Congruence CCC

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelles informations suffisent pour démontrer avec CCC que deux triangles sont congrus ?
1. a)Deux paires de côtés égaux
2. b)Trois paires d'angles égaux
3. c)Trois paires de côtés égaux
4. d)Des périmètres égaux
Réponse: Trois paires de côtés égaux
CCC demande trois paires de côtés congrus. Des périmètres égaux ou deux paires de côtés ne suffisent pas, et trois angles égaux ne prouvent que la similitude.
2.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC. $AB = 7$ , $BC = 9$ et $CA = 4$ . Quelle est la longueur de $EF$ ?
Réponse: 9
Les lettres aux mêmes positions se correspondent : $B \leftrightarrow E$ et $C \leftrightarrow F$ . Donc $EF = BC = 9$ .
3.
Un triangle a des côtés de 5 cm, 6 cm et 8 cm. Un autre a des côtés de 6 cm, 8 cm et 5 cm. Sont-ils congrus ?
1. a)Seulement si les deux sont rectangles
2. b)Non, les côtés sont dans un autre ordre
3. c)Non, il faut aussi un angle
4. d)Oui, par CCC
Réponse: Oui, par CCC
Les deux triangles ont des côtés de 5, 6 et 8, seulement cités dans un autre ordre. Trois paires de côtés égaux, donc ils sont congrus par CCC.
4.
Calcule la longueur du côté de $A(1, 2)$ à $B(4, 6)$ .
Réponse: 5
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
5.
Dans $\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $BC = 10$ , $CA = 8$ . Dans $\triangle PQR$ : $PQ = 8$ , $QR = 10$ , $RP = 6$ . Vérifie si les triangles sont congrus par CCC.
Réponse: 3
1. Quelle est la longueur du plus petit côté de $\triangle ABC$ ? 6
2. Quelle est la longueur du plus petit côté de $\triangle PQR$ ? 6
3. Quelle est la longueur du plus grand côté dans les deux triangles ? 10
4. Combien y a-t-il de paires de côtés égaux ? 3
6.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC. $DE = 12$ , $EF = 15$ et $FD = 9$ . Quel est le périmètre de $\triangle ABC$ ?
Réponse: 36
$AB = 12$ , $BC = 15$ , $CA = 9$ , donc le périmètre vaut $12 + 15 + 9 = 36$ .
7.
Dans $\triangle KLM$ : $KL = 6$ , $LM = 10$ , $MK = 7$ . Dans $\triangle STU$ : $ST = 10$ , $TU = 7$ , $US = 6$ . Quel énoncé de congruence est correct ?
1. a) $\triangle KLM \cong \triangle STU$
2. b) $\triangle KLM \cong \triangle SUT$
3. c) $\triangle KLM \cong \triangle UST$
4. d) $\triangle KLM \cong \triangle TUS$
Réponse: $\triangle KLM \cong \triangle UST$
Paires : $KL = US = 6$ , $MK = TU = 7$ , $LM = ST = 10$ . $K$ (côtés 6 et 7) correspond à $U$ , $L$ (côtés 6 et 10) à $S$ , $M$ (côtés 7 et 10) à $T$ . Donc $\triangle KLM \cong \triangle UST$ .
8.
Un côté d'un triangle va de $C(-2, 3)$ à $D(4, -5)$ . Quelle est sa longueur ?
Réponse: 10
$CD = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
9.
$\triangle ABC$ a pour sommets $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ , $C(0, 4)$ . $\triangle DEF$ a pour sommets $D(5, 1)$ , $E(5, 4)$ , $F(1, 1)$ . Vérifie CCC avec la formule de la distance.
Réponse: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
1. Quelle est la longueur de $BC$ , de $(3, 0)$ à $(0, 4)$ ? 5
2. Quelle est la longueur de $DE$ , de $(5, 1)$ à $(5, 4)$ ? 3
3. Quelle est la longueur de $DF$ , de $(5, 1)$ à $(1, 1)$ ? 4
4. Quelle est la longueur de $EF$ , de $(5, 4)$ à $(1, 1)$ ? 5
10.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC. $AB = 3x - 4$ , $DE = x + 6$ , $BC = 2y + 1$ et $EF = 15$ . Trouve $x$ , $AB$ et $y$ .
Réponse: $x = 5$ , $AB = 11$ , $y = 7$
1. Résous $3x - 4 = x + 6$ . Combien vaut $x$ ? 5
2. Quelle est la longueur de $AB$ ? 11
3. Résous $2y + 1 = 15$ . Combien vaut $y$ ? 7
11.
Un carré et un losange ont tous deux quatre côtés de longueur 4, mais ils ne sont pas congrus. Pourquoi cela ne contredit-il pas CCC ?
1. a)Les quadrilatères ne sont pas rigides : des côtés égaux ne fixent pas les angles
2. b)Leurs côtés ne sont pas vraiment égaux
3. c)CCC ne marche que pour les triangles rectangles
4. d)Un losange a cinq côtés
Réponse: Les quadrilatères ne sont pas rigides : des côtés égaux ne fixent pas les angles
CCC est un critère réservé aux triangles. Un quadrilatère n'est pas rigide : avec les mêmes quatre côtés, ses angles peuvent encore changer, donc un carré peut être poussé en losange.
12.
Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = CD = 7$ , $BC = DA = 8$ et la diagonale $AC = 13$ . $\angle ABC = 120°$ . Montre que $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ et trouve $\angle CDA$ .
Réponse: $\angle CDA = 120°$
1. Quelle est la longueur du côté commun aux deux triangles ? 13
2. Combien de paires de côtés égaux ont $\triangle ABC$ et $\triangle CDA$ ? 3
3. Combien de degrés mesure $\angle CDA$ ? 120
13.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC, avec $D(1, 2)$ et $E(7, 10)$ . Quelle est la longueur de $AB$ ?
Réponse: 10
$DE = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ . Comme $AB$ et $DE$ sont des côtés homologues, $AB = 10$ .
14.
$\triangle ABC$ a pour sommets $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $C(2, 5)$ et $\triangle PQR$ a pour sommets $P(6, -1)$ , $Q(5, -4)$ , $R(2, -2)$ . Compare les carrés des longueurs des côtés pour décider si $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ .
Réponse: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$
1. Combien vaut $AB^2$ ? 10
2. Combien vaut $BC^2$ ? 13
3. Combien vaut $CA^2$ ? 17
4. Combien vaut $PQ^2$ ? 10
5. Combien vaut $QR^2$ ? 13
6. Combien vaut $RP^2$ ? 17
15.
Quel triangle est congru au triangle de sommets $(0, 0)$ , $(4, 0)$ et $(0, 3)$ ?
1. a) $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(0, 3)$
2. b) $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(0, 8)$
3. c) $(1, 1)$ , $(5, 1)$ , $(1, 5)$
4. d) $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Réponse: $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Le triangle donné a des côtés de 4, 3 et $\sqrt{16 + 9} = 5$ . Le triangle $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$ a des côtés de 4, 3 et $\sqrt{9 + 16} = 5$ , il est donc congru par CCC. Les autres ont des côtés de 6, 8, 10 (trop grand), 4, 4, $\sqrt{32}$ et 5, 3, $\sqrt{34}$ .
16.
$\triangle PQR \cong \triangle STU$ par CCC. $PQ = 2x + 3$ , $ST = 4x - 7$ , $QR = x + y$ , $TU = 12$ et $RP = SU = 10$ . Trouve le périmètre de $\triangle PQR$ .
Réponse: 35
1. Résous $2x + 3 = 4x - 7$ . Combien vaut $x$ ? 5
2. Quelle est la longueur de $PQ$ ? 13
3. Utilise $QR = TU$ : $5 + y = 12$ . Combien vaut $y$ ? 7
4. Combien vaut le périmètre $PQ + QR + RP$ ? 35
17.
Dans le cerf-volant $ABCD$ , $AB = AD$ et $CB = CD$ . $\angle BAD = 76°$ et $\angle ABC = 110°$ . Utilise CCC pour $\triangle ABC$ et $\triangle ADC$ afin de trouver $\angle BAC$ et $\angle ADC$ .
Réponse: $\angle BAC = 38°$ , $\angle ADC = 110°$
1. Combien de paires de côtés congrus ont $\triangle ABC$ et $\triangle ADC$ , en comptant le côté commun ? 3
2. $\angle BAC + \angle DAC$ est l'angle entier $\angle BAD$ . Combien de degrés cela fait-il ? 76
3. Les deux angles sont égaux (éléments homologues). Combien de degrés mesure $\angle BAC$ ? 38
4. Combien de degrés mesure $\angle ADC$ ? 110
18.
Un cadre carré de 5 cm de côté est articulé aux coins. On le pousse en un losange avec un angle de $60°$ . Explique avec des nombres pourquoi CCC ne marche pas pour les quadrilatères et comment une entretoise règle le problème.
Réponse: $20$ cm, $5$ cm, $2$
1. Quel est le périmètre du carré en cm ? 20
2. Quel est le périmètre du losange en cm ? 20
3. Quelle est la longueur de la petite diagonale du losange en cm ? 5
4. Une entretoise le long d'une diagonale partage le cadre en combien de triangles ? 2