Retour à la leçon

Guide de l'enseignant: Congruence CCC

Apprends à démontrer que des triangles sont congrus avec le critère CCC (Côté-Côté-Côté), à associer les côtés homologues et à vérifier CCC dans un repère.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Congruence & Similitude. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Énoncer le critère de congruence CCC et expliquer pourquoi il n'a besoin d'aucun angle
  • Associer les côtés homologues et écrire un énoncé de congruence avec les sommets dans le bon ordre
  • Utiliser la formule de la distance pour vérifier CCC pour des triangles dans un repère
  • Rédiger une démonstration en deux colonnes avec CCC, y compris un côté commun et la réflexivité
  • Utiliser les éléments homologues après CCC et expliquer pourquoi CCC échoue pour les quadrilatères
Prérequis
  • • Introduction à la congruence : ce que sont des figures congrues et le symbole ≅\cong
  • • Triangles congrus : éléments homologues et les cinq critères de congruence
  • • Congruence ACA et AAC : comment utiliser un critère dans une démonstration
  • • Le théorème de Pythagore ou la formule de la distance dans un repère
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi les ponts et les grues utilisent-ils des triangles plutôt que des carrés ?
  • 2. Si deux triangles ont le même périmètre, sont-ils toujours congrus ? Trouve un exemple.
  • 3. Comment être sûr de savoir quel sommet d'un triangle correspond à quel sommet de l'autre ?
  • 4. Selon toi, pourquoi CCC n'a besoin d'aucun angle alors qu'ACA et AAC en demandent deux ?
Idées reçues courantes

On peut écrire les sommets dans n'importe quel ordre dans l'énoncé de congruence

Remédiation: Montre △PQR\triangle PQR et △XYZ\triangle XYZ avec PP homologue de YY. Demande aux élèves de lire les côtés homologues dans l'énoncé faux △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ et de les vérifier : PQ=8PQ = 8 mais XY=9XY = 9, donc l'énoncé est faux.

Des côtés égaux donnent toujours la même forme, pour n'importe quel polygone

Remédiation: Fais construire un carré avec quatre pailles et pousse-le. Il devient un losange avec les mêmes côtés. Ajoute ensuite une paille en diagonale : la figure ne bouge plus.

Un côté commun ne compte pas, car il appartient aux deux triangles

Remédiation: Colorie différemment les deux triangles d'un cerf-volant et repasse la diagonale dans les deux couleurs. C'est un côté de chaque triangle, il donne donc la paire AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Donner d'abord les longueurs dans l'ordre correspondant, puis mélanger l'ordre
  • • Utiliser des codages de couleur pour associer les côtés avant d'écrire l'énoncé
  • • Commencer avec des triangles sur papier quadrillé dont les côtés sont horizontaux ou verticaux

Pour les élèves au niveau:

  • • Vérifier CCC avec la formule de la distance pour des côtés obliques
  • • Rédiger des démonstrations en deux colonnes avec un côté commun
  • • Trouver des inconnues dans des triangles congrus avec l'algèbre

Pour les élèves avancés:

  • • Expliquer avec une construction au compas pourquoi trois côtés ne donnent qu'un seul triangle
  • • Démontrer avec CCC et les éléments homologues que la diagonale d'un losange est bissectrice de ses angles
  • • Chercher combien de diagonales rendent rigide un cadre pentagonal
Alignement aux standards
  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Expliquer comment les critères de congruence des triangles (ACA, CAC et CCC) découlent de la définition de la congruence par les isométries

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Utiliser les critères de congruence et de similitude des triangles pour résoudre des problèmes et démontrer des relations dans des figures géométriques

  • 8.G.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.8)

    Appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la distance entre deux points dans un repère

Ressources de la leçon
  • visualPaire de triangles CCC

    Deux triangles congrus, l'un tourné et retourné, avec les trois côtés marqués

  • activityPailles et épingles

    Les élèves construisent un triangle et un quadrilatère avec des pailles et testent lequel peut changer de forme

  • worksheetPreuves CCC avec coordonnées

    Calculer les côtés avec la formule de la distance et décider de la congruence

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Le critère de congruence CCC (Côté-Côté-Côté) dit : si les trois côtés d'un triangle sont congrus aux trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congrus.
Si AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Si } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Alors △ABC≅△DEF\text{Alors } \triangle ABC \cong \triangle DEF
Tu n'as besoin de mesurer aucun angle. Trois longueurs de côtés déterminent complètement un triangle : c'est la rigidité du triangle. Une fois les trois côtés choisis, les angles sont imposés, donc tout triangle ayant ces côtés est le même triangle, seulement déplacé, tourné ou retourné.
Associer les côtés : l'ordre des lettres dans △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF indique quels éléments sont homologues : A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Associe le plus petit côté au plus petit, le moyen au moyen et le plus grand au plus grand, puis écris les sommets dans l'ordre correspondant.
Dans un repère, tu calcules chaque côté avec la formule de la distance :
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Exemples résolus

Dans △ABC\triangle ABC : AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. Dans △DEF\triangle DEF : DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. Les triangles sont-ils congrus ?
1

Compare la première paire de côtés

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Compare la deuxième paire

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Compare la troisième paire

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Applique CCC

Les trois paires de côtés sont congrues → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF par CCC

Erreurs courantes

Écrire les sommets dans le mauvais ordre, comme △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ alors que PP correspond à YY

Pourquoi c'est faux: Un énoncé de congruence promet que les premières lettres se correspondent, de même que les deuxièmes et les troisièmes. L'ordre alphabétique n'est pas l'ordre des correspondances.

Correct: Associe d'abord les côtés selon leur longueur, puis cherche en quels sommets se rejoignent les côtés homologues. Écris les sommets dans cet ordre : △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Croire que CCC marche aussi pour les quadrilatères

Pourquoi c'est faux: Un carré de côté 4 et un losange étroit de côté 4 ont quatre paires de côtés égaux, mais ils ne sont pas congrus. Quatre côtés ne fixent pas les angles.

Correct: Les longueurs des côtés seules ne fixent que la forme d'un triangle. Pour un quadrilatère, il faut aussi des angles ou une diagonale.

Oublier le côté commun dans une démonstration

Pourquoi c'est faux: Quand deux triangles ont un côté en commun, beaucoup d'élèves ne trouvent que deux paires de côtés égaux et s'arrêtent, ou utilisent ce côté sans justification.

Correct: Écris le côté commun comme une affirmation à part, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, avec la justification réflexivité. Il compte comme troisième paire.

Conclure à la congruence à partir de périmètres égaux

Pourquoi c'est faux: Les triangles de côtés 3, 4, 5 et 4, 4, 4 ont tous deux un périmètre de 12, mais leurs formes sont différentes.

Correct: CCC demande trois paires distinctes de côtés égaux, pas seulement la même somme.

Pourquoi c'est important

CCC est le critère que tu peux vérifier avec une simple règle, et il explique pourquoi les triangles sont partout dans la construction :
  • Ponts et toits : un triangle fait de trois poutres fixes ne peut pas changer de forme, c'est pourquoi les charpentes sont faites de triangles. Un cadre carré aux coins articulés s'aplatit en losange, un triangle jamais
  • Fabrication : pour vérifier qu'une pièce triangulaire correspond au gabarit, les ouvriers mesurent seulement les trois côtés
  • Cartes et arpentage : avec des coordonnées, tu peux démontrer que deux parcelles triangulaires sont identiques rien qu'en calculant des distances
  • Démonstrations : CCC est souvent la première étape d'une preuve, puis la propriété les éléments homologues de triangles congrus sont congrus te donne les angles égaux gratuitement
Dans les leçons sur les triangles congrus et sur ACA et AAC, tu as vu les autres critères. CCC est le seul qui n'a besoin d'aucun angle.

Applications dans le monde réel

Fermes de charpente

Les charpentiers construisent les toits avec des triangles identiques, car un triangle aux côtés fixes ne peut pas être déformé.

Exemple:

Chaque ferme d'un abri de jardin est faite de poutres de 3 m, 4 m et 5 m. Par CCC, toutes les fermes sont congrues, donc le toit est le même sur toute sa longueur.

1Essaie par toi-même

Un charpentier construit 12 fermes de toit identiques. Chaque ferme est un triangle fait de poutres de 3 m, 4 m et 5 m.

Combien de mètres de poutre faut-il au total ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Longueur totale de poutre en mètres :

Champs sur un quadrillage de carte

Les urbanistes comparent des parcelles grâce aux coordonnées et à la formule de la distance, sans se déplacer.

Exemple:

Le champ 1 a pour sommets (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) et (0,8)(0, 8), le champ 2 a pour sommets (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) et (18,2)(18, 2). Les deux ont des côtés de 6, 8 et 10 unités, donc ils sont congrus par CCC.

2Essaie par toi-même

Sur une carte, une unité du quadrillage vaut 10 m. Le champ 2 a pour sommets (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) et (18,2)(18, 2).

Quelle est la longueur, en mètres, de la limite oblique du champ 2, de (10,8)(10, 8) à (18,2)(18, 2) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Longueur en mètres :

Contrôle qualité des carreaux

Une usine de carrelage contrôle les carreaux triangulaires avec un gabarit en mesurant les trois côtés.

Exemple:

Le gabarit a des côtés de 12 cm, 15 cm et 20 cm. Un carreau de 20 cm, 12 cm et 15 cm est accepté : l'ordre des mesures n'a pas d'importance, seules les trois paires comptent.

3Essaie par toi-même

Le gabarit a des côtés de 12 cm, 15 cm et 20 cm. Un carreau test a des côtés de 15 cm, 20 cm et xx cm.

Quelle doit être la valeur de xx pour que le carreau soit congru au gabarit ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Valeur de x :

Points clés

  • 1CCC : si les trois côtés d'un triangle sont congrus aux trois côtés d'un autre, les triangles sont congrus
  • 2Aucun angle n'est nécessaire : trois longueurs de côtés déterminent complètement un triangle (rigidité du triangle)
  • 3Associe le plus petit au plus petit, le moyen au moyen, le plus grand au plus grand, puis écris les sommets dans l'ordre correspondant
  • 4Dans un repère, calcule chaque côté avec la formule de la distance d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Un côté commun à deux triangles est congru à lui-même (réflexivité) et compte comme une paire
  • 6Après CCC, les éléments homologues donnent les angles égaux ; CCC ne marche pas pour les quadrilatères

Questions fréquentes

Pourquoi CCC fonctionne-t-il sans aucun angle ?

Essaie de construire un triangle avec trois baguettes de longueur fixe. Une fois les extrémités reliées, il n'y a qu'une seule forme possible, tu ne peux ni ouvrir ni fermer les angles. Tout triangle ayant ces trois côtés est le même triangle, éventuellement tourné ou retourné. C'est pourquoi trois côtés suffisent.

Pourquoi CCC ne marche-t-il pas pour les quadrilatères ?

Quatre baguettes reliées aux coins peuvent encore bouger : un carré de côté 4 peut être poussé en un losange de côté 4. Les côtés restent les mêmes, les angles changent. Une diagonale partage la figure en deux triangles et la rend rigide.

L'ordre des côtés a-t-il de l'importance ?

Pas pour décider de la congruence : des côtés 5, 6, 8 et 8, 5, 6 donnent des triangles congrus. Mais il compte dans l'énoncé de congruence : les lettres des sommets doivent être écrites dans l'ordre correspondant.

Quelle est la différence entre la congruence CCC et la similitude CCC ?

La congruence CCC demande trois paires de côtés égaux, donc les triangles ont la même taille. La similitude CCC demande seulement que les trois rapports des côtés homologues soient égaux, donc un triangle peut être un agrandissement de l'autre.

Glossaire

Critère CCC
Deux triangles sont congrus si leurs trois paires de côtés homologues sont congrues
Côtés homologues
Côtés qui se correspondent dans une congruence ; ils occupent les mêmes positions dans l'énoncé de congruence
Rigidité du triangle
Un triangle aux longueurs de côtés fixes ne peut changer ni de forme ni d'angles
Réflexivité
Tout segment est congru à lui-même ; on l'utilise pour un côté commun à deux triangles
Éléments homologues de triangles congrus
Une fois deux triangles congrus, tous leurs côtés et angles homologues sont égaux
Formule de la distance
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, la longueur du segment entre deux points

Carte des formules

Critère CCC

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Trois paires de côtés congrus prouvent que les triangles sont congrus

Formule de la distance

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Longueur d'un côté à partir des coordonnées de ses extrémités

Réflexivité

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Un côté commun est congru à lui-même

Éléments homologues

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Les éléments homologues de triangles congrus sont congrus

Plus sur ce sujet

Introduction à la congruence

Intermédiaire25 min

Introduction à la similitude

Intermédiaire25 min

Triangles Congrus

Intermédiaire25 min

Similitude AA

Intermédiaire25 min