Expressions booléennes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Dans $A \lor B \land \neg C$ (sans parenthèses), quelle opération fait-on en premier ?
1. a)ET ( $\land$ )
2. b)OU ( $\lor$ )
3. c)NON ( $\neg$ )
4. d)De gauche à droite, donc OU
Réponse: NON ( $\neg$ )
On fait d'abord NON : $\neg C$ . Puis ET : $B \land \neg C$ . OU vient en dernier.
2.
Évalue $A \land B$ pour $A = 1$ et $B = 0$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 0
$1 \land 0 = 0$ , car $B$ vaut 0.
3.
Évalue $A \lor \neg B$ pour $A = 0$ et $B = 0$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 1
$\neg 0 = 1$ , donc $0 \lor 1 = 1$ .
4.
Combien de lignes a la table de vérité d'une expression avec les variables $A$ , $B$ et $C$ ?
1. a)3
2. b)6
3. c)9
4. d)8
Réponse: 8
3 variables donnent $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ lignes, et non $2 \times 3 = 6$ .
5.
Évalue $A \land \neg B$ pour $A = 1$ et $B = 1$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 0
1. D'abord NON : que vaut $\neg B$ pour $B = 1$ ? 0
2. Maintenant ET : que vaut $1 \land 0$ ? 0
6.
Évalue $\neg A \lor B$ pour $A = 0$ et $B = 0$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 1
1. Que vaut $\neg A$ pour $A = 0$ ? 1
2. Que vaut $1 \lor 0$ ? 1
7.
Quelle expression signifie la même chose que $A \lor B \land C$ ?
1. a) $(A \land B) \lor C$
2. b) $(A \lor B) \land C$
3. c) $A \land (B \lor C)$
4. d) $A \lor (B \land C)$
Réponse: $A \lor (B \land C)$
ET se fait avant OU, donc les parenthèses entourent $B \land C$ : $A \lor (B \land C)$ .
8.
Évalue $A \lor B \land C$ pour $A = 1$ , $B = 1$ , $C = 0$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 1
$B \land C = 1 \land 0 = 0$ , puis $1 \lor 0 = 1$ . De gauche à droite, on obtiendrait à tort $(1 \lor 1) \land 0 = 0$ .
9.
Évalue $\neg(A \land B) \lor C$ pour $A = 1$ , $B = 1$ , $C = 0$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 0
1. D'abord la parenthèse : que vaut $A \land B$ ? 1
2. Que vaut $\neg(A \land B)$ ? 0
3. Que vaut $0 \lor C$ pour $C = 0$ ? 0
10.
Évalue $\neg A \land B \lor A \land \neg B$ pour $A = 1$ et $B = 0$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 1
1. Que vaut $\neg A$ ? 0
2. Que vaut $\neg B$ ? 1
3. Que vaut $\neg A \land B$ ? 0
4. Que vaut $A \land \neg B$ ? 1
5. Enfin OU : quelle est la valeur de toute l'expression ? 1
11.
Sur combien de lignes de sa table de vérité $\neg A \land B$ vaut-elle 1 ?
Réponse: 1
$\neg A \land B = 1$ seulement pour $A = 0$ et $B = 1$ : c'est 1 ligne sur 4.
12.
Quelle est la colonne finale de $A \lor \neg B$ pour les lignes $AB$ = 00, 01, 10, 11 ?
1. a)0, 1, 1, 1
2. b)1, 0, 1, 1
3. c)1, 1, 0, 1
4. d)0, 1, 0, 0
Réponse: 1, 0, 1, 1
$A$ : 0, 0, 1, 1 OU $\neg B$ : 1, 0, 1, 0 donne 1, 0, 1, 1. L'expression vaut 0 seulement pour $A = 0$ et $B = 1$ .
13.
Construis la table de vérité de $\neg(A \lor B)$ . Sur combien de lignes vaut-elle 1 ?
Réponse: 1
1. Combien de lignes la table a-t-elle ? 4
2. Sur combien de lignes $A \lor B$ vaut-elle 1 ? 3
3. NON inverse chaque ligne. Sur combien de lignes $\neg(A \lor B)$ vaut-elle 1 ? 1
14.
Sur combien de lignes de sa table de vérité $A \land B \lor C$ vaut-elle 1 ?
Réponse: 5
$C = 1$ sur 4 des 8 lignes. Parmi les lignes où $C = 0$ , seule $A = B = 1$ (ligne 110) donne $A \land B = 1$ . Total : $4 + 1 = 5$ lignes.
15.
Construis la table de vérité de $A \land (B \lor C)$ . Sur combien de lignes vaut-elle 1 ?
Réponse: 3
1. Combien de lignes la table a-t-elle ? 8
2. Sur combien de lignes $B \lor C$ vaut-elle 1 ? 6
3. Maintenant ET avec $A$ : sur combien de lignes $A$ et $B \lor C$ valent-elles 1 toutes les deux ? 3
16.
Construis la table de vérité de $A \land B \lor A \land \neg B$ . Quelle expression lui est équivalente ?
1. a) $A \land B$
2. b) $A$
3. c) $A \lor B$
4. d) $B$
Réponse: $A$
Pour $AB$ = 00, 01, 10, 11 : $A \land B$ vaut 0, 0, 0, 1 et $A \land \neg B$ vaut 0, 0, 1, 0. OU donne 0, 0, 1, 1, exactement la colonne de $A$ .
17.
Compare les tables de vérité de $A \lor B \land C$ et de $(A \lor B) \land C$ . Sur combien de lignes diffèrent-elles ?
Réponse: 2
1. Combien de lignes chaque table a-t-elle ? 8
2. Sur combien de lignes $A \lor (B \land C)$ vaut-elle 1 ? 5
3. Sur combien de lignes $(A \lor B) \land C$ vaut-elle 1 ? 3
4. Sur combien de lignes les deux colonnes finales diffèrent-elles ? 2
18.
Évalue $\neg(A \land B \lor \neg C)$ pour $A = 1$ , $B = 0$ , $C = 1$ . Réponds 1 pour vrai ou 0 pour faux.
Réponse: 1
1. Dans la parenthèse, d'abord NON : que vaut $\neg C$ ? 0
2. Puis ET : que vaut $A \land B$ ? 0
3. Puis OU : quelle est la valeur dans la parenthèse ? 0
4. Enfin le NON extérieur : quelle est la valeur de toute l'expression ? 1