Une suite peut-elle avoir plusieurs règles ?

Avec seulement deux ou trois termes, oui, plusieurs règles peuvent convenir. C'est pourquoi il faut assez de termes et vérifier ta règle sur tous. Pour $2, 4$, la règle peut être $+2$ ou $\times 2$, mais $2, 4, 8$ ne convient qu'à $\times 2$.

Pourquoi ajouter 9 étapes et pas 10 pour obtenir le 10e terme ?

Le premier terme est déjà en place. Pour aller du terme $1$ au terme $10$, tu fais $9$ sauts, comme pour monter du 1er au 10e barreau d'une échelle.

Comment trouver la 20e forme d'un motif qui se répète ?

Compte les formes d'un bloc. Pour cercle, carré, triangle, le bloc a $3$ formes. $20 \div 3 = 6$ reste $2$, donc la 20e forme est la 2e forme du bloc : un carré.

Ressources enseignants

Reconnaître des régularités

Apprends à trouver la règle cachée derrière les suites de nombres et de formes, à la vérifier sur chaque terme et à prévoir la suite.

Élémentaire20 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une suite est une liste de nombres ou de formes qui suit une règle. Chaque élément de la liste s'appelle un terme.

Pour reconnaître une régularité, regarde comment chaque terme se transforme en le suivant :

Suite qui additionne : on ajoute toujours le même nombre. $5, 9, 13, 17$ (plus $4$ )
Suite qui soustrait : on enlève toujours le même nombre. $30, 25, 20, 15$ (moins $5$ )
Suite qui multiplie : chaque terme est multiplié par le même nombre. $3, 6, 12, 24$ (fois $2$ )
Suite alternée : deux étapes se succèdent à tour de rôle. $10, 13, 11, 14, 12$ (plus $3$ , moins $2$ )
Suite à écarts croissants : l'étape elle-même grandit. $1, 2, 4, 7, 11$ (plus $1$ , puis $2$ , puis $3$ , puis $4$ )
Motif qui se répète : un bloc revient encore et encore, comme cercle, carré, triangle, cercle, carré, triangle

Une règle ne compte que si elle marche pour chaque terme, pas seulement pour les deux premiers. Trouver une règle à partir d'exemples, c'est le raisonnement inductif ; la vérifier sur tous les termes t'évite les erreurs.

Essaie tout de suite

Quel est le nombre suivant dans la suite

2, 5, 8, 11, \ldots

Exemples résolus

Trouve la règle et les deux termes suivants : $5, 9, 13, 17, \ldots$

Calcule l'écart entre voisins

$9 - 5 = 4$ , $13 - 9 = 4$ , $17 - 13 = 4$ → L'écart est toujours $4$

Énonce la règle

Chaque terme vaut $4$ de plus que le précédent → Règle : commencer à $5$ , ajouter $4$

Utilise la règle pour continuer

$17 + 4 = 21$ , $21 + 4 = 25$ → $21$ et $25$

Réponse: La règle est plus $4$ . Les deux termes suivants sont $21$ et $25$ .

Erreurs courantes

Choisir une règle en regardant seulement les deux premiers termes

Pourquoi c'est faux: Dans $2, 4, 8, 16$ , le premier saut est $+2$ , mais $4 + 2 = 6$ , pas $8$ . Beaucoup de règles conviennent à deux nombres.

Correct: Teste la règle sur chaque paire de voisins. Ici, $\times 2$ marche pour tous : $2, 4, 8, 16$ .

Utiliser $10$ sauts pour atteindre le 10e terme

Pourquoi c'est faux: Le premier terme est déjà là. Du terme $1$ au terme $10$ , il n'y a que $9$ sauts.

Correct: 10e terme $=$ premier terme $+ 9 \times$ étape. Pour $4, 7, 10, \ldots$ : $4 + 9 \times 3 = 31$ , et non $4 + 10 \times 3 = 34$ .

Croire que chaque suite ajoute le même nombre

Pourquoi c'est faux: Dans $2, 6, 18, 54$ , les écarts sont $4, 12, 36$ , donc ce n'est pas une suite qui additionne.

Correct: Si les écarts ne sont pas égaux, essaie la multiplication (ici $\times 3$ ), les étapes alternées ou les écarts croissants.

Oublier où l'on en est dans une suite alternée

Pourquoi c'est faux: Dans $10, 13, 11, 14, 12, 15$ , l'étape suivante dépend de la dernière. Refaire $+3$ donne $18$ , ce qui est faux.

Correct: Écris les changements sous les termes ( $+3, -2, +3, \ldots$ ) et continue l'alternance : $15 - 2 = 13$ .

Visuel interactif

Explorateur de suites

Premier terme (a₁ = 4)

Raison (d = 3)

10,

13,

16,

19,

22,

25,

28,

, ...

a_1

a_5

a_10

a_20

Explorateur de suites

11,

16,

, ...

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quel est le nombre suivant dans la suite $2, 5, 8, 11, \ldots$ ?

Pourquoi c'est important

Les régularités sont partout, et les repérer fait gagner du temps :

Calendriers : chaque lundi d'un mois tombe $7$ jours après le précédent, donc tu trouves n'importe quelle date sans compter jour par jour
Carrelage et construction : si chaque nouvelle rangée d'un sol demande $3$ carreaux de plus, tu peux prévoir combien de carreaux acheter
Économiser de l'argent : mettre la même somme dans ta tirelire chaque semaine te permet de prévoir quand tu atteindras ton objectif
Musique et art : les rythmes et les frises sont des motifs qui se répètent
Sciences et ordinateurs : les scientifiques cherchent des régularités dans les données, et on entraîne les ordinateurs à reconnaître des motifs dans les images et les sons

Reconnaître une régularité est la première étape du raisonnement logique : tu remarques une règle, tu la testes, puis tu t'en sers pour prévoir.

Applications dans le monde réel

Calendriers

Le même jour de la semaine revient tous les $7$ jours, donc les dates de ce jour forment une suite qui additionne.

Exemple:

Si le premier lundi du mois est le $3$ , les lundis sont le $3$ , le $10$ , le $17$ , le $24$ et le $31$ .

1Essaie par toi-même

Le premier samedi du mois est le $6$ . Les cours de natation ont lieu tous les samedis.

Quelle est la date du 4e samedi du mois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Commence à $6$ et ajoute $3$ sauts de $7$ jours :

Carreaux et motifs dans la construction

Les carreleurs et les designers utilisent des motifs de carreaux pour les sols, les allées et les murs, et ils doivent savoir combien de carreaux il faut pour chaque partie.

Exemple:

Une allée où chaque nouvelle section ajoute $2$ carreaux utilise $6, 8, 10, 12, \ldots$ carreaux. On peut prévoir n'importe quelle section sans la dessiner.

2Essaie par toi-même

Un motif de carreaux a $5$ carreaux dans la figure 1, $8$ carreaux dans la figure 2 et $11$ carreaux dans la figure 3.

Combien de carreaux y a-t-il dans la figure 6 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Commence à $5$ et ajoute $5$ sauts de $3$ :

Économiser de l'argent

Mettre la même somme de côté chaque semaine fait grandir le contenu de la tirelire selon une suite qui additionne.

Exemple:

Avec 10 € au départ et 4 € économisés chaque semaine, le total est de 14 €, 18 €, 22 € puis 26 € après les semaines 1 à 4.

3Essaie par toi-même

Nora a 15 € dans sa tirelire. Elle y met 5 € chaque semaine.

Combien d'argent aura-t-elle après 8 semaines ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Commence à $15$ et ajoute $8$ sauts de $5$ :

Points clés

1Une suite suit une règle, et chaque élément s'appelle un terme
2Regarde d'abord les écarts entre voisins : des écarts égaux signifient une suite qui additionne ou qui soustrait
3Si les écarts ne sont pas égaux, essaie la multiplication, les étapes alternées ou les écarts croissants
4Une règle n'est correcte que si elle marche pour chaque terme, pas seulement pour les deux premiers
5Pour le 10e terme d'une suite qui additionne, ajoute $9$ étapes au premier terme
6Dans un motif qui se répète, divise la position par la longueur du bloc et utilise le reste

Questions fréquentes

Écris l'écart entre chaque paire de termes voisins sous la liste. S'ils sont tous égaux, c'est une suite qui additionne ou qui soustrait. Sinon, essaie la multiplication ou cherche une régularité dans les écarts.

Glossaire

Suite: Une liste de nombres ou de formes qui suit une règle
Terme: Un élément d'une suite ; le 1er terme est le premier élément, le 2e terme le suivant, et ainsi de suite
Règle: L'instruction qui dit comment passer d'un terme au suivant, par exemple plus $4$ ou fois $2$
Écart: Le résultat de la soustraction d'un terme au terme suivant, par exemple $9 - 5 = 4$
Suite alternée: Une suite dans laquelle deux étapes différentes se succèdent à tour de rôle, par exemple $+3$ , $-2$ , $+3$ , $-2$
Motif qui se répète: Une suite dans laquelle le même bloc d'éléments revient, par exemple rouge, bleu, rouge, bleu

Carte des formules

Vérifier les écarts

\text{écart} = \text{terme suivant} - \text{terme}

Si tous les écarts sont égaux, la suite ajoute (ou enlève) ce nombre

10e terme d'une suite qui additionne

\text{10e terme} = \text{1er terme} + 9 \times \text{étape}

Du 1er au 10e terme, il y a 9 sauts

Position dans un motif qui se répète

\text{position} \div \text{longueur du bloc} = \ldots \text{ reste } r

Le reste $r$ indique quel élément du bloc c'est ; un reste de $0$ signifie le dernier élément

Plus sur ce sujet

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Explorateur de suites

Explorateur de suites

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Calendriers

Carreaux et motifs dans la construction

Économiser de l'argent

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Vérifier les écarts

10e terme d'une suite qui additionne

Position dans un motif qui se répète

Plus sur ce sujet

Introduction au raisonnement logique

Le raisonnement déductif

Les énoncés si... alors

Réciproque et inverse