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Guide de l'enseignant: Reconnaître des régularités

Apprends à trouver la règle cachée derrière les suites de nombres et de formes, à la vérifier sur chaque terme et à prévoir la suite.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Identifier la règle des suites qui additionnent, soustraient, multiplient, alternent ou ont des écarts croissants
  • Continuer une suite en prévoyant les termes suivants
  • Trouver le 10e terme d'une suite qui additionne sans écrire tous les termes
  • Vérifier qu'une règle proposée marche pour chaque terme d'une suite
  • Appliquer les régularités aux calendriers, aux motifs de carreaux et à l'épargne
Prérequis
  • • Introduction au raisonnement logique : la différence entre raisonnement inductif et déductif
  • • Le raisonnement déductif : appliquer une règle générale à un cas particulier
  • • Additionner, soustraire et multiplier des nombres entiers
  • • La division avec reste
Amorces de discussion
  • 1. Où vois-tu des régularités dans ta journée, à la maison ou à l'école ?
  • 2. Si quelqu'un te dit 2, 4, ... et te demande le nombre suivant, combien de réponses différentes pourraient être justes ?
  • 3. Pourquoi ne suffit-il pas de vérifier une règle sur les deux premiers termes ?
  • 4. Comment pourrais-tu trouver le 100e terme de 3, 7, 11, 15 sans écrire tous les termes ?
  • 5. Peux-tu inventer une suite difficile à deviner pour un ami ? Qu'est-ce qui la rend difficile ?
Idées reçues courantes

Toute suite de nombres est une suite qui additionne

Remédiation: Montre 3,6,12,243, 6, 12, 24 à côté de 3,6,9,123, 6, 9, 12. Fais calculer les écarts des deux suites et constater que seule la seconde a des écarts égaux.

Le n-ième terme est le premier terme plus n étapes

Remédiation: Utilise une échelle ou une rangée de chaises : aller de la chaise 1 à la chaise 10 demande 9 pas. Vérifie la méthode sur un terme déjà connu, comme le 3e terme.

Une règle qui convient aux deux premiers termes est prouvée

Remédiation: Jouez à Devine ma règle avec 1, 2, ... puis révèle 4 (doubler) ou 3 (plus 1). Les élèves apprennent à demander plus de termes et à tester chaque paire.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer uniquement par des suites qui additionnent et écrire les écarts d'une autre couleur
  • • Construire chaque figure d'un motif de carreaux avec des jetons ou des carreaux
  • • Donner la règle et demander seulement le terme suivant avant de demander la règle

Pour les élèves au niveau:

  • • Mélanger des suites qui additionnent, qui multiplient et alternées sur une même fiche
  • • Trouver le 10e terme de suites qui additionnent et le vérifier sur un terme connu
  • • Résoudre des problèmes de calendrier et d'épargne avec des suites

Pour les élèves avancés:

  • • Trouver le 50e ou le 100e terme d'une suite qui additionne
  • • Travailler sur des suites dont les écarts grandissent, comme les carrés 1,4,9,161, 4, 9, 16
  • • Créer ses propres énigmes de suites avec une règle cachée pour la classe
Alignement aux standards
  • 4.OA.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.C.5)

    Produire une suite de nombres ou de formes qui suit une règle donnée et repérer des propriétés de la suite qui ne figurent pas explicitement dans la règle

  • 5.OA.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.5.OA.B.3)

    Produire deux suites numériques à partir de deux règles données et repérer des relations entre les termes correspondants

  • MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)

    Rechercher et utiliser des structures

  • MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)

    Repérer et exprimer des régularités dans des raisonnements répétés

Ressources de la leçon
  • visualVisualiseur de suites

    Change le premier terme et l'étape, et regarde les termes et les barres grandir

  • activityDevine ma règle

    Un élève choisit une règle en secret et dit les termes un par un ; la classe devine la règle et la teste sur le terme suivant

  • worksheetDétectives des suites

    Des suites variées où les élèves écrivent les écarts, nomment la règle et trouvent le 10e terme

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une suite est une liste de nombres ou de formes qui suit une règle. Chaque élément de la liste s'appelle un terme.
Pour reconnaître une régularité, regarde comment chaque terme se transforme en le suivant :
  • Suite qui additionne : on ajoute toujours le même nombre. 5,9,13,175, 9, 13, 17 (plus 44)
  • Suite qui soustrait : on enlève toujours le même nombre. 30,25,20,1530, 25, 20, 15 (moins 55)
  • Suite qui multiplie : chaque terme est multiplié par le même nombre. 3,6,12,243, 6, 12, 24 (fois 22)
  • Suite alternée : deux étapes se succèdent à tour de rôle. 10,13,11,14,1210, 13, 11, 14, 12 (plus 33, moins 22)
  • Suite à écarts croissants : l'étape elle-même grandit. 1,2,4,7,111, 2, 4, 7, 11 (plus 11, puis 22, puis 33, puis 44)
  • Motif qui se répète : un bloc revient encore et encore, comme cercle, carré, triangle, cercle, carré, triangle
Une règle ne compte que si elle marche pour chaque terme, pas seulement pour les deux premiers. Trouver une règle à partir d'exemples, c'est le raisonnement inductif ; la vérifier sur tous les termes t'évite les erreurs.

Exemples résolus

Trouve la règle et les deux termes suivants : 5,9,13,17,…5, 9, 13, 17, \ldots

1

Calcule l'écart entre voisins

9−5=49 - 5 = 4, 13−9=413 - 9 = 4, 17−13=417 - 13 = 4 → L'écart est toujours 44

2

Énonce la règle

Chaque terme vaut 44 de plus que le précédent → Règle : commencer à 55, ajouter 44

3

Utilise la règle pour continuer

17+4=2117 + 4 = 21, 21+4=2521 + 4 = 25 → 2121 et 2525

Erreurs courantes

Choisir une règle en regardant seulement les deux premiers termes

Pourquoi c'est faux: Dans 2,4,8,162, 4, 8, 16, le premier saut est +2+2, mais 4+2=64 + 2 = 6, pas 88. Beaucoup de règles conviennent à deux nombres.

Correct: Teste la règle sur chaque paire de voisins. Ici, ×2\times 2 marche pour tous : 2,4,8,162, 4, 8, 16.

Utiliser 1010 sauts pour atteindre le 10e terme

Pourquoi c'est faux: Le premier terme est déjà là. Du terme 11 au terme 1010, il n'y a que 99 sauts.

Correct: 10e terme == premier terme +9×+ 9 \times étape. Pour 4,7,10,…4, 7, 10, \ldots : 4+9×3=314 + 9 \times 3 = 31, et non 4+10×3=344 + 10 \times 3 = 34.

Croire que chaque suite ajoute le même nombre

Pourquoi c'est faux: Dans 2,6,18,542, 6, 18, 54, les écarts sont 4,12,364, 12, 36, donc ce n'est pas une suite qui additionne.

Correct: Si les écarts ne sont pas égaux, essaie la multiplication (ici ×3\times 3), les étapes alternées ou les écarts croissants.

Oublier où l'on en est dans une suite alternée

Pourquoi c'est faux: Dans 10,13,11,14,12,1510, 13, 11, 14, 12, 15, l'étape suivante dépend de la dernière. Refaire +3+3 donne 1818, ce qui est faux.

Correct: Écris les changements sous les termes (+3,−2,+3,…+3, -2, +3, \ldots) et continue l'alternance : 15−2=1315 - 2 = 13.

Pourquoi c'est important

Les régularités sont partout, et les repérer fait gagner du temps :
  • Calendriers : chaque lundi d'un mois tombe 77 jours après le précédent, donc tu trouves n'importe quelle date sans compter jour par jour
  • Carrelage et construction : si chaque nouvelle rangée d'un sol demande 33 carreaux de plus, tu peux prévoir combien de carreaux acheter
  • Économiser de l'argent : mettre la même somme dans ta tirelire chaque semaine te permet de prévoir quand tu atteindras ton objectif
  • Musique et art : les rythmes et les frises sont des motifs qui se répètent
  • Sciences et ordinateurs : les scientifiques cherchent des régularités dans les données, et on entraîne les ordinateurs à reconnaître des motifs dans les images et les sons
Reconnaître une régularité est la première étape du raisonnement logique : tu remarques une règle, tu la testes, puis tu t'en sers pour prévoir.

Applications dans le monde réel

Calendriers

Le même jour de la semaine revient tous les $7$ jours, donc les dates de ce jour forment une suite qui additionne.

Exemple:

Si le premier lundi du mois est le 33, les lundis sont le 33, le 1010, le 1717, le 2424 et le 3131.

1Essaie par toi-même

Le premier samedi du mois est le 66. Les cours de natation ont lieu tous les samedis.

Quelle est la date du 4e samedi du mois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Commence à 66 et ajoute 33 sauts de 77 jours :

Carreaux et motifs dans la construction

Les carreleurs et les designers utilisent des motifs de carreaux pour les sols, les allées et les murs, et ils doivent savoir combien de carreaux il faut pour chaque partie.

Exemple:

Une allée où chaque nouvelle section ajoute 22 carreaux utilise 6,8,10,12,…6, 8, 10, 12, \ldots carreaux. On peut prévoir n'importe quelle section sans la dessiner.

2Essaie par toi-même

Un motif de carreaux a 55 carreaux dans la figure 1, 88 carreaux dans la figure 2 et 1111 carreaux dans la figure 3.

Combien de carreaux y a-t-il dans la figure 6 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Commence à 55 et ajoute 55 sauts de 33 :

Économiser de l'argent

Mettre la même somme de côté chaque semaine fait grandir le contenu de la tirelire selon une suite qui additionne.

Exemple:

Avec 10 € au départ et 4 € économisés chaque semaine, le total est de 14 €, 18 €, 22 € puis 26 € après les semaines 1 à 4.

3Essaie par toi-même

Nora a 15 € dans sa tirelire. Elle y met 5 € chaque semaine.

Combien d'argent aura-t-elle après 8 semaines ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Commence à 1515 et ajoute 88 sauts de 55 :

Points clés

  • 1Une suite suit une règle, et chaque élément s'appelle un terme
  • 2Regarde d'abord les écarts entre voisins : des écarts égaux signifient une suite qui additionne ou qui soustrait
  • 3Si les écarts ne sont pas égaux, essaie la multiplication, les étapes alternées ou les écarts croissants
  • 4Une règle n'est correcte que si elle marche pour chaque terme, pas seulement pour les deux premiers
  • 5Pour le 10e terme d'une suite qui additionne, ajoute 99 étapes au premier terme
  • 6Dans un motif qui se répète, divise la position par la longueur du bloc et utilise le reste

Questions fréquentes

Par où commencer quand je vois une nouvelle suite ?

Écris l'écart entre chaque paire de termes voisins sous la liste. S'ils sont tous égaux, c'est une suite qui additionne ou qui soustrait. Sinon, essaie la multiplication ou cherche une régularité dans les écarts.

Une suite peut-elle avoir plusieurs règles ?

Avec seulement deux ou trois termes, oui, plusieurs règles peuvent convenir. C'est pourquoi il faut assez de termes et vérifier ta règle sur tous. Pour 2,42, 4, la règle peut être +2+2 ou ×2\times 2, mais 2,4,82, 4, 8 ne convient qu'à ×2\times 2.

Pourquoi ajouter 9 étapes et pas 10 pour obtenir le 10e terme ?

Le premier terme est déjà en place. Pour aller du terme 11 au terme 1010, tu fais 99 sauts, comme pour monter du 1er au 10e barreau d'une échelle.

Comment trouver la 20e forme d'un motif qui se répète ?

Compte les formes d'un bloc. Pour cercle, carré, triangle, le bloc a 33 formes. 20÷3=620 \div 3 = 6 reste 22, donc la 20e forme est la 2e forme du bloc : un carré.

Glossaire

Suite
Une liste de nombres ou de formes qui suit une règle
Terme
Un élément d'une suite ; le 1er terme est le premier élément, le 2e terme le suivant, et ainsi de suite
Règle
L'instruction qui dit comment passer d'un terme au suivant, par exemple plus 44 ou fois 22
Écart
Le résultat de la soustraction d'un terme au terme suivant, par exemple 9−5=49 - 5 = 4
Suite alternée
Une suite dans laquelle deux étapes différentes se succèdent à tour de rôle, par exemple +3+3, −2-2, +3+3, −2-2
Motif qui se répète
Une suite dans laquelle le même bloc d'éléments revient, par exemple rouge, bleu, rouge, bleu

Carte des formules

Vérifier les écarts

eˊcart=terme suivant−terme\text{écart} = \text{terme suivant} - \text{terme}

Si tous les écarts sont égaux, la suite ajoute (ou enlève) ce nombre

10e terme d'une suite qui additionne

10e terme=1er terme+9×eˊtape\text{10e terme} = \text{1er terme} + 9 \times \text{étape}

Du 1er au 10e terme, il y a 9 sauts

Position dans un motif qui se répète

position÷longueur du bloc=… reste r\text{position} \div \text{longueur du bloc} = \ldots \text{ reste } r

Le reste $r$ indique quel élément du bloc c'est ; un reste de $0$ signifie le dernier élément

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