Guide de l'enseignant: Le raisonnement inductif

Apprends à formuler une conjecture à partir de cas particuliers, à la tester sur de nouveaux cas et à la réfuter par un contre-exemple.

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10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Formuler une conjecture à partir d'une série de cas particuliers
Tester une conjecture sur de nouveaux cas et des cas particuliers comme $0$ , les négatifs et les fractions
Trouver un contre-exemple qui montre qu'une conjecture est fausse
Expliquer pourquoi le raisonnement inductif donne des conclusions probables et non certaines
Distinguer le raisonnement inductif du raisonnement déductif et du raisonnement par récurrence

Prérequis

• Introduction au raisonnement logique : le raisonnement inductif et le raisonnement déductif en une phrase chacun
• Le raisonnement déductif : des prémisses et une conclusion qui en découle forcément
• Reconnaître des régularités : trouver la règle d'une suite de nombres
• Nombres premiers, carrés parfaits, nombres pairs et impairs

Amorces de discussion

1. Le soleil s'est levé chaque matin de ta vie. Est-il certain qu'il se lèvera demain ? Quel type de raisonnement est-ce ?
2. Combien d'exemples te convaincraient qu'un énoncé est toujours vrai ? Pourquoi cela pourrait-il ne pas suffire ?
3. Pourquoi un seul contre-exemple suffit-il pour rejeter une conjecture, alors qu'un million d'exemples ne peut pas la démontrer ?
4. Où les scientifiques, les médecins ou les détectives utilisent-ils le raisonnement inductif ?
5. À ton avis, pourquoi les mathématiciens veulent-ils démontrer des conjectures que des ordinateurs ont déjà vérifiées des milliards de fois ?

Idées reçues courantes

Si une régularité marche pour les premiers cas, elle marche pour tous

Remédiation: Montre $n^2 + n + 41$ ou la suite des régions du cercle $1, 2, 4, 8, 16, 31$ . Fais prévoir la valeur suivante aux élèves avant de révéler que la régularité se casse.

Un contre-exemple n'est qu'une exception, la règle reste vraie

Remédiation: Insiste sur le mot "toujours" dans la conjecture. Reformule-la en incluant l'exception ("doubler un nombre positif le rend plus grand") pour montrer que l'énoncé de départ était faux.

Le raisonnement par récurrence consiste à deviner à partir d'exemples

Remédiation: Mets les deux côte à côte : le raisonnement inductif se termine par une conjecture, le raisonnement par récurrence par une démonstration. Renvoie les élèves à la leçon Raisonnement par récurrence du thème Démonstrations.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner les cas déjà calculés et demander seulement la conjecture
• Utiliser des jetons ou des dessins de points pour les sommes de nombres impairs et les nombres triangulaires
• Fournir une liste de cas particuliers à tester : 0, 1, un nombre négatif, une fraction

Pour les élèves au niveau:

• Formuler et tester des conjectures sur les diagonales des polygones et les poignées de main
• Trouver des contre-exemples à des affirmations de la vie courante et sur les nombres
• Expliquer par écrit pourquoi une conjecture est seulement probablement vraie

Pour les élèves avancés:

• Démontrer de façon déductive une conjecture simple, comme impair + impair = pair ou le fait que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3
• Explorer la suite des régions du cercle et trouver où le doublement échoue
• Faire des recherches sur la conjecture de Goldbach et d'autres problèmes ouverts célèbres

Alignement aux standards

MP.3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments valables et critiquer le raisonnement des autres : formuler des conjectures et construire une suite logique d'énoncés pour examiner leur vérité
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Chercher et utiliser la structure
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Repérer et exprimer la régularité dans un raisonnement répété

Ressources de la leçon

visualVisualiseur de suites
Commence à 1 avec un pas de 2 pour voir les nombres impairs, puis additionne-les et compare les sommes aux carrés parfaits
activityConjecture ou contre-exemple
Des groupes écrivent une conjecture sur une carte ; les autres groupes essaient de la réfuter par un contre-exemple ou de l'appuyer avec de nouveaux cas
worksheetTester avant de croire
Des affirmations sur le double, le carré et n² + n + 41 à tester avec des cas particuliers

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Le raisonnement inductif consiste à observer des cas particuliers, à repérer une régularité et à en tirer une idée générale. Cette idée générale s'appelle une conjecture.

Le raisonnement inductif se déroule en quatre étapes :

1.Observer des cas particuliers : $1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$
2.Formuler une conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$
3.Tester sur de nouveaux cas : $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ , toujours vrai
4.La démontrer ou la réfuter : une démonstration prouve qu'elle est toujours vraie, un seul contre-exemple prouve qu'elle est fausse

Une conjecture obtenue par raisonnement inductif est seulement probablement vraie, jamais certaine. L'expression

n^2 + n + 41

donne un nombre premier pour

n = 0, 1, 2, \ldots, 39

, quarante cas de suite, et pourtant pour

n = 40

elle donne

1681 = 41 \times 41

, qui n'est pas premier.

Le raisonnement déductif fait le chemin inverse : il part de faits dont on sait qu'ils sont vrais et arrive à une conclusion qui est forcément vraie. Le raisonnement inductif trouve des idées, le raisonnement déductif les démontre.

Attention aux noms : le raisonnement par récurrence (thème Démonstrations), appelé aussi induction mathématique, est une méthode de démonstration déductive, pas du raisonnement inductif.

Exemples résolus

Additionne les premiers nombres impairs : $1$ , $1 + 3$ , $1 + 3 + 5$ , $1 + 3 + 5 + 7$ . Formule une conjecture et utilise-la pour prévoir la somme des $10$ premiers nombres impairs.

Observe les cas

$1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ → Sommes : $1, 4, 9, 16$

Cherche une régularité

$1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ , $16 = 4^2$ → Chaque somme est un carré parfait

Formule une conjecture

Avec $n$ nombres impairs, la somme semble valoir $n \times n$ → Somme des $n$ premiers nombres impairs $= n^2$

Teste-la sur un nouveau cas

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ → La conjecture résiste au test

Utilise-la pour prévoir

$n = 10$ : $10^2 = 100$

Réponse: Conjecture : la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ . La somme des $10$ premiers nombres impairs devrait être $100$ (et cette conjecture a bien été démontrée).

Erreurs courantes

Croire qu'une conjecture est démontrée parce qu'elle a marché dans beaucoup de cas

Pourquoi c'est faux: Les exemples peuvent seulement appuyer une conjecture. $n^2 + n + 41$ est premier pour $40$ valeurs de suite et échoue quand même pour $n = 40$ .

Correct: Appelle-la conjecture tant qu'elle n'est pas démontrée. Dis "probablement vrai", pas "vrai".

Croire qu'un seul contre-exemple ne suffit pas pour rejeter une conjecture

Pourquoi c'est faux: Une conjecture affirme quelque chose sur tous les cas. Si un seul cas échoue, l'affirmation "toujours" est fausse.

Correct: Un contre-exemple suffit. $2$ est premier et pair, donc "tous les nombres premiers sont impairs" est faux.

Tester seulement des nombres entiers positifs faciles

Pourquoi c'est faux: Beaucoup de conjectures échouent pour $0$ , pour les nombres négatifs ou pour les fractions. "Élever au carré rend un nombre plus grand" marche pour $2, 3, 10$ mais pas pour $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Correct: Teste exprès des cas particuliers : $0$ , $1$ , des nombres négatifs, des fractions et de grands nombres.

Confondre le raisonnement par récurrence et le raisonnement inductif

Pourquoi c'est faux: Les deux font penser au mot induction, mais le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration déductive avec une initialisation et une hérédité.

Correct: Le raisonnement inductif formule une conjecture à partir d'exemples. Le raisonnement par récurrence démontre une propriété pour tous les entiers naturels.

Pourquoi c'est important

La plupart des idées nouvelles commencent par un raisonnement inductif, en mathématiques comme dans la vie :

Météo : les météorologues comparent de nombreux jours passés avec des nuages, un vent et une pression semblables et prévoient ce qui arrivera probablement demain
Sciences : une chercheuse répète une expérience de nombreuses fois et énonce une loi qui correspond à tous les résultats, jusqu'à ce qu'un nouveau résultat la contredise
Mathématiques : de célèbres théorèmes ont commencé comme des conjectures trouvées en testant des exemples ; certaines, comme la conjecture de Goldbach, ne sont toujours pas démontrées
Vie quotidienne : si le bus a été en retard tous les matins cette semaine, tu pars plus tôt demain

Connaître ses limites est tout aussi important : un seul contre-exemple suffit à faire tomber une conjecture, peu importe le nombre d'exemples qui la soutenaient.

Applications dans le monde réel

Prévisions météo

Les météorologues comparent la journée avec de nombreux jours passés qui lui ressemblaient. Ce qui s'est passé le plus souvent ensuite devient la prévision, c'est pourquoi les prévisions donnent des probabilités et non des certitudes.

Exemple:

S'il a plu le lendemain lors de $80$ des $100$ jours passés avec ces nuages et ce vent, la prévision annonce $80\%$ de risque de pluie.

1Essaie par toi-même

La température du matin était de $8°C$ lundi, $10°C$ mardi, $12°C$ mercredi et $14°C$ jeudi.

Si la régularité continue, quelle sera la température samedi matin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pars des $14$ degrés de jeudi et ajoute $2$ jours de $2$ degrés :

Les expériences en sciences

Les scientifiques répètent des mesures, cherchent une régularité et énoncent une règle. On fait confiance à la règle tant qu'aucune expérience ne la contredit.

Exemple:

Si l'on accroche $1$ , $2$ puis $3$ masses identiques à un ressort, il s'allonge de $3$ cm, $6$ cm et $9$ cm. La conjecture : $3$ cm d'allongement par masse. Avec trop de masses, le ressort s'abîme et la règle ne marche plus.

2Essaie par toi-même

Un ressort s'allonge de $3$ cm avec $1$ masse, de $6$ cm avec $2$ masses et de $9$ cm avec $3$ masses.

D'après la conjecture, de combien s'allongera-t-il avec $7$ masses ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie l'allongement par masse par le nombre de masses :

Organiser un tournoi

Dans un tournoi toutes rondes, chaque équipe rencontre chaque autre équipe une seule fois. Les organisateurs peuvent trouver le nombre de matchs à partir de petits cas et d'une conjecture.

Exemple:

$2$ équipes jouent $1$ match, $3$ équipes $3$ matchs, $4$ équipes $6$ matchs. La conjecture $\frac{n(n - 1)}{2}$ convient aux trois cas, et ici on peut même la démontrer : chacune des $n$ équipes affronte $n - 1$ autres, et chaque match est compté deux fois.

3Essaie par toi-même

Le club d'échecs d'un collège compte $8$ joueurs. Chaque joueur affronte chaque autre joueur exactement une fois.

Combien de parties seront jouées ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la conjecture $\frac{n(n - 1)}{2}$ avec $n = 8$ :

Points clés

1Le raisonnement inductif va de cas particuliers à une conjecture générale
2Teste une conjecture sur de nouveaux cas, en particulier $0$ , les nombres négatifs, les fractions et les grands nombres
3Beaucoup d'exemples rendent une conjecture probablement vraie, mais ne la démontrent jamais
4Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une conjecture est fausse
5Le raisonnement déductif démontre une conjecture : l'inductif trouve l'idée, le déductif la rend certaine
6Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration déductive, pas du raisonnement inductif

Questions fréquentes

Si le raisonnement inductif peut se tromper, pourquoi l'utilise-t-on ?

Parce que c'est ainsi qu'on trouve des idées qui valent la peine d'être démontrées. Le raisonnement déductif a besoin d'un énoncé de départ, et cet énoncé vient le plus souvent d'une régularité remarquée dans des exemples.

Combien d'exemples faut-il avant de pouvoir faire confiance à une conjecture ?

Aucun nombre d'exemples ne suffit pour être certain.

n^2 + n + 41

marche

40

fois puis échoue. Plus d'exemples, et des exemples variés, rendent une conjecture plus crédible, mais seule une démonstration la rend certaine.

Le raisonnement par récurrence est-il une forme de raisonnement inductif ?

Non. Malgré son autre nom d'induction mathématique, c'est une démonstration déductive : tu démontres l'initialisation et tu démontres que chaque cas entraîne le suivant, donc la propriété est certaine pour tous les entiers naturels.

Existe-t-il des conjectures célèbres que personne n'a encore démontrées ?

Oui. La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à

2

est la somme de deux nombres premiers, comme

10 = 3 + 7

. Des ordinateurs l'ont vérifiée pour tous les nombres pairs jusqu'à

4 \times 10^{18}

, mais elle n'est toujours pas démontrée.

Glossaire

Raisonnement inductif: Raisonnement qui va de cas particuliers à une conclusion générale probablement vraie, mais pas certaine
Conjecture: Énoncé général qui semble vrai d'après des exemples mais qui n'a pas été démontré
Contre-exemple: Un cas pour lequel un énoncé est faux ; il montre que l'énoncé n'est pas toujours vrai
Raisonnement déductif: Raisonnement qui part de faits et de règles connus pour arriver à une conclusion forcément vraie
Démonstration: Argument déductif qui montre qu'un énoncé est vrai dans tous les cas

Carte des formules

Le cycle inductif

\text{observer} \to \text{conjecturer} \to \text{tester} \to \text{démontrer ou réfuter}

Les exemples mènent à une conjecture ; les tests et la démonstration décident si elle tient

Somme des n premiers nombres impairs

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

Trouvée par raisonnement inductif à partir d'exemples, démontrée ensuite

Diagonales d'un polygone

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Nombre de diagonales d'un polygone à $n$ côtés

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Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Prévisions météo

Les expériences en sciences

Organiser un tournoi

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Le cycle inductif

Somme des n premiers nombres impairs

Diagonales d'un polygone

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