Guide de l'enseignant: Polygones réguliers

Apprends ce qui rend un polygone régulier, comment trouver ses angles intérieurs, extérieurs et au centre, son périmètre et son aire, et quels polygones réguliers pavent un sol.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Polygones. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Décider si un polygone est régulier en vérifiant les côtés et les angles
Calculer les angles intérieur, extérieur et au centre d'un polygone régulier
Trouver le nombre de côtés d'un polygone régulier à partir d'un angle intérieur ou extérieur
Calculer le périmètre et l'aire d'un polygone régulier avec l'apothème
Expliquer pourquoi seuls les triangles, les carrés et les hexagones réguliers pavent le plan

Prérequis

• Noms des polygones selon le nombre de côtés (Introduction aux polygones, Classer les polygones)
• La somme des angles intérieurs $(n-2) \times 180°$ (Formule de la somme des angles d'un polygone)
• Les angles extérieurs et leur somme de $360°$ (Angles extérieurs des polygones)
• L'aire d'un triangle $\frac{1}{2} \times b \times h$ et le théorème de Pythagore

Amorces de discussion

1. Le carré est-il le seul quadrilatère régulier ? Comment convaincrais-tu un ami ?
2. Pourquoi, à ton avis, les abeilles construisent-elles des hexagones et pas des carrés ou des triangles ?
3. Que devient l'angle intérieur quand un polygone régulier a de plus en plus de côtés ? Peut-il atteindre $180°$ ?
4. Pourquoi est-il plus facile de trouver le nombre de côtés avec l'angle extérieur qu'avec l'angle intérieur ?

Idées reçues courantes

Des côtés égaux suffisent pour qu'un polygone soit régulier

Remédiation: Écrase un carré fait de 4 bâtonnets égaux en losange : les côtés restent égaux, les angles changent. Montre ensuite un rectangle : angles égaux, côtés différents. Régulier exige les deux.

L'apothème et le rayon ont la même longueur

Remédiation: Trace les deux dans un hexagone : le rayon s'arrête à un sommet, l'apothème au milieu d'un côté. L'apothème est un côté de l'angle droit et le rayon l'hypoténuse d'un triangle rectangle, donc le rayon est toujours plus long.

Tout polygone régulier peut paver un sol si on le dispose habilement

Remédiation: Fais essayer avec des pentagones en papier. Calcule ensuite $\frac{360°}{108°} \approx 3{,}33$ : les angles autour d'un point doivent faire exactement $360°$ , donc le nombre doit être entier.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner un tableau avec n, la somme des angles et l'angle intérieur déjà commencé pour n = 3 à 6
• Mesurer les angles de polygones en papier au rapporteur avant d'utiliser les formules
• Donner l'apothème dans chaque problème d'aire

Pour les élèves au niveau:

• Trouver n à partir d'angles intérieurs et extérieurs
• Calculer des aires de polygones réguliers avec un apothème donné
• Expliquer avec les angles quels polygones réguliers pavent le plan

Pour les élèves avancés:

• Trouver l'apothème d'un hexagone ou d'un carré à partir du côté seul
• Étudier le pavage octogones et carrés : pourquoi $135° + 135° + 90° = 360°$ fonctionne-t-il ?
• Montrer que l'aire d'un polygone régulier à n côtés se rapproche de l'aire d'un disque quand n grandit

Alignement aux standards

7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)
Utiliser les propriétés des angles supplémentaires et adjacents pour écrire et résoudre des équations d'un angle inconnu
7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)
Résoudre des problèmes concrets d'aire de figures composées de triangles et de polygones
HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)
Décrire les rotations et les symétries axiales qui envoient un polygone régulier sur lui-même

Ressources de la leçon

visualExplorateur de polygones réguliers
Fais varier le nombre de côtés et observe en direct les angles au centre, intérieur et extérieur, l'apothème, le périmètre et l'aire
activityTest de pavage
Les élèves essaient de couvrir une feuille avec des triangles, carrés, pentagones, hexagones et octogones en papier et notent lesquels laissent des trous
worksheetTableau des polygones réguliers
Remplir un tableau pour n = 3 à 12 avec les angles intérieurs, extérieurs et au centre, puis chercher des régularités

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un polygone régulier a tous ses côtés égaux ET tous ses angles égaux. Les deux conditions sont nécessaires :

Un losange a quatre côtés égaux, mais ses angles ne sont pas tous égaux (par exemple $60°$ et $120°$ ), donc il n'est pas régulier.
Un rectangle a quatre angles égaux ( $90°$ ), mais ses côtés ne sont pas tous égaux, donc il n'est pas régulier.
Un carré a les deux, c'est un quadrilatère régulier.

Tout polygone régulier a un centre

O

, à la même distance de tous les sommets. Les segments qui relient le centre aux sommets découpent un polygone régulier à

n

côtés en

n

triangles isocèles superposables.

**Angles d'un polygone régulier à

n

côtés** (la somme

(n-2) \times 180°

vient de la leçon sur la somme des angles) :

\text{angle intérieur} = \frac{(n-2) \times 180°}{n} \qquad \text{angle extérieur} = \frac{360°}{n} \qquad \text{angle au centre} = \frac{360°}{n}

L'angle au centre est l'angle de sommet

O

formé par les segments qui vont vers deux sommets voisins. Pour un polygone régulier, il est égal à l'angle extérieur.

Longueurs : le rayon

r

va du centre à un sommet, l'apothème

a

va du centre au milieu d'un côté et lui est perpendiculaire.

Périmètre et aire (côté

s

) :

P = n \times s \qquad A = \frac{1}{2} \times P \times a

Pavage : un polygone régulier pave le plan à lui seul seulement si son angle intérieur divise

360°

. Cela marche pour exactement trois : le triangle équilatéral (

60°

), le carré (

90°

) et l'hexagone régulier (

120°

Exemples résolus

Décide quelles figures sont des polygones réguliers : un losange d'angles

70°

110°

, un rectangle de 3 cm sur 5 cm et un triangle équilatéral.

Vérifie le losange

Les 4 côtés sont égaux, mais les angles mesurent

70°

110°

→ Angles pas égaux : pas régulier

Vérifie le rectangle

Les 4 angles mesurent

90°

, mais les côtés mesurent 3 cm et 5 cm → Côtés pas égaux : pas régulier

Vérifie le triangle équilatéral

Les 3 côtés sont égaux et les 3 angles mesurent

60°

→ Régulier

Réponse: Seul le triangle équilatéral est régulier. Le losange échoue sur les angles, le rectangle sur les côtés.

Erreurs courantes

Dire qu'un losange est régulier parce que tous ses côtés sont égaux

Pourquoi c'est faux: Des côtés égaux ne sont que la moitié de la définition. Un losange peut avoir des angles de $60°$ et $120°$ .

Correct: Un polygone est régulier seulement si tous ses côtés ET tous ses angles sont égaux. Vérifie toujours les deux.

Oublier de diviser par $n$ : donner $(n-2) \times 180°$ comme un seul angle intérieur

Pourquoi c'est faux: $(n-2) \times 180°$ est la SOMME de tous les angles intérieurs, $720°$ pour un hexagone, beaucoup trop pour un seul angle.

Correct: Un angle intérieur d'un polygone régulier à $n$ côtés vaut $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$ , pour un hexagone $\frac{720°}{6} = 120°$ .

Trouver $n$ en divisant $360°$ par l'angle INTÉRIEUR

Pourquoi c'est faux: Pour un angle intérieur de $144°$ , cela donne $\frac{360}{144} = 2{,}5$ côtés, ce qui est impossible. Seul l'angle extérieur vérifie $\frac{360°}{n}$ .

Correct: Trouve d'abord l'angle extérieur $180° - 144° = 36°$ , puis $n = \frac{360°}{36°} = 10$ .

Utiliser le côté ou le rayon au lieu de l'apothème dans $A = \frac{1}{2} P a$

Pourquoi c'est faux: Le rayon va jusqu'à un sommet et il est plus long que l'apothème. Seul l'apothème est perpendiculaire au côté, donc seul lui est la hauteur de chaque triangle.

Correct: Utilise l'apothème : la distance perpendiculaire du centre au milieu d'un côté.

Pourquoi c'est important

Les polygones réguliers sont les formes qu'on choisit quand tout doit être équitable, solide ou facile à répéter :

Nature : les abeilles construisent des alvéoles hexagonales. Les hexagones remplissent l'espace sans trou et demandent le moins de cire pour les parois.
Panneaux routiers : le panneau stop est un octogone régulier, les conducteurs reconnaissent sa forme même de dos.
Sols et murs : les carreaux sont des carrés, des triangles ou des hexagones, les seuls polygones réguliers qui couvrent un sol sans trou.
Mécanique : les écrous et les têtes de vis sont des hexagones réguliers, ainsi une clé s'y adapte dans six directions.
Design et construction : kiosques, tables et fenêtres utilisent des octogones et des pentagones réguliers ; l'angle au centre indique au menuisier comment découper chaque pièce.

Avec les formules de cette leçon, tu trouves chaque angle, le périmètre et l'aire d'un polygone régulier à partir du nombre de côtés et d'une seule longueur.

Applications dans le monde réel

Alvéoles et carreaux hexagonaux

Les abeilles et les fabricants de carrelage utilisent des hexagones réguliers, car exactement trois s'ajustent autour d'un point sans trou.

Exemple:

Les carrés s'assemblent par 4 autour d'un point ( $4 \times 90° = 360°$ ), les triangles équilatéraux par 6 ( $6 \times 60° = 360°$ ).

1Essaie par toi-même

Un carreleur veut couvrir le sol d'une salle de bain uniquement avec des hexagones réguliers.

Combien d'hexagones se rejoignent en chaque sommet ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise l'angle plein autour d'un point par un angle intérieur :

Panneaux stop

Un panneau stop est un octogone régulier. Les fabricants utilisent l'aire pour savoir combien de film réfléchissant il faut pour chaque panneau.

Exemple:

Un octogone régulier de côté 25 cm a un apothème d'environ 30,2 cm.

2Essaie par toi-même

Un panneau stop est un octogone régulier de côtés 25 cm et d'apothème 30,2 cm.

Combien de centimètres carrés de film réfléchissant couvrent tout le panneau ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $A = \frac{1}{2} \times P \times a$ :

Le plancher d'un kiosque

Le plancher d'un kiosque octogonal est formé de 8 sections triangulaires en bois identiques qui se rejoignent au centre.

Exemple:

Chaque section a, à sa pointe au centre, l'angle au centre $\frac{360°}{8} = 45°$ .

3Essaie par toi-même

Une menuisière découpe les 8 triangles isocèles du plancher d'un kiosque octogonal régulier.

Sous quel angle doit-elle couper chacun des deux coins de la base d'un triangle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais l'angle au centre de $180°$ et partage le reste équitablement :

Points clés

1Un polygone régulier a tous ses côtés égaux ET tous ses angles égaux ; un losange et un rectangle ne sont pas réguliers
2Angle intérieur d'un polygone régulier à $n$ côtés : $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$
3L'angle extérieur et l'angle au centre valent tous les deux $\frac{360°}{n}$
4Pour trouver $n$ à partir d'un angle intérieur, prends d'abord l'angle extérieur $180° - \text{intérieur}$ , puis $n = \frac{360°}{\text{extérieur}}$
5Périmètre $P = n \times s$ et aire $A = \frac{1}{2} \times P \times a$ , où l'apothème $a$ va du centre au milieu d'un côté
6Seuls le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier pavent un sol à eux seuls, car $60°$ , $90°$ et $120°$ divisent $360°$

Questions fréquentes

Tout triangle à trois côtés égaux est-il régulier ?

Oui. Dans un triangle, des côtés égaux imposent des angles égaux, donc tout triangle équilatéral a trois angles de

60°

. À partir de quatre côtés, ce n'est plus vrai : un losange a des côtés égaux mais peut avoir des angles différents.

Pourquoi l'angle extérieur et l'angle au centre sont-ils égaux ?

Les deux partagent les

360°

d'un tour complet en

n

parts égales : les angles extérieurs sont les

n

virages d'une promenade autour du polygone, les angles au centre sont les

n

parts autour du centre. Donc les deux valent

\frac{360°}{n}

Pourquoi un pentagone régulier ne peut-il pas paver un sol ?

Son angle intérieur mesure

108°

. Trois angles font

324°

et laissent un trou de

36°

, quatre feraient

432°

et se chevaucheraient. Comme

\frac{360}{108}

n'est pas un nombre entier, les pentagones ne peuvent pas s'assembler sans trou.

Combien d'axes de symétrie a un polygone régulier ?

Un polygone régulier à

n

côtés a

n

axes de symétrie, par exemple 6 pour un hexagone régulier. La leçon sur la symétrie des polygones étudie ces axes et les rotations en détail.

Glossaire

Polygone régulier: Un polygone dont tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux.
Centre: Le point à l'intérieur d'un polygone régulier qui est à la même distance de tous les sommets.
Angle au centre: L'angle de sommet le centre, formé par les segments vers deux sommets voisins : $\frac{360°}{n}$ .
Rayon: La distance du centre d'un polygone régulier à un sommet.
Apothème: La distance perpendiculaire du centre d'un polygone régulier au milieu d'un côté.
Pavage: Un motif de figures qui recouvre une surface plane sans trou ni chevauchement.

Carte des formules

Angle intérieur

\frac{(n-2) \times 180°}{n}

Un angle à l'intérieur d'un polygone régulier à $n$ côtés

Angle extérieur et angle au centre

\frac{360°}{n}

Le virage en chaque sommet, et l'angle au centre pour un côté

Nombre de côtés

n = \frac{360°}{\text{angle extérieur}}

Angle extérieur $= 180° - $ angle intérieur

Périmètre

P = n \times s

Nombre de côtés fois la longueur d'un côté

Aire

A = \frac{1}{2} \times P \times a

La moitié du périmètre fois l'apothème $a$

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Alvéoles et carreaux hexagonaux

Panneaux stop

Le plancher d'un kiosque

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Angle intérieur

Angle extérieur et angle au centre

Nombre de côtés

Périmètre

Aire

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