Guide de l'enseignant: Portes logiques

Découvre comment les portes ET, OU, NON, XOR, NAND et NOR transforment des 1 et des 0 en décisions, et comment trouver la sortie d'un petit circuit.

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Quiz de classe

10 questions sur Logique booléenne. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Expliquer ce qu'est une porte logique et ce que représentent les entrées et sorties 1 et 0
Connaître les tables de vérité des portes ET, OU, NON, XOR, NAND et NOR
Trouver la sortie d'un circuit de 2 ou 3 portes pour des entrées données
Écrire l'expression booléenne d'un circuit décrit en mots
Décrire des usages réels des portes logiques, comme les alarmes et le demi-additionneur

Prérequis

• Les opérations ET, OU et NON et leurs tables de vérité (L'opération ET, L'opération OU, L'opération NON)
• Construire des tables de vérité à 2 et 3 variables (Tables de vérité)
• Évaluer des expressions booléennes avec parenthèses (Propositions booléennes composées, Expressions booléennes)

Amorces de discussion

1. Chez toi, où une décision est-elle prise avec ET (deux choses doivent être vraies) ? Où avec OU ?
2. La lumière d'un escalier peut s'allumer en haut et en bas. Quelle porte décrit cela, et pourquoi ?
3. Pourquoi une usine pourrait-elle préférer fabriquer toutes ses puces avec un seul type de porte ?
4. Comment une machine qui ne connaît que 1 et 0 peut-elle additionner des nombres comme 25 + 17 ?

Idées reçues courantes

OU veut dire l'un ou l'autre, mais pas les deux

Remédiation: Dans la vie courante, ou veut souvent dire ou bien. Place les colonnes OU et XOR côte à côte et montre la ligne avec les entrées 1, 1. Prends une sonnette avec un bouton à la porte d'entrée et un à la porte de derrière : si on appuie sur les deux en même temps, elle sonne quand même (OU).

$1 + 1 = 2$ est aussi vrai pour les portes

Remédiation: Rappelle que la sortie d'une porte est un seul fil, qui ne peut être qu'allumé ou éteint. Écris $1 + 1 = 1$ (OU) à côté de $1 + 1 = 10_2$ (addition binaire avec un demi-additionneur) et discutez de la différence.

Dans un circuit, chaque porte travaille avec les entrées de départ

Remédiation: Fais écrire la valeur de chaque fil, porte après porte, comme dans une course de relais où chaque coureur ne reçoit le témoin que du coureur précédent.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer seulement avec ET, OU et NON, avec l'image d'un interrupteur (allumé = 1, éteint = 0)
• Donner une table des portes imprimée à consulter pendant la lecture des circuits
• Utiliser des circuits de 2 portes seulement, avec les entrées déjà indiquées

Pour les élèves au niveau:

• Suivre des circuits de 3 portes pour plusieurs combinaisons d'entrées
• Écrire l'expression booléenne de circuits décrits en mots, et l'inverse
• Construire la table du demi-additionneur et y reconnaître les portes XOR et ET

Pour les élèves avancés:

• Montrer comment construire NON, ET et OU uniquement avec des portes NAND
• Concevoir un circuit de majorité à trois entrées et compter ses lignes de sortie 1
• Se renseigner sur l'additionneur complet et sur la façon dont 4 d'entre eux additionnent deux nombres de 4 bits

Alignement aux standards

CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 (MP4)
Modéliser avec les mathématiques
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Être précis
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Repérer et utiliser les structures

Ressources de la leçon

visualTable interactive des portes
Les élèves passent d'une porte à l'autre parmi les six, lisent chaque table de vérité et voient le symbole des portes ET, OU, NON et XOR
activityLe circuit humain
Les élèves jouent les portes, lèvent des cartes 1 ou 0 et transmettent leur sortie à l'élève suivant du circuit
worksheetSuis le circuit
Des circuits de 2 et 3 portes décrits en mots : trouver la sortie et écrire l'expression booléenne

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une porte logique est un minuscule circuit électronique avec une ou deux entrées et une sortie. Chaque entrée et chaque sortie vaut soit 1, soit 0 :

1 = tension présente (haute), ce qui veut dire vrai
0 = pas de tension (basse), ce qui veut dire faux

Chaque porte effectue une opération booléenne. Les portes sont la version matérielle des opérations ET, OU et NON vues dans les leçons précédentes.

Les portes à deux entrées (entrées

A

B

, les lignes commencent par

0, 0

) :

$A$	$B$	ET	OU	XOR	NAND	NOR
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0	0

La porte NON (aussi appelée inverseur) n'a qu'une entrée et l'inverse : l'entrée 0 donne la sortie 1, l'entrée 1 donne la sortie 0.

Comment les retenir :

ET (AND) : sortie 1 seulement si les deux entrées valent 1
OU (OR) : sortie 1 si au moins une entrée vaut 1
XOR (OU exclusif) : sortie 1 si les entrées sont différentes
NAND (NON-ET) : le contraire de ET, sortie 0 seulement si les deux entrées valent 1
NOR (NON-OU) : le contraire de OU, sortie 1 seulement si les deux entrées valent 0

Notation : les ingénieurs écrivent souvent

A \cdot B

pour ET,

A + B

pour OU et

\overline{A}

pour NON. Cela veut dire exactement la même chose que

A \land B

A \lor B

\neg A

. XOR s'écrit

A \oplus B

, NAND s'écrit

\overline{A \cdot B}

et NOR s'écrit

\overline{A + B}

. Attention : ici

1 + 1 = 1

, car

+

veut dire OU.

Un circuit relie des portes : la sortie d'une porte devient une entrée de la suivante. Pour trouver la sortie finale, va des entrées vers la sortie, une porte après l'autre.

Le tableau interactif de cette leçon appelle les entrées

A

B

et écrit 1 et 0. Il dessine le symbole de chaque porte, NAND et NOR compris.

Exemples résolus

Les entrées sont $A = 1$ et $B = 0$ . Trouve la sortie d'une porte ET, OU, XOR, NAND et NOR.

Porte ET

ET demande que les deux entrées vaillent 1, mais $B = 0$ → ET : $0$

Porte OU

OU demande au moins un 1, et $A = 1$ → OU : $1$

Porte XOR

Les entrées $1$ et $0$ sont différentes → XOR : $1$

Porte NAND

NAND est le contraire de ET : ET a donné $0$ , on l'inverse → NAND : $1$

Porte NOR

NOR est le contraire de OU : OU a donné $1$ , on l'inverse → NOR : $0$

Réponse: ET $= 0$ , OU $= 1$ , XOR $= 1$ , NAND $= 1$ , NOR $= 0$ . NAND et NOR sont toujours le contraire de ET et de OU.

Erreurs courantes

Croire qu'une porte OU donne $0$ quand les deux entrées valent $1$

Pourquoi c'est faux: Ça, c'est la porte XOR. OU vaut 1 si au moins une entrée vaut 1, et cela inclut le cas où les deux valent 1.

Correct: OU : $1 \lor 1 = 1$ . XOR : $1 \oplus 1 = 0$ . Seul XOR exige que les entrées soient différentes.

Lire $A + B$ comme une addition ordinaire et écrire $1 + 1 = 2$

Pourquoi c'est faux: Dans la notation des portes, $+$ veut dire OU, et la sortie d'une porte ne peut valoir que 0 ou 1.

Correct: Avec les portes, $1 + 1 = 1$ (OU). La valeur 2 n'apparaît que lorsqu'on additionne des nombres binaires, et elle s'écrit alors $10$ avec un chiffre de retenue.

Prendre NAND pour NON A ET NON B, c'est-à-dire $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Pourquoi c'est faux: NAND inverse la sortie de ET, pas les entrées. Pour $A = 1$ , $B = 0$ : NAND donne $\overline{1 \cdot 0} = 1$ , mais $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$ .

Correct: NAND $= \overline{A \cdot B}$ : d'abord ET, puis NON. La barre couvre tout le produit.

Envoyer les entrées de départ dans la dernière porte d'un circuit

Pourquoi c'est faux: Dans un circuit, chaque porte reçoit seulement les fils qui lui sont reliés. La dernière porte reçoit en général les sorties des portes précédentes, pas A, B et C.

Correct: Va des entrées vers la sortie, écris la sortie de chaque porte à côté d'elle et utilise ces valeurs pour la porte suivante.

Pourquoi c'est important

Chaque appareil numérique que tu possèdes est construit avec des portes logiques :

Puces électroniques : un processeur contient des milliards de transistors câblés en portes, et tout ce qu'il fait (additionner, comparer, mémoriser) se ramène à ET, OU et NON sur des 1 et des 0
Additionner des nombres : deux portes, un XOR et un ET, suffisent pour additionner deux chiffres binaires, et des chaînes de tels circuits additionnent des nombres entiers
Alarmes et systèmes de sécurité : une alarme sonne quand elle est activée ET que la porte d'entrée OU une fenêtre est ouverte
Voitures et machines : le témoin de ceinture s'allume quand le moteur tourne ET que la ceinture n'est PAS attachée ; une presse ne fonctionne que si les deux mains appuient sur deux boutons (ET)
Éclairage à la maison : une lampe qu'on peut allumer de deux endroits (escalier, couloir) est un circuit XOR

Dans les leçons précédentes, tu as écrit des expressions booléennes sur papier. Les portes logiques sont ces mêmes expressions construites en matériel : savoir lire un circuit, c'est savoir lire la langue des ordinateurs.

Applications dans le monde réel

Les alarmes

Une alarme de maison est un petit circuit logique : les capteurs donnent 1 ou 0, les portes décident si la sirène reçoit 1.

Exemple:

Avec l'interrupteur d'activation $A$ , le capteur de la porte d'entrée $D$ et le capteur de fenêtre $W$ , l'alarme sonne quand $Y = A \land (D \lor W) = 1$ .

1Essaie par toi-même

Une alarme utilise $Y = A \land (D \lor W)$ : $A = 1$ quand le système est activé, $D = 1$ quand la porte d'entrée est ouverte, $W = 1$ quand la fenêtre est ouverte.

Pour combien de combinaisons d'entrées possibles l'alarme sonne-t-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de combinaisons d'entrées comme une puissance de 2 :

Additionner dans une puce

Chaque addition d'un ordinateur est construite avec des demi-additionneurs et des additionneurs complets faits de portes.

Exemple:

Un demi-additionneur calcule le chiffre de somme $S = A \oplus B$ et le chiffre de retenue $C = A \land B$ de deux chiffres binaires.

2Essaie par toi-même

Un demi-additionneur reçoit les entrées $A = 1$ et $B = 1$ . Il donne $S = A \oplus B$ et $C = A \land B$ , et le résultat se lit comme le nombre binaire $CS$ .

Que valent S et C, et quel nombre ordinaire le résultat représente-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris l'addition que fait le circuit :

Construire des puces avec des portes NAND

Les fabricants de puces aiment les portes NAND, car on peut construire toutes les autres portes avec des NAND seulement.

Exemple:

Relie les deux entrées d'une porte NAND au même signal $A$ : la sortie vaut $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ , elle fonctionne donc comme une porte NON.

3Essaie par toi-même

Un petit boîtier de puce contient 4 portes NAND. Une porte NON demande 1 porte NAND, une porte ET en demande 2 (une NAND suivie d'une NAND utilisée comme NON). Une conceptrice a besoin de 3 portes ET et de 2 portes NON.

De combien de portes NAND et de combien de boîtiers a-t-elle besoin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de portes NAND en un seul calcul :

Points clés

1Une porte logique reçoit des entrées qui valent 1 (tension présente) ou 0 (pas de tension) et donne une sortie, elle aussi 1 ou 0
2ET donne 1 seulement si les deux entrées valent 1 ; OU donne 1 si au moins une entrée vaut 1 ; NON inverse son unique entrée
3XOR donne 1 si les entrées sont différentes ; NAND et NOR sont les contraires de ET et de OU
4Notation des portes : $A \cdot B$ (ET), $A + B$ (OU), $\overline{A}$ (NON), $A \oplus B$ (XOR), et ici $1 + 1 = 1$
5Pour trouver la sortie d'un circuit, va des entrées vers la sortie et note la sortie de chaque porte
6Nomme la sortie de chaque porte par une expression pour obtenir l'expression booléenne de tout le circuit

Questions fréquentes

Pourquoi les portes utilisent-elles 1 et 0 au lieu de vrai et faux ?

Dans une puce, il n'y a que des tensions. Une tension haute représente 1 (vrai) et une tension basse 0 (faux). N'utiliser que deux niveaux rend les circuits rapides et fiables, car un signal un peu plus faible se lit encore clairement comme 1.

Quelle est la différence entre OU et XOR ?

Elles ne diffèrent que sur une ligne : quand les deux entrées valent 1. OU donne

1

(au moins une est allumée), XOR donne

0

(les entrées ne sont pas différentes). XOR, c'est la porte soit l'un, soit l'autre, mais pas les deux.

Pourquoi les portes NAND sont-elles si utilisées ?

On peut construire toutes les autres portes uniquement avec des NAND. Par exemple, une NAND dont les deux entrées sont reliées est une porte NON. Une usine peut donc fabriquer des puces avec un seul type de porte. Tu verras l'algèbre qui l'explique dans la leçon Algèbre de Boole.

Puis-je vérifier les portes avec l'arithmétique ordinaire ?

Oui, avec 0 et 1 : ET vaut

A \times B

, NON vaut

1 - A

, OU vaut

A + B - A \times B

et XOR vaut

A + B - 2 \times A \times B

. Par exemple, OU pour

1, 1

donne

1 + 1 - 1 = 1

. Essaie dans la calculatrice.

Glossaire

Porte logique: Un circuit électronique qui effectue une opération booléenne sur des entrées valant 1 ou 0
Entrée / sortie: Les signaux qui entrent dans une porte et le signal unique qui en sort
Circuit: Des portes reliées par des fils, où la sortie d'une porte est une entrée d'une autre
Inverseur: Un autre nom de la porte NON, qui change 1 en 0 et 0 en 1
OU exclusif (XOR): Une porte dont la sortie vaut 1 quand ses entrées sont différentes, notée $A \oplus B$
Demi-additionneur: Un circuit formé d'une porte XOR et d'une porte ET qui additionne deux chiffres binaires : $S = A \oplus B$ , $C = A \land B$

Carte des formules

ET

Y = A \cdot B = A \land B

1 seulement si les deux entrées valent 1

OU

Y = A + B = A \lor B

1 si au moins une entrée vaut 1

NON

Y = \overline{A} = \neg A

Inverse l'entrée

XOR

Y = A \oplus B

1 si les entrées sont différentes

NAND

Y = \overline{A \cdot B}

Contraire de ET : 0 seulement si les deux entrées valent 1

NOR

Y = \overline{A + B}

Contraire de OU : 1 seulement si les deux entrées valent 0

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Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Les alarmes

Additionner dans une puce

Construire des puces avec des portes NAND

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

ET

OU

NON

XOR

NAND

NOR

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