Le raisonnement inductif

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Lequel de ces exemples est un raisonnement inductif ?
1. a)Si x + 3 = 7, alors x = 4.
2. b)Tous les carrés ont 4 côtés. Cette figure est un carré, donc elle a 4 côtés.
3. c)Tout multiple de 10 se termine par 0. 70 est un multiple de 10, donc 70 se termine par 0.
4. d)Le bus a été en retard tous les matins cette semaine, donc il sera probablement en retard demain.
2.
Utilise la conjecture "la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ " pour trouver $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ sans additionner terme à terme.
3.
Des points sont disposés en triangles : la figure 1 a $1$ point, la figure 2 a $3$ points, la figure 3 a $6$ points et la figure 4 a $10$ points. Si la régularité continue, combien de points la figure 6 a-t-elle ?
4.
Quel nombre est un contre-exemple à la conjecture "tous les nombres premiers sont impairs" ?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
5.
Conjecture : "doubler un nombre le rend toujours plus grand". Quel nombre est égal à son double et est donc un contre-exemple ?
6.
Un tournesol mesure $2$ cm après la semaine 1, $5$ cm après la semaine 2, $8$ cm après la semaine 3 et $11$ cm après la semaine 4. Si la régularité continue, quelle sera sa hauteur après la semaine 8 (en cm) ?
7.
Conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ . Teste-la avec $n = 5$ , puis utilise-la pour prévoir la somme des $20$ premiers nombres impairs.
8.
Tom calcule $1 + 5$ , $9 + 3$ et $15 + 7$ , obtient chaque fois un nombre pair et conclut : "la somme de deux nombres impairs est toujours paire". Quel type de raisonnement Tom a-t-il utilisé ?
1. a)Raisonnement circulaire
2. b)Raisonnement par récurrence
3. c)Raisonnement inductif
4. d)Raisonnement déductif
9.
Un triangle a $0$ diagonale, un quadrilatère $2$ , un pentagone $5$ , un hexagone $9$ , un heptagone $14$ et un octogone $20$ . Prolonge la régularité : combien de diagonales a un ennéagone (9 côtés) ?
10.
Observe ces produits : $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Formule une conjecture et prévois $11111 \times 11111$ .
11.
Léna affirme : "élever un nombre au carré le rend toujours plus grand". Teste son affirmation avec $\frac{1}{2}$ : combien fait $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Écris ta réponse sous forme de fraction.
12.
L'expression $n^2 + n + 41$ donne un nombre premier pour tout $n$ de $0$ à $39$ . Pour $n = 40$ , elle donne $1681$ . Quelle affirmation est correcte ?
1. a)La conjecture est démontrée car elle a marché pour n = 0 à 39
2. b)Un seul contre-exemple ne suffit pas pour rejeter la conjecture
3. c)1681 est premier, donc la conjecture tient toujours
4. d)1681 = 41 × 41, donc n = 40 est un contre-exemple
13.
À une fête, chacun serre la main de chaque autre personne exactement une fois. Avec $2$ personnes, il y a $1$ poignée de main, avec $3$ personnes $3$ , et avec $4$ personnes $6$ . Combien y a-t-il de poignées de main avec $10$ personnes ?
14.
Teste la conjecture " $n^2 + n + 41$ est toujours premier" étape par étape et trouve la valeur qui la réfute pour $n = 40$ .
15.
À partir des cas $0, 2, 5, 9$ (polygones de $3$ à $6$ côtés), nous avons conjecturé qu'un polygone à $n$ côtés a $\frac{n(n - 3)}{2}$ diagonales. Utilise-la : combien de diagonales a un polygone à $12$ côtés ?
16.
Sam remarque : $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , tous premiers. Il conjecture : "si $p$ est premier, alors $2^p - 1$ est premier". Quelle valeur de $p$ est un contre-exemple ?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
17.
Place des points sur un cercle et relie chaque paire de points par un segment. Compte les régions à l'intérieur du cercle : $1$ point donne $1$ région, $2$ points donnent $2$ , $3$ points $4$ , $4$ points $8$ , $5$ points $16$ . Un dessin soigné avec $6$ points, placés de sorte que jamais trois segments ne se coupent en un même point, montre $31$ régions. Teste la conjecture du doublement : de combien de régions sa prévision se trompe-t-elle ?
18.
Conjecture : "la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours égale à $3$ fois le nombre du milieu". Teste-la de façon inductive, puis utilise la version déductive pour trouver $49 + 50 + 51$ .