés sont égaux, tu as donc déjà l'angle
Côtés communs : quand deux triangles partagent un côté, ce côté est égal à lui-même
Milieux et bissectrices : un milieu donne deux segments égaux, une bissectrice donne deux angles égaux

Une fois que CAC a prouvé que deux triangles sont congrus, toutes les autres paires d'éléments homologues sont égales aussi. C'est ainsi que les géomètres mesurent la largeur d'un étang qu'ils ne peuvent pas traverser, et que les menuisiers savent que deux tréteaux ouverts au même angle sont identiques.

Applications dans le monde réel

Tréteaux pliants

Les tréteaux, les escabeaux et les chevalets sont faits de deux pieds reliés par une charnière. La longueur des pieds et l'angle d'ouverture déterminent toute la forme.

Exemple:

Deux chevalets ont chacun des pieds de 150 cm ouverts à $25°$ à la charnière. Par CAC, les triangles qu'ils forment sont congrus, donc leurs pieds sont écartés de la même distance.

1Essaie par toi-même

Un menuisier fabrique deux tréteaux. Chacun a deux pieds de 90 cm, et les deux sont bloqués pour que l'angle à la charnière soit de $30°$ .

Quel critère de congruence garantit que les deux tréteaux sont identiques ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis le critère :

Mesurer la largeur d'un étang

Les géomètres utilisent CAC pour trouver une distance qu'ils ne peuvent pas parcourir, en construisant une copie congrue du triangle sur la terre ferme.

Exemple:

Pour mesurer $AB$ à travers un étang, on choisit un point $C$ sur la rive. On prolonge $AC$ au-delà de $C$ jusqu'à $D$ avec $CD = AC$ , et $BC$ au-delà de $C$ jusqu'à $E$ avec $CE = BC$ . Les angles en $C$ sont opposés par le sommet, donc $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ par CAC et $DE = AB$ .

2Essaie par toi-même

Une géomètre mesure $AC = 30$ m et $BC = 24$ m depuis le point $C$ . Elle place $D$ et $E$ comme décrit, puis mesure $DE = 42$ m.

Quelle est la largeur de l'étang, de $A$ à $B$ , en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre la longueur de $AB$ en mètres :

Les aiguilles d'une horloge

Les deux aiguilles d'une horloge sont deux côtés de longueur fixe, et l'heure fixe l'angle entre elles.

Exemple:

À 2 h et à 10 h, l'angle entre les aiguilles est de $60°$ les deux fois, donc par CAC les pointes sont à la même distance l'une de l'autre aux deux heures.

3Essaie par toi-même

Une horloge a une petite aiguille de 3 cm et une grande aiguille de 4 cm. À 3 h, les aiguilles forment un angle droit et leurs pointes sont à 5 cm l'une de l'autre.

À quelle distance, en cm, sont les pointes à 9 h ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre la distance en cm :

Points clés

1CAC : si deux côtés et l'angle compris d'un triangle sont égaux à ceux d'un autre triangle, les triangles sont congrus
2L'angle compris est au sommet commun aux deux côtés : pour $AB$ et $BC$ , c'est $\angle B$
3CCA n'est pas un critère : deux côtés et un angle non compris peuvent donner deux triangles différents
4Cherche les éléments égaux cachés : angles opposés par le sommet là où des segments se croisent, un côté commun, des milieux et des bissectrices
5Après avoir prouvé la congruence, utilise les éléments homologues pour trouver les autres côtés et angles
6Critères valables : CCC, CAC, ACA, AAC. Configurations non valables : CCA et AAA

Questions fréquentes

Pourquoi CCA n'est-il pas un critère de congruence ?

Parce que le côté opposé à l'angle donné peut pivoter comme un compas et couper le troisième côté en deux points. Avec

\angle A = 30°

AB = 10

BC = 6

, tu obtiens deux triangles, l'un avec

AC \approx 5{,}34

et l'autre avec

AC \approx 11{,}98

CCA fonctionne-t-il parfois ?

Oui, dans un cas particulier : quand l'angle donné est opposé au plus long des deux côtés donnés, un seul triangle est possible. L'exemple le plus connu est un angle droit opposé à l'hypoténuse (le critère hypoténuse-côté). En général, n'utilise pas CCA.

CAC est-il un axiome ou un théorème ?

Beaucoup de manuels admettent CAC comme axiome (une règle de base sans démonstration) et s'en servent pour démontrer ACA et CCC. Euclide l'a démontré dans sa proposition 4 en posant un triangle sur l'autre. Dans tous les cas, tu peux l'utiliser dans tes démonstrations.

Comment choisir entre CCC, CAC, ACA et AAC ?

Compte ce que tu connais. Trois côtés : CCC. Deux côtés : vérifie si l'angle connu est entre eux (CAC) ou non (CCA, pas de conclusion). Deux angles : vérifie si le côté connu est entre eux (ACA) ou non (AAC).

Glossaire

Congruence CAC: Deux triangles sont congrus si deux côtés et l'angle compris de l'un sont égaux à deux côtés et l'angle compris de l'autre
Angle compris: L'angle formé par deux côtés donnés ; son sommet est leur extrémité commune
CCA: Deux côtés et un angle non compris ; ce n'est pas un critère de congruence, car deux triangles différents sont possibles
Angles opposés par le sommet: Les angles opposés formés par deux droites sécantes ; ils sont toujours égaux
Côté commun: Un côté qui appartient à deux triangles à la fois ; il est égal à lui-même
Éléments homologues de triangles congrus: Une fois deux triangles prouvés congrus, tous leurs côtés et angles correspondants sont égaux

Carte des formules

Critère CAC

AB = DE,\ \angle B = \angle E,\ BC = EF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

L'angle doit être entre les deux côtés

Critères valables

\text{CCC},\ \text{CAC},\ \text{ACA},\ \text{AAC}

Chacun détermine un seul triangle

Configurations non valables

\text{CCA},\ \text{AAA}

CCA peut donner deux triangles ; AAA fixe la forme mais pas la taille

Éléments homologues

\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AC = DF,\ \angle A = \angle D,\ \angle C = \angle F

À utiliser seulement après avoir prouvé la congruence

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