Guide de l'enseignant: Énigmes logiques

Résous des énigmes logiques étape par étape avec la grille, l'élimination, le raisonnement par cas, les chevaliers et fripons, les indices d'ordre, les indices numériques et les traversées de rivière.

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Quiz de classe

10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Organiser les indices d'une énigme dans une grille logique et la remplir avec des ✓ et des ✗
Utiliser la méthode par élimination et le raisonnement par cas pour arriver à une solution unique
Résoudre des énigmes de chevaliers et fripons en testant les deux cas pour chaque personne qui parle
Résoudre des énigmes d'ordre et de nombres en listant et en testant les candidats
Trouver le plus petit nombre de traversées dans une énigme de rivière et expliquer pourquoi moins est impossible

Prérequis

• Raisonnement déductif : des conclusions qui découlent nécessairement des prémisses (leçon Le raisonnement déductif)
• Les implications et quand un énoncé est vrai ou faux (leçon Les énoncés si... alors)
• La différence entre démontrer et deviner (leçon Introduction au raisonnement logique)
• Calcul avec les nombres entiers : sommes, différences et produits

Amorces de discussion

1. Comment sais-tu qu'une énigme logique est terminée, et comment être sûr qu'il n'existe pas de deuxième réponse ?
2. Essayer un cas, est-ce la même chose que deviner ? Quand est-ce une bonne idée ?
3. Pourquoi personne sur l'île des chevaliers et des fripons ne peut dire "Je suis un fripon" ?
4. Où, dans la vie réelle, des gens résolvent-ils des grilles logiques sans les appeler ainsi ?

Idées reçues courantes

Si une disposition respecte les indices, c'est forcément la réponse

Remédiation: Demande aux élèves d'essayer de construire une deuxième disposition. Montre une énigme à laquelle il manque un indice et qui a deux solutions, puis ajoute l'indice et regarde une solution disparaître.

Dans les énigmes de chevaliers et fripons, ce que disent les gens est généralement vrai

Remédiation: Faire un jeu de rôle avec des cartes chevalier et fripon cachées, et exiger une vérification écrite des deux cas (chevalier, fripon) pour chaque personne qui parle.

Un indice qui ne nomme pas directement une personne ne sert à rien

Remédiation: Montre comment "le chien n'appartient pas à Lena" donne un ✗ exactement comme un indice direct, et comment les ✗ mènent ensuite aux ✓.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec des grilles 2 sur 2 et seulement deux indices
• Donner des cartes découpées à déplacer au lieu d'écrire dans la grille
• Faire reformuler chaque indice avec ses propres mots avant de l'utiliser

Pour les élèves au niveau:

• Résoudre des grilles 3 sur 3 et écrire une phrase de justification pour chaque ✓
• Résoudre des énigmes de chevaliers et fripons à deux personnes avec un tableau à deux cas
• Compter les traversées pour 4, 5 et 6 personnes avec une barque à 2 places

Pour les élèves avancés:

• Inventer leur propre énigme 3 sur 3 et démontrer qu'elle a exactement une solution
• Résoudre des énigmes de chevaliers et fripons à trois personnes
• Expliquer pourquoi n personnes avec une barque à 2 places ont besoin de 2n - 3 traversées

Alignement aux standards

MP1 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP1)
Comprendre les problèmes et persévérer pour les résoudre
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres
MP7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Repérer et utiliser des structures

Ressources de la leçon

worksheetGrilles logiques à imprimer
Des grilles vides 3 sur 3 et 4 sur 4 avec des énigmes adaptées, de deux à cinq indices
activityLa file humaine
Cinq élèves reçoivent des indices secrets sur l'ordre et doivent se placer en file sans parler d'autre chose que des indices
gameJeu de rôle chevaliers et fripons
Les élèves tirent en secret une carte chevalier ou fripon, chacun fait une affirmation, et la classe découvre qui est qui

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une énigme logique te donne quelques indices et te demande de trouver la seule disposition qui les respecte tous : qui possède quel animal, qui se trouve où dans une file, à quel nombre quelqu'un pense. Une énigme bien construite a exactement une solution, et tu l'atteins uniquement par le raisonnement, sans deviner.

La méthode de la grille. Quand tu associes deux groupes (des personnes et des sports, par exemple), dessine un tableau avec une ligne par personne et une colonne par élément. Écris ✗ dans chaque case qu'un indice exclut et ✓ dans la case qui doit être vraie. Dans la grille terminée, chaque ligne et chaque colonne contient exactement un ✓.

Indices : Ana ne pratique aucun sport de ballon. Ben ne joue pas au tennis.

	Football	Tennis	Natation
Ana	✗	✗	✓
Ben	✓	✗	✗
Cleo	✗	✓	✗

Ana reçoit ✗ pour le football et le tennis, donc ✓ pour la natation. La natation est prise et Ben ne joue pas au tennis, donc Ben ✓ football, et Cleo ✓ tennis.

Autres stratégies que tu vas utiliser dans cette leçon :

Méthode par élimination : barre ce qui est impossible jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une possibilité
Raisonnement par cas : suppose une possibilité, suis-la jusqu'au bout et abandonne-la si elle mène à une contradiction
Chevaliers et fripons : les chevaliers disent toujours la vérité, les fripons mentent toujours, donc teste les deux cas pour chaque personne qui parle
Énigmes d'ordre : dessine la file ou la rangée de maisons et place d'abord les personnes dont la place est fixée
Énigmes numériques : transforme les indices de somme et de produit en une courte liste de candidats et teste chacun d'eux
Énigmes de traversée : compte chaque trajet simple et cherche le mouvement qu'on ne peut pas éviter

Exemples résolus

Lena, Marco et Nina ont chacun un animal différent : un chat, un chien ou un perroquet. Indice 1 : Marco est allergique aux animaux à poils. Indice 2 : Lena n'a pas le chien. À qui est chaque animal ?

Dessine une grille $3 \times 3$

Lignes : Lena, Marco, Nina. Colonnes : chat, chien, perroquet. Cela fait $3 \times 3 = 9$ cases, et chaque ligne et chaque colonne recevra exactement un ✓. → Une grille vide de 9 cases

Utilise l'indice 1

Les chats et les chiens ont des poils, donc écris ✗ dans les cases chat et chien de Marco. Il ne reste que le perroquet sur sa ligne. → Marco ✓ perroquet

Complète la colonne perroquet

Une seule personne a le perroquet, donc écris ✗ pour Lena et pour Nina dans la colonne perroquet. → Lena et Nina : ✗ perroquet

Utilise l'indice 2

Lena a maintenant ✗ pour le chien et ✗ pour le perroquet, donc il ne reste que le chat sur sa ligne. → Lena ✓ chat

Remplis la dernière case

Sur la ligne de Nina il ne reste que le chien, et la colonne chien n'a pas encore de ✓. → Nina ✓ chien

Réponse: Lena a le chat, Marco le perroquet et Nina le chien. Vérification : le perroquet n'a pas de poils, et Lena n'a pas le chien, donc les deux indices sont respectés.

Erreurs courantes

Écrire un ✓ dans la grille sans barrer le reste de sa ligne et de sa colonne

Pourquoi c'est faux: Chaque personne a exactement un élément et chaque élément a exactement un propriétaire. Les ✗ oubliés cachent la déduction suivante.

Correct: Chaque fois que tu écris un ✓, écris aussitôt ✗ dans toutes les autres cases de cette ligne et de cette colonne.

Lire "juste derrière" comme "quelque part derrière"

Pourquoi c'est faux: "Dan est juste derrière Ben" veut dire deux places voisines, alors que "Ana est quelque part devant Eva" permet un écart. Les confondre donne des solutions fausses ou en trop.

Correct: Souligne les mots comme juste, à côté de, quelque part, ne... pas et seulement, et utilise chaque indice exactement comme il est écrit.

Croire ce que dit quelqu'un dans une énigme de chevaliers et fripons

Pourquoi c'est faux: La phrase peut venir d'un fripon. La prendre pour vraie, c'est n'examiner qu'un seul des deux cas.

Correct: Teste les deux cas pour chaque personne qui parle : chevalier (la phrase est vraie) et fripon (la phrase est fausse). Garde seulement le cas sans contradiction.

Compter des allers-retours au lieu des traversées

Pourquoi c'est faux: Un aller-retour, ce sont deux traversées. Celui qui compte la solution du loup, de la chèvre et du chou comme $3$ allers-retours plus un dernier trajet annonce $4$ au lieu de $7$ .

Correct: Compte chaque trajet simple séparément, et lis bien ce que demande la question.

Pourquoi c'est important

Les énigmes logiques entraînent la façon de penser qu'on utilise partout en mathématiques et bien au-delà :

Démonstrations : le raisonnement par cas et le raisonnement par l'absurde sont les mêmes outils que les mathématiciens utilisent en géométrie et en arithmétique
Informatique : les programmeurs trouvent les bugs en éliminant les causes une par une, et les logiciels de planification résolvent d'immenses grilles
Organisation au quotidien : caser des examens, des matchs ou des horaires de travail dans un planning, c'est une grille logique avec de vrais indices
Jeux et concours : le Sudoku, le KenKen et les problèmes des olympiades de maths récompensent tous le même raisonnement soigneux

Le plus utile que tu retiens, c'est une habitude : note ce que tu sais, élimine ce qui est impossible et vérifie que ta réponse respecte chaque indice.

Applications dans le monde réel

Emplois du temps et plannings

Les écoles, les ligues sportives et les compagnies aériennes construisent leurs plannings en résolvant d'immenses grilles : chaque événement a besoin d'exactement un créneau, et les règles sont les indices.

Exemple:

Une école avec $3$ examens et $3$ jours d'examen remplit une grille $3 \times 3$ , exactement comme pour associer des personnes et des animaux.

1Essaie par toi-même

Trois examens, maths, histoire et arts plastiques, ont lieu les jours $1$ , $2$ et $3$ , un examen par jour. Les maths ne sont pas le jour $1$ . Les arts plastiques ont lieu le jour juste après les maths.

Quel jour a lieu chaque examen ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les maths ne peuvent avoir lieu que le jour $2$ (les arts plastiques ont besoin d'un jour après), et les arts plastiques ont lieu un jour après les maths. Écris le jour des arts plastiques sous forme d'addition :

Trouver une fausse pièce

Le contrôle qualité et le travail de détective utilisent la même idée que les énigmes logiques : répartir les possibilités en groupes et éliminer des groupes entiers d'un coup.

Exemple:

Avec une balance à plateaux, une seule pesée de $3$ pièces contre $3$ pièces t'indique lequel des trois groupes contient une fausse pièce plus légère.

2Essaie par toi-même

Tu as $9$ pièces identiques en apparence, mais l'une d'elles est fausse et plus légère que les autres. Tu as une balance à plateaux et aucun poids.

Quel est le plus petit nombre de pesées qui permet toujours de trouver la fausse pièce ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Chaque pesée divise le nombre de suspectes par $3$ . Écris-le en partant de $9$ pièces :

Organiser un bac

Les énigmes de traversée sont un vrai travail pour les exploitants de bacs et de navettes, qui comptent les trajets simples parce que chaque trajet coûte du carburant et du temps.

Exemple:

Un bateau qui doit revenir chercher d'autres passagers fait $2$ traversées par aller-retour, plus une dernière traversée sans retour.

3Essaie par toi-même

Un petit bac transporte au maximum $3$ voitures par trajet. $8$ voitures attendent sur une rive, d'où le bac part aussi. Il n'a pas besoin de revenir à la fin.

Quel est le plus petit nombre de traversées nécessaires ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les trajets avec des voitures et les retours à vide :

Points clés

1Une énigme logique a des indices et exactement une solution qui les respecte tous, trouvée par le raisonnement et non en devinant
2Méthode de la grille : une ligne par personne, une colonne par élément ; ✓ marque un fait, ✗ exclut une case, et chaque ligne et chaque colonne finit avec exactement un ✓
3Méthode par élimination : quand toutes les possibilités sauf une sont barrées, la dernière est forcément vraie
4Raisonnement par cas : suppose une possibilité et suis-la ; une contradiction signifie que ce cas est impossible
5Les chevaliers disent toujours la vérité et les fripons mentent toujours, donc teste chaque personne dans les deux rôles et garde le cas cohérent
6Dans les énigmes de traversée, compte chaque trajet simple ; $n$ personnes avec une barque à 2 places ont besoin de $2n - 3$ traversées

Questions fréquentes

Et si je trouve deux réponses qui respectent tous les indices ?

Alors soit un indice a été mal lu, soit l'énigme est mal construite. Une bonne énigme a exactement une solution. Relis chaque indice, surtout les mots comme juste, ne... pas et seulement, et teste de nouveau les deux réponses avec chaque indice.

Par où commencer ?

Commence par un indice qui donne un fait fixe ("Cleo est à la place

3

") ou qui exclut le plus de possibilités. Les faits fixes remplissent la grille le plus vite, et chaque nouveau ✓ crée d'autres ✗.

Le raisonnement par cas, ce n'est pas deviner ?

Non. Une réponse devinée est gardée sans vérification. Dans le raisonnement par cas, tu suis chaque cas jusqu'au bout et tu rejettes chaque cas qui mène à une contradiction. S'il ne reste qu'un cas, tu as démontré que c'est la réponse.

Pourquoi personne sur l'île ne peut dire "Je suis un fripon" ?

Un chevalier qui le dirait mentirait, et les chevaliers ne mentent jamais. Un fripon qui le dirait dirait la vérité, et les fripons ne le font jamais. Cette phrase est donc impossible pour tous les habitants de l'île.

Glossaire

Indice: Une information de l'énigme qui autorise ou exclut certaines dispositions
Grille logique: Un tableau avec une ligne par personne et une colonne par élément, rempli de ✓ et de ✗
Méthode par élimination: Barrer les possibilités impossibles jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'une
Raisonnement par cas: Découper un problème en tous les cas possibles et vérifier chacun séparément
Contradiction: Deux faits qui ne peuvent pas être vrais en même temps ; en rencontrer une montre qu'une supposition était fausse
Chevalier et fripon: Personnages d'énigme : un chevalier dit toujours la vérité, un fripon ment toujours

Carte des formules

Règle de la grille

3 \times 3 = 9

cases, dont exactement

3

avec ✓

Chaque ligne et chaque colonne a exactement un ✓ ; un ✓ transforme le reste de sa ligne et de sa colonne en ✗

Raisonnement par cas

\text{cas} \Rightarrow \text{contradiction}

, donc le cas est impossible

Essaie chaque cas et garde seulement celui qui respecte tous les indices

Traversées avec une barque à 2 places

2n - 3

Pour $n \ge 2$ personnes quand quelqu'un doit ramer au retour à chaque fois ; par exemple $5$ personnes ont besoin de $7$ traversées

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Guide de l'enseignant: Énigmes logiques

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Emplois du temps et plannings

Trouver une fausse pièce

Organiser un bac

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Règle de la grille

Raisonnement par cas

Traversées avec une barque à 2 places

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