Le raisonnement inductif

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Lequel de ces exemples est un raisonnement inductif ?
1. a)Si x + 3 = 7, alors x = 4.
2. b)Tous les carrés ont 4 côtés. Cette figure est un carré, donc elle a 4 côtés.
3. c)Tout multiple de 10 se termine par 0. 70 est un multiple de 10, donc 70 se termine par 0.
4. d)Le bus a été en retard tous les matins cette semaine, donc il sera probablement en retard demain.
Réponse: Le bus a été en retard tous les matins cette semaine, donc il sera probablement en retard demain.
L'exemple du bus utilise plusieurs observations particulières (les matins de cette semaine) pour prévoir ce qui arrivera probablement. Les trois autres partent d'une règle générale ou d'une équation et arrivent à une conclusion forcément vraie : c'est du raisonnement déductif.
2.
Utilise la conjecture "la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ " pour trouver $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ sans additionner terme à terme.
Réponse: 36
Il y a $6$ nombres impairs, donc la conjecture donne $6^2 = 36$ . L'addition le confirme : $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ .
3.
Des points sont disposés en triangles : la figure 1 a $1$ point, la figure 2 a $3$ points, la figure 3 a $6$ points et la figure 4 a $10$ points. Si la régularité continue, combien de points la figure 6 a-t-elle ?
Réponse: 21
1. Combien de points sont ajoutés de la figure 3 à la figure 4 ? 4
2. On ajoute $2, 3, 4$ points. Combien de points la figure 5 a-t-elle ? 15
3. Combien de points la figure 6 a-t-elle ? 21
4.
Quel nombre est un contre-exemple à la conjecture "tous les nombres premiers sont impairs" ?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
Réponse: 2
$2$ est premier (ses seuls diviseurs sont $1$ et $2$ ) et il est pair, donc il réfute la conjecture. $9$ et $15$ sont impairs mais pas premiers, et $7$ est premier et impair : aucun d'eux n'est un contre-exemple.
5.
Conjecture : "doubler un nombre le rend toujours plus grand". Quel nombre est égal à son double et est donc un contre-exemple ?
Réponse: 0
$2 \times 0 = 0$ , donc doubler $0$ ne le rend pas plus grand. Un seul contre-exemple suffit à montrer que la conjecture est fausse. (Les nombres négatifs la réfutent aussi : $2 \times (-3) = -6$ , qui est plus petit.)
6.
Un tournesol mesure $2$ cm après la semaine 1, $5$ cm après la semaine 2, $8$ cm après la semaine 3 et $11$ cm après la semaine 4. Si la régularité continue, quelle sera sa hauteur après la semaine 8 (en cm) ?
Réponse: 23
1. De combien de centimètres le tournesol grandit-il chaque semaine ? 3
2. Quelle est sa hauteur après la semaine 5 ? 14
3. Quelle est sa hauteur après la semaine 8 ? 23
7.
Conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ . Teste-la avec $n = 5$ , puis utilise-la pour prévoir la somme des $20$ premiers nombres impairs.
Réponse: 400
1. Combien fait $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ ? 25
2. $25$ est le carré de quel nombre ? 5
3. D'après la conjecture, quelle est la somme des 20 premiers nombres impairs ? 400
8.
Tom calcule $1 + 5$ , $9 + 3$ et $15 + 7$ , obtient chaque fois un nombre pair et conclut : "la somme de deux nombres impairs est toujours paire". Quel type de raisonnement Tom a-t-il utilisé ?
1. a)Raisonnement circulaire
2. b)Raisonnement par récurrence
3. c)Raisonnement inductif
4. d)Raisonnement déductif
Réponse: Raisonnement inductif
Tom est passé de trois cas particuliers à une conclusion générale : c'est un raisonnement inductif. Sa conjecture se trouve être vraie, mais trois exemples ne la démontrent pas. Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration déductive.
9.
Un triangle a $0$ diagonale, un quadrilatère $2$ , un pentagone $5$ , un hexagone $9$ , un heptagone $14$ et un octogone $20$ . Prolonge la régularité : combien de diagonales a un ennéagone (9 côtés) ?
Réponse: 27
Les différences augmentent de $1$ : la suivante est $7$ , donc $20 + 7 = 27$ . La formule $\frac{n(n - 3)}{2}$ donne la même chose : $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ .
10.
Observe ces produits : $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Formule une conjecture et prévois $11111 \times 11111$ .
Réponse: 123454321
1. Quel est le chiffre du milieu (le plus grand) de $1234321$ ? 4
2. Avec cinq chiffres 1, quel devrait être le chiffre du milieu ? 5
3. Écris le résultat prévu de $11111 \times 11111$ . 123454321
11.
Léna affirme : "élever un nombre au carré le rend toujours plus grand". Teste son affirmation avec $\frac{1}{2}$ : combien fait $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Écris ta réponse sous forme de fraction.
Réponse: 1/4
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , et $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ . Donc $\frac{1}{2}$ est un contre-exemple : élever au carré un nombre compris entre $0$ et $1$ le rend plus petit.
12.
L'expression $n^2 + n + 41$ donne un nombre premier pour tout $n$ de $0$ à $39$ . Pour $n = 40$ , elle donne $1681$ . Quelle affirmation est correcte ?
1. a)La conjecture est démontrée car elle a marché pour n = 0 à 39
2. b)Un seul contre-exemple ne suffit pas pour rejeter la conjecture
3. c)1681 est premier, donc la conjecture tient toujours
4. d)1681 = 41 × 41, donc n = 40 est un contre-exemple
Réponse: 1681 = 41 × 41, donc n = 40 est un contre-exemple
$40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41$ , qui n'est pas premier. Donc $n = 40$ est un contre-exemple, et un seul contre-exemple suffit à montrer que "toujours premier" est faux, peu importe le nombre de cas qui marchaient avant.
13.
À une fête, chacun serre la main de chaque autre personne exactement une fois. Avec $2$ personnes, il y a $1$ poignée de main, avec $3$ personnes $3$ , et avec $4$ personnes $6$ . Combien y a-t-il de poignées de main avec $10$ personnes ?
Réponse: 45
1. Les différences sont $2$ et $3$ . Combien de poignées de main y a-t-il avec $5$ personnes ? 10
2. Combien de poignées de main y a-t-il avec $6$ personnes ? 15
3. La conjecture $\frac{n(n - 1)}{2}$ convient à tous ces cas. Utilise-la pour $n = 10$ . 45
14.
Teste la conjecture " $n^2 + n + 41$ est toujours premier" étape par étape et trouve la valeur qui la réfute pour $n = 40$ .
Réponse: 1681
1. Combien vaut $n^2 + n + 41$ pour $n = 1$ ? 43
2. Combien vaut $n^2 + n + 41$ pour $n = 5$ ? 71
3. Combien vaut $n^2 + n + 41$ pour $n = 40$ ? 1681
4. Combien fait $1681 \div 41$ ? 41
15.
À partir des cas $0, 2, 5, 9$ (polygones de $3$ à $6$ côtés), nous avons conjecturé qu'un polygone à $n$ côtés a $\frac{n(n - 3)}{2}$ diagonales. Utilise-la : combien de diagonales a un polygone à $12$ côtés ?
Réponse: 54
$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$ . Cette conjecture a aussi été démontrée de façon déductive : de chacun des $n$ sommets partent $n - 3$ diagonales, et chaque diagonale est comptée deux fois.
16.
Sam remarque : $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , tous premiers. Il conjecture : "si $p$ est premier, alors $2^p - 1$ est premier". Quelle valeur de $p$ est un contre-exemple ?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
Réponse: p = 11
$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ n'est pas premier, donc $p = 11$ réfute la conjecture. Les autres donnent des nombres premiers : $2^{13} - 1 = 8191$ , $2^{17} - 1 = 131071$ , $2^{19} - 1 = 524287$ . Quatre cas favorables ne suffisaient pas.
17.
Place des points sur un cercle et relie chaque paire de points par un segment. Compte les régions à l'intérieur du cercle : $1$ point donne $1$ région, $2$ points donnent $2$ , $3$ points $4$ , $4$ points $8$ , $5$ points $16$ . Un dessin soigné avec $6$ points, placés de sorte que jamais trois segments ne se coupent en un même point, montre $31$ régions. Teste la conjecture du doublement : de combien de régions sa prévision se trompe-t-elle ?
Réponse: 1
1. Par quel nombre chaque résultat est-il multiplié pour obtenir le suivant ? 2
2. Que prévoit la conjecture du doublement pour $6$ points ? 32
3. Le dessin montre $31$ régions. De combien de régions la prévision se trompe-t-elle ? 1
18.
Conjecture : "la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours égale à $3$ fois le nombre du milieu". Teste-la de façon inductive, puis utilise la version déductive pour trouver $49 + 50 + 51$ .
Réponse: 150
1. Combien fait $4 + 5 + 6$ ? 15
2. Combien fait $15 \div 3$ ? (Compare avec le nombre du milieu.) 5
3. Teste un autre cas : combien fait $20 + 21 + 22$ ? 63
4. De façon déductive : $(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ . Utilise-la pour trouver $49 + 50 + 51$ . 150