Commence par un indice qui donne un fait fixe ("Cleo est à la place $3$") ou qui exclut le plus de possibilités. Les faits fixes remplissent la grille le plus vite, et chaque nouveau ✓ crée d'autres ✗.

Le raisonnement par cas, ce n'est pas deviner ?

Non. Une réponse devinée est gardée sans vérification. Dans le raisonnement par cas, tu suis chaque cas jusqu'au bout et tu rejettes chaque cas qui mène à une contradiction. S'il ne reste qu'un cas, tu as démontré que c'est la réponse.

Pourquoi personne sur l'île ne peut dire "Je suis un fripon" ?

Un chevalier qui le dirait mentirait, et les chevaliers ne mentent jamais. Un fripon qui le dirait dirait la vérité, et les fripons ne le font jamais. Cette phrase est donc impossible pour tous les habitants de l'île.

Ressources enseignants

Énigmes logiques

Résous des énigmes logiques étape par étape avec la grille, l'élimination, le raisonnement par cas, les chevaliers et fripons, les indices d'ordre, les indices numériques et les traversées de rivière.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une énigme logique te donne quelques indices et te demande de trouver la seule disposition qui les respecte tous : qui possède quel animal, qui se trouve où dans une file, à quel nombre quelqu'un pense. Une énigme bien construite a exactement une solution, et tu l'atteins uniquement par le raisonnement, sans deviner.

La méthode de la grille. Quand tu associes deux groupes (des personnes et des sports, par exemple), dessine un tableau avec une ligne par personne et une colonne par élément. Écris ✗ dans chaque case qu'un indice exclut et ✓ dans la case qui doit être vraie. Dans la grille terminée, chaque ligne et chaque colonne contient exactement un ✓.

Indices : Ana ne pratique aucun sport de ballon. Ben ne joue pas au tennis.

	Football	Tennis	Natation
Ana	✗	✗	✓
Ben	✓	✗	✗
Cleo	✗	✓	✗

Ana reçoit ✗ pour le football et le tennis, donc ✓ pour la natation. La natation est prise et Ben ne joue pas au tennis, donc Ben ✓ football, et Cleo ✓ tennis.

Autres stratégies que tu vas utiliser dans cette leçon :

Méthode par élimination : barre ce qui est impossible jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une possibilité
Raisonnement par cas : suppose une possibilité, suis-la jusqu'au bout et abandonne-la si elle mène à une contradiction
Chevaliers et fripons : les chevaliers disent toujours la vérité, les fripons mentent toujours, donc teste les deux cas pour chaque personne qui parle
Énigmes d'ordre : dessine la file ou la rangée de maisons et place d'abord les personnes dont la place est fixée
Énigmes numériques : transforme les indices de somme et de produit en une courte liste de candidats et teste chacun d'eux
Énigmes de traversée : compte chaque trajet simple et cherche le mouvement qu'on ne peut pas éviter

Essaie tout de suite

Ana, Ben et Cleo ont chacun un animal différent : un chat, un chien ou un poisson. L'animal d'Ana vit dans l'eau. Ben n'a pas le chat. À qui est le chat ?

Exemples résolus

Lena, Marco et Nina ont chacun un animal différent : un chat, un chien ou un perroquet. Indice 1 : Marco est allergique aux animaux à poils. Indice 2 : Lena n'a pas le chien. À qui est chaque animal ?

Dessine une grille $3 \times 3$

Lignes : Lena, Marco, Nina. Colonnes : chat, chien, perroquet. Cela fait $3 \times 3 = 9$ cases, et chaque ligne et chaque colonne recevra exactement un ✓. → Une grille vide de 9 cases

Utilise l'indice 1

Les chats et les chiens ont des poils, donc écris ✗ dans les cases chat et chien de Marco. Il ne reste que le perroquet sur sa ligne. → Marco ✓ perroquet

Complète la colonne perroquet

Une seule personne a le perroquet, donc écris ✗ pour Lena et pour Nina dans la colonne perroquet. → Lena et Nina : ✗ perroquet

Utilise l'indice 2

Lena a maintenant ✗ pour le chien et ✗ pour le perroquet, donc il ne reste que le chat sur sa ligne. → Lena ✓ chat

Remplis la dernière case

Sur la ligne de Nina il ne reste que le chien, et la colonne chien n'a pas encore de ✓. → Nina ✓ chien

Réponse: Lena a le chat, Marco le perroquet et Nina le chien. Vérification : le perroquet n'a pas de poils, et Lena n'a pas le chien, donc les deux indices sont respectés.

Erreurs courantes

Écrire un ✓ dans la grille sans barrer le reste de sa ligne et de sa colonne

Pourquoi c'est faux: Chaque personne a exactement un élément et chaque élément a exactement un propriétaire. Les ✗ oubliés cachent la déduction suivante.

Correct: Chaque fois que tu écris un ✓, écris aussitôt ✗ dans toutes les autres cases de cette ligne et de cette colonne.

Lire "juste derrière" comme "quelque part derrière"

Pourquoi c'est faux: "Dan est juste derrière Ben" veut dire deux places voisines, alors que "Ana est quelque part devant Eva" permet un écart. Les confondre donne des solutions fausses ou en trop.

Correct: Souligne les mots comme juste, à côté de, quelque part, ne... pas et seulement, et utilise chaque indice exactement comme il est écrit.

Croire ce que dit quelqu'un dans une énigme de chevaliers et fripons

Pourquoi c'est faux: La phrase peut venir d'un fripon. La prendre pour vraie, c'est n'examiner qu'un seul des deux cas.

Correct: Teste les deux cas pour chaque personne qui parle : chevalier (la phrase est vraie) et fripon (la phrase est fausse). Garde seulement le cas sans contradiction.

Compter des allers-retours au lieu des traversées

Pourquoi c'est faux: Un aller-retour, ce sont deux traversées. Celui qui compte la solution du loup, de la chèvre et du chou comme $3$ allers-retours plus un dernier trajet annonce $4$ au lieu de $7$ .

Correct: Compte chaque trajet simple séparément, et lis bien ce que demande la question.

Visuel interactif

Grille logique

Indices

Touche un indice pour le barrer une fois que tu l'as utilisé.

		Animal			Couleur préférée
		chat	chien	poisson	rouge	vert	bleu
Personne	Ana
	Ben
	Cleo
Couleur préférée	rouge
	vert
	bleu

Touche une case une fois pour ✗ (non), deux fois pour ✓ (oui), une troisième fois pour l'effacer. Un ✓ barre le reste de sa ligne et de sa colonne.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Ana, Ben et Cleo ont chacun un animal différent : un chat, un chien ou un poisson. L'animal d'Ana vit dans l'eau. Ben n'a pas le chat. À qui est le chat ?

Exercices pratiques: Énigmes logiques

1. Ana, Ben et Cleo ont chacun un animal différent : un chat, un chien ou un poisson. L'animal d'Ana vit dans l'eau. Ben n'a pas le chat. À qui est le chat ?
2. Mia, Tom et Leo ont 10, 12 et 14 ans, chacun un âge différent. Leo est le plus jeune. Mia est plus âgée que Tom. Quel âge a Mia ?
3. Ana, Ben, Cleo, Dan et Eva se rangent par taille, du plus petit au plus grand (la place 1 est pour le plus petit). Cleo est la plus petite. Ben est le plus grand. Eva est plus grande qu'Ana mais plus petite que Dan. À quelle place est Eva ?
4. Sur l'île des chevaliers (disent toujours la vérité) et des fripons (mentent toujours), quelle phrase personne ne peut jamais dire ?
5. Deux nombres entiers ont pour somme 15 et pour différence 3. Quel est le plus grand des deux ?
6. Ana, Ben et Cleo habitent dans les maisons numéro 1, 2 et 3, une maison chacun. Ana n'habite ni dans la maison 1 ni dans la maison 3. Le numéro de Ben est plus grand que celui de Cleo. Dans quelle maison habite Ben ?
7. Trois maisons sont alignées : à gauche, au milieu et à droite. Elles sont peintes en rouge, en bleu et en vert, une couleur chacune. La maison rouge n'est pas au milieu. La maison verte est juste à droite de la maison rouge. De quelle couleur est la maison du milieu ?
8. Eva, Leo, Mia et Tom sont dans une file, aux places 1 (devant) à 4 (derrière). Tom est juste derrière Eva. Leo n'est à aucune des deux extrémités. Mia est quelque part derrière Leo. À quelle place est Leo ?
9. Lea, Max et Sam ont mangé 2, 3 et 5 parts de pizza, un nombre différent chacun. Max a mangé plus de parts que Lea. Lea et Sam ont mangé 7 parts à eux deux. Combien de parts Sam a-t-il mangées ?
10. Sur l'île des chevaliers (disent toujours la vérité) et des fripons (mentent toujours), A dit : "B est un fripon." B dit : "A et moi sommes du même type." Que sont A et B ?
11. Six amis veulent traverser une rivière dans une barque qui porte au maximum 2 personnes. La barque ne peut pas traverser vide, donc quelqu'un doit la ramener à chaque fois. Quel est le plus petit nombre de traversées ? (Chaque trajet simple compte pour une traversée.)
12. Sur l'île des chevaliers (disent toujours la vérité) et des fripons (mentent toujours), A dit : "Au moins l'un de nous deux est un fripon." Combien y a-t-il de chevaliers parmi A et B ?
13. Deux nombres entiers ont pour somme 11 et pour produit 24. Quel est le plus petit des deux ?
14. Trois caisses portent les étiquettes "Pommes", "Oranges" et "Mélange". Toutes les étiquettes sont fausses. Tu peux sortir un fruit d'une caisse sans regarder dedans. De quelle caisse dois-tu le prendre pour pouvoir ensuite étiqueter correctement les trois caisses ?
15. Un nombre à deux chiffres a une somme des chiffres égale à 12. Si tu échanges ses deux chiffres, le nouveau nombre dépasse l'ancien de 18. Quel est le nombre de départ ?
16. Ana, Ben, Cleo et Dan habitent dans les maisons 1, 2, 3 et 4, alignées dans cet ordre le long d'une rue. Le numéro de Ben est le double de celui d'Ana. Cleo habite juste à côté de Ben. Le numéro de Dan est impair. Dans quelle maison habite Dan ?
17. Sur l'île des chevaliers (disent toujours la vérité) et des fripons (mentent toujours), A dit : "B est un fripon." B dit : "C est un fripon." C dit : "A et B sont tous les deux des fripons." Combien des trois sont des chevaliers ? Dans les étapes, écris 1 pour chevalier et 0 pour fripon.
18. Trois adultes et deux enfants doivent traverser une rivière. La barque peut porter un adulte, ou un enfant, ou deux enfants, jamais plus, et elle ne peut pas traverser vide. Quel est le plus petit nombre de traversées ? (Chaque trajet simple compte pour une traversée.)

Pourquoi c'est important

Les énigmes logiques entraînent la façon de penser qu'on utilise partout en mathématiques et bien au-delà :

Démonstrations : le raisonnement par cas et le raisonnement par l'absurde sont les mêmes outils que les mathématiciens utilisent en géométrie et en arithmétique
Informatique : les programmeurs trouvent les bugs en éliminant les causes une par une, et les logiciels de planification résolvent d'immenses grilles
Organisation au quotidien : caser des examens, des matchs ou des horaires de travail dans un planning, c'est une grille logique avec de vrais indices
Jeux et concours : le Sudoku, le KenKen et les problèmes des olympiades de maths récompensent tous le même raisonnement soigneux

Le plus utile que tu retiens, c'est une habitude : note ce que tu sais, élimine ce qui est impossible et vérifie que ta réponse respecte chaque indice.

Applications dans le monde réel

Emplois du temps et plannings

Les écoles, les ligues sportives et les compagnies aériennes construisent leurs plannings en résolvant d'immenses grilles : chaque événement a besoin d'exactement un créneau, et les règles sont les indices.

Exemple:

Une école avec $3$ examens et $3$ jours d'examen remplit une grille $3 \times 3$ , exactement comme pour associer des personnes et des animaux.

1Essaie par toi-même

Trois examens, maths, histoire et arts plastiques, ont lieu les jours $1$ , $2$ et $3$ , un examen par jour. Les maths ne sont pas le jour $1$ . Les arts plastiques ont lieu le jour juste après les maths.

Quel jour a lieu chaque examen ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les maths ne peuvent avoir lieu que le jour $2$ (les arts plastiques ont besoin d'un jour après), et les arts plastiques ont lieu un jour après les maths. Écris le jour des arts plastiques sous forme d'addition :

Trouver une fausse pièce

Le contrôle qualité et le travail de détective utilisent la même idée que les énigmes logiques : répartir les possibilités en groupes et éliminer des groupes entiers d'un coup.

Exemple:

Avec une balance à plateaux, une seule pesée de $3$ pièces contre $3$ pièces t'indique lequel des trois groupes contient une fausse pièce plus légère.

2Essaie par toi-même

Tu as $9$ pièces identiques en apparence, mais l'une d'elles est fausse et plus légère que les autres. Tu as une balance à plateaux et aucun poids.

Quel est le plus petit nombre de pesées qui permet toujours de trouver la fausse pièce ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Chaque pesée divise le nombre de suspectes par $3$ . Écris-le en partant de $9$ pièces :

Organiser un bac

Les énigmes de traversée sont un vrai travail pour les exploitants de bacs et de navettes, qui comptent les trajets simples parce que chaque trajet coûte du carburant et du temps.

Exemple:

Un bateau qui doit revenir chercher d'autres passagers fait $2$ traversées par aller-retour, plus une dernière traversée sans retour.

3Essaie par toi-même

Un petit bac transporte au maximum $3$ voitures par trajet. $8$ voitures attendent sur une rive, d'où le bac part aussi. Il n'a pas besoin de revenir à la fin.

Quel est le plus petit nombre de traversées nécessaires ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les trajets avec des voitures et les retours à vide :

Points clés

1Une énigme logique a des indices et exactement une solution qui les respecte tous, trouvée par le raisonnement et non en devinant
2Méthode de la grille : une ligne par personne, une colonne par élément ; ✓ marque un fait, ✗ exclut une case, et chaque ligne et chaque colonne finit avec exactement un ✓
3Méthode par élimination : quand toutes les possibilités sauf une sont barrées, la dernière est forcément vraie
4Raisonnement par cas : suppose une possibilité et suis-la ; une contradiction signifie que ce cas est impossible
5Les chevaliers disent toujours la vérité et les fripons mentent toujours, donc teste chaque personne dans les deux rôles et garde le cas cohérent
6Dans les énigmes de traversée, compte chaque trajet simple ; $n$ personnes avec une barque à 2 places ont besoin de $2n - 3$ traversées

Questions fréquentes

Alors soit un indice a été mal lu, soit l'énigme est mal construite. Une bonne énigme a exactement une solution. Relis chaque indice, surtout les mots comme juste, ne... pas et seulement, et teste de nouveau les deux réponses avec chaque indice.

Glossaire

Indice: Une information de l'énigme qui autorise ou exclut certaines dispositions
Grille logique: Un tableau avec une ligne par personne et une colonne par élément, rempli de ✓ et de ✗
Méthode par élimination: Barrer les possibilités impossibles jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'une
Raisonnement par cas: Découper un problème en tous les cas possibles et vérifier chacun séparément
Contradiction: Deux faits qui ne peuvent pas être vrais en même temps ; en rencontrer une montre qu'une supposition était fausse
Chevalier et fripon: Personnages d'énigme : un chevalier dit toujours la vérité, un fripon ment toujours

Carte des formules

Règle de la grille

3 \times 3 = 9

cases, dont exactement

3

avec ✓

Chaque ligne et chaque colonne a exactement un ✓ ; un ✓ transforme le reste de sa ligne et de sa colonne en ✗

Raisonnement par cas

\text{cas} \Rightarrow \text{contradiction}

, donc le cas est impossible

Essaie chaque cas et garde seulement celui qui respecte tous les indices

Traversées avec une barque à 2 places

2n - 3

Pour $n \ge 2$ personnes quand quelqu'un doit ramer au retour à chaque fois ; par exemple $5$ personnes ont besoin de $7$ traversées

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