Les énoncés si... alors

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est l'hypothèse de l'énoncé "S'il pleut, alors le match de foot est annulé" ?
1. a)Il pleut
2. b)Le match de foot est annulé
3. c)Le match n'est pas annulé
4. d)Il ne pleut pas
Réponse: Il pleut
L'hypothèse est la condition après "si" : il pleut. "Le match de foot est annulé" est la conclusion.
2.
Complète l'implication pour qu'elle soit vraie : si $x = 4$ , alors $3x - 2 = \square$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 10
$3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$ , donc l'implication vraie est : si $x = 4$ , alors $3x - 2 = 10$ .
3.
Vérifie l'implication "Si $x = 6$ , alors $2x + 3 = 15$ " en calculant $2x + 3$ pour $x = 6$ .
Réponse: 15
1. Combien fait $2 \times 6$ ? 12
2. Combien fait $12 + 3$ ? 15
4.
Quelle phrase est "Tous les carrés sont des rectangles" écrite sous la forme si... alors ?
1. a)Si une figure a quatre côtés, alors c'est un carré
2. b)Si une figure est un rectangle, alors c'est un carré
3. c)Si une figure est un carré, alors c'est un rectangle
4. d)Si une figure n'est pas un carré, alors ce n'est pas un rectangle
Réponse: Si une figure est un carré, alors c'est un rectangle
La phrase part des carrés, donc l'hypothèse est "une figure est un carré" et la conclusion est "c'est un rectangle". Le deuxième choix échange les deux parties, ce qui donne un autre énoncé (et il est faux).
5.
La table de vérité de $p \to q$ a 4 lignes. Dans combien de ces lignes $p \to q$ est-elle fausse ?
Réponse: 1
Seule la ligne où $p$ est vraie et $q$ fausse donne une implication fausse. Les 3 autres lignes sont vraies.
6.
La règle d'une boutique : si ta commande atteint au moins 30 €, alors la livraison est gratuite. Tu achètes un livre à 12 € et un jeu à 15 €. Combien d'euros dois-tu encore dépenser pour que la livraison soit gratuite ?
Réponse: 3
1. Quel est ton total pour l'instant, en euros ? 27
2. Combien d'euros manque-t-il pour atteindre 30 ? 3
7.
Dans quel cas l'implication $p \to q$ est-elle fausse ?
1. a) $p$ fausse, $q$ vraie
2. b) $p$ vraie, $q$ fausse
3. c) $p$ vraie, $q$ vraie
4. d) $p$ fausse, $q$ fausse
Réponse: $p$ vraie, $q$ fausse
Une implication n'est rompue que si l'hypothèse se réalise et pas la conclusion : $p$ vraie et $q$ fausse. Quand $p$ est fausse, l'implication est vraie, quelle que soit $q$ .
8.
L'énoncé "Si un entier naturel est plus grand que 5, alors il est plus grand que 8" est faux. Quel est le plus petit entier naturel qui est un contre-exemple ?
Réponse: 6
Un contre-exemple rend l'hypothèse vraie ( $n > 5$ ) et la conclusion fausse ( $n \leq 8$ ). Les nombres 6, 7 et 8 conviennent, le plus petit est 6.
9.
Affirmation : si un entier naturel est divisible par 2, alors il est divisible par 4. Trouve le plus petit contre-exemple positif.
Réponse: 2
1. Quel est le plus petit entier naturel positif divisible par 2 ? 2
2. Quel est le reste de la division de 2 par 4 ? 2
3. Quel nombre est donc le plus petit contre-exemple ? 2
10.
Mia dit : "Si je finis mes devoirs, alors je vais au cinéma." Elle n'a pas fini ses devoirs, mais elle est quand même allée au cinéma. Son énoncé est-il vrai ou faux ?
1. a)On ne peut pas savoir, car l'hypothèse est fausse
2. b)Faux, car elle n'a pas fini ses devoirs
3. c)Vrai, car l'hypothèse est fausse, donc la promesse n'est pas rompue
4. d)Faux, car elle est allée au cinéma
Réponse: Vrai, car l'hypothèse est fausse, donc la promesse n'est pas rompue
L'hypothèse "je finis mes devoirs" est fausse et la conclusion "je vais au cinéma" est vraie. C'est le cas F → V, et dans ce cas une implication est vraie. Mia a seulement promis ce qui se passe si elle finit ses devoirs.
11.
La règle d'un magasin : si tu achètes au moins 3 cahiers, alors chaque cahier coûte 2 € au lieu de 3 €. Tu achètes 4 cahiers. Combien d'euros paies-tu en tout ?
Réponse: 8
$4 \geq 3$ , donc l'hypothèse est vraie et la conclusion s'applique : chaque cahier coûte 2 €. $4 \times 2 = 8$ €.
12.
Énoncé : si un nombre est un multiple de 6, alors c'est un multiple de 3. Vérifie l'énoncé pour le nombre 42 : divise d'abord 42 par 6, puis par 3. Combien fait $42 \div 3$ ?
Réponse: 14
1. Vérifie l'hypothèse : combien fait $42 \div 6$ ? 7
2. L'hypothèse est vraie. Vérifie maintenant la conclusion : combien fait $42 \div 3$ ? 14
13.
Règle : si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume. À 7 h, la pièce est à 23 °C et la température baisse de 2 °C par heure. Après combien d'heures entières le chauffage s'allume-t-il pour la première fois ?
Réponse: 3
1. Quelle est la température après 1 heure, en °C ? 21
2. Quelle est la température après 2 heures, en °C ? 19
3. Quelle est la température après 3 heures, en °C ? 17
4. Après combien d'heures la température est-elle pour la première fois inférieure à 18 °C ? 3
14.
Quel nombre est un contre-exemple à l'énoncé "Si un nombre est premier, alors il est impair" ?
1. a)3
2. b)2
3. c)15
4. d)9
Réponse: 2
2 est premier, car ses seuls diviseurs sont 1 et 2, donc l'hypothèse est vraie. Mais 2 est pair, donc la conclusion est fausse. 3 est premier et impair, et 9 et 15 ne sont pas premiers, donc aucun d'eux ne réfute l'énoncé.
15.
Affirmation : si $n$ est un entier naturel plus grand que 1, alors $n^2 + n + 1$ est premier. Quel est le plus petit contre-exemple $n$ ?
Réponse: 4
$n = 2$ : $4 + 2 + 1 = 7$ , premier. $n = 3$ : $9 + 3 + 1 = 13$ , premier. $n = 4$ : $16 + 4 + 1 = 21 = 3 \times 7$ , pas premier. Donc $n = 4$ rend l'hypothèse vraie et la conclusion fausse.
16.
Affirmation : si $n$ est un entier naturel positif, alors $2^n + 1$ est premier. Teste $n = 1, 2, 3$ et trouve le plus petit contre-exemple.
Réponse: 3
1. Combien fait $2^1 + 1$ ? 3
2. Combien fait $2^2 + 1$ ? 5
3. Combien fait $2^3 + 1$ ? 9
4. 3 et 5 sont premiers, mais pas 9. Pour quel $n$ la conclusion est-elle fausse ? 3
17.
Énoncé : si $x > 2$ , alors $x^2 > 9$ . Lequel des entiers naturels 3, 4 et 5 est un contre-exemple ?
Réponse: 3
1. Les trois nombres sont plus grands que 2, donc l'hypothèse est vraie pour chacun. Combien fait $3^2$ ? 9
2. Combien fait $4^2$ ? 16
3. Combien fait $5^2$ ? 25
4. Lequel de 3, 4 et 5 donne un carré qui n'est PAS plus grand que 9 ? 3
18.
Quatre cartes ont un nombre sur une face et une couleur sur l'autre. Tu vois : 4, 7, rouge, bleu. Règle : si une carte a un nombre pair sur une face, alors son autre face est rouge. Quelles cartes dois-tu retourner pour vérifier la règle, et combien y en a-t-il ?
Réponse: 2
1. Seul un nombre pair rend l'hypothèse vraie. Quelle carte nombre dois-tu retourner ? Écris son nombre. 4
2. Une carte bleue rompt la règle si elle cache un nombre pair. En comptant le 4 et la carte bleue, combien de cartes dois-tu retourner ? 2