Les syllogismes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Tous les rectangles sont des parallélogrammes. Tous les carrés sont des rectangles. Donc tous les carrés sont des parallélogrammes. Quel est le moyen terme ?
1. a)Les quadrilatères
2. b)Les rectangles
3. c)Les parallélogrammes
4. d)Les carrés
Réponse: Les rectangles
Les rectangles apparaissent dans les deux prémisses et pas dans la conclusion : rectangles est donc le moyen terme $M$ . Carrés est le petit terme $S$ et parallélogrammes le grand terme $P$ .
2.
Un diagramme de Venn a trois cercles qui se chevauchent, $S$ , $M$ et $P$ . Combien de régions a-t-il, en comptant la région en dehors des trois cercles ?
Réponse: 8
Pour chaque cercle, une région est soit à l'intérieur, soit à l'extérieur : il y a donc $2 \times 2 \times 2 = 8$ régions. 3 régions dans exactement un cercle, 3 dans exactement deux, 1 dans les trois et 1 en dehors de tous.
3.
Rappel : A = tous les $S$ sont $P$ , E = aucun $S$ n'est $P$ , I = certains $S$ sont $P$ , O = certains $S$ ne sont pas $P$ . Quelle liste donne, dans l'ordre, les codes de ces quatre énoncés ? (1) Certains rectangles ne sont pas des carrés. (2) Tous les carrés sont des rectangles. (3) Certains rectangles sont des carrés. (4) Aucun triangle n'est un carré.
1. a)O, E, I, A
2. b)I, A, O, E
3. c)O, A, I, E
4. d)E, A, I, O
Réponse: O, A, I, E
Certains rectangles ne sont pas des carrés est de type O (certains, avec une négation), tous les carrés sont des rectangles est de type A, certains rectangles sont des carrés est de type I, et aucun triangle n'est un carré est de type E. La liste est donc O, A, I, E.
4.
Les $14$ membres du club d'échecs sont tous aussi au club de maths. Le club de maths compte $25$ membres. Combien de membres du club de maths ne sont pas au club d'échecs ?
Réponse: 11
Tous les membres du club d'échecs sont dans le cercle du club de maths : $25 - 14 = 11$ membres du club de maths ne sont donc pas au club d'échecs.
5.
Aucun nombre premier supérieur à $2$ n'est pair. Tous les nombres de l'ensemble $T$ sont des nombres premiers supérieurs à $2$ . Quelle conclusion en découle ?
1. a)Tous les nombres pairs sont dans $T$
2. b)Rien n'en découle
3. c)Certains nombres de $T$ sont pairs
4. d)Aucun nombre de $T$ n'est pair
Réponse: Aucun nombre de $T$ n'est pair
Avec $M$ = nombres premiers supérieurs à $2$ , $P$ = nombres pairs et $S$ = nombres de $T$ , les prémisses sont aucun $M$ n'est $P$ et tous les $S$ sont $M$ . Cette forme valide donne aucun $S$ n'est $P$ : aucun nombre de $T$ n'est pair.
6.
Tous les multiples de $6$ sont des multiples de $3$ . Tous les multiples de $12$ sont des multiples de $6$ . Donc tous les multiples de $12$ sont des multiples de $3$ . Trouve le moyen terme, puis suis le nombre $60$ (un multiple de $12$ ) le long de la chaîne. Combien vaut $60 \div 3$ ?
Réponse: 20
1. Quelle lettre, $S$ , $M$ ou $P$ , désigne les multiples de $6$ ? M
2. Combien vaut $60 \div 12$ ? 5
3. Combien vaut $60 \div 6$ ? 10
4. Combien vaut $60 \div 3$ ? 20
7.
Tous les poètes sont des rêveurs. Certains rêveurs sont ingénieurs. Donc certains poètes sont ingénieurs. Comment juges-tu ce raisonnement ?
1. a)Valide, mais une prémisse est fausse
2. b)Valide et fondé
3. c)Non valide, car un syllogisme ne peut pas utiliser le mot certains
4. d)Non valide : les poètes et les ingénieurs peuvent être des rêveurs différents
Réponse: Non valide : les poètes et les ingénieurs peuvent être des rêveurs différents
Le moyen terme rêveurs ne couvre jamais tout son groupe : les poètes sont une partie des rêveurs, et les ingénieurs peuvent être d'autres rêveurs. Dans le diagramme, le x de certains rêveurs sont ingénieurs peut être en dehors du cercle des poètes : le raisonnement n'est donc pas valide (moyen terme non distribué).
8.
Une classe compte $60$ élèves. Aucun membre de l'équipe de natation n'est dans l'équipe de football. L'équipe de natation a $16$ membres et l'équipe de football $22$ . Combien d'élèves ne sont dans aucune des deux équipes ?
Réponse: 22
Aucun nageur n'est footballeur : l'intersection est vide et $16 + 22 = 38$ élèves sont dans une équipe. Dans aucune équipe : $60 - 38 = 22$ .
9.
Une classe compte $32$ élèves. Les $8$ membres du club d'échecs sont tous au club de maths, qui compte $15$ membres. Aucun membre du club de maths n'est au club de théâtre, qui compte $10$ membres. Combien d'élèves ne sont dans aucun des trois clubs ?
Réponse: 7
1. Combien de membres du club d'échecs sont au club de théâtre ? 0
2. Combien d'élèves sont dans au moins un club ? 25
3. Combien d'élèves ne sont dans aucun club ? 7
10.
Tous les multiples de $4$ sont pairs. Tous les multiples de $6$ sont pairs. Donc tous les multiples de $6$ sont des multiples de $4$ . Montre avec un contre-exemple que le raisonnement n'est pas valide. Quel est le plus petit multiple positif de $6$ qui n'est pas un multiple de $4$ ?
Réponse: 6
1. Quelle lettre, $S$ , $M$ ou $P$ , désigne les nombres pairs ? M
2. Quel est le reste de la division de $6$ par $4$ ? 2
3. Quel est le plus petit multiple positif de $6$ qui n'est pas un multiple de $4$ ? 6
11.
Tous les multiples de $4$ sont des multiples de $8$ . $12$ est un multiple de $4$ . Donc $12$ est un multiple de $8$ . Quelle description est correcte ?
1. a)Valide mais pas fondé : la première prémisse est fausse
2. b)Non valide, car la conclusion est fausse
3. c)Non valide : moyen terme non distribué
4. d)Valide et fondé
Réponse: Valide mais pas fondé : la première prémisse est fausse
La forme tous les $M$ sont $P$ , $x$ est un $M$ , donc $x$ est un $P$ est valide. Mais la première prémisse est fausse : $4$ est un multiple de $4$ mais pas de $8$ . Le raisonnement est donc valide mais pas fondé, et sa conclusion est fausse ( $12 \div 8 = 1{,}5$ ).
12.
Un orchestre compte $24$ membres. Les $9$ élèves qui jouent du violon sont tous dans l'orchestre. $4$ des violonistes chantent dans la chorale, et $7$ autres membres de l'orchestre chantent aussi dans la chorale. Combien de membres de l'orchestre ne chantent pas dans la chorale ?
Réponse: 13
Tous les violonistes sont dans l'orchestre et certains violonistes chantent dans la chorale, donc certains membres de l'orchestre chantent dans la chorale : $4 + 7 = 11$ . Les autres ne chantent pas : $24 - 11 = 13$ .
13.
Teste le syllogisme aucun $M$ n'est $P$ , certains $S$ sont $M$ , donc certains $S$ ne sont pas $P$ avec le diagramme à 8 régions (région 4 = seulement dans $S$ et $M$ , région 6 = seulement dans $M$ et $P$ , région 7 = dans les trois). Quel est le code de la conclusion ?
Réponse: O
1. Combien des 8 régions la prémisse aucun $M$ n'est $P$ hachure-t-elle ? 2
2. L'intersection de $S$ et $M$ , ce sont les régions 4 et 7. Combien sont encore non hachurées ? 1
3. Dans quelle région doit aller le x de certains $S$ sont $M$ ? Donne son numéro. 4
4. La région 4 est dans $S$ et en dehors de $P$ . Quel code (A, E, I ou O) a la conclusion certains $S$ ne sont pas $P$ ? O
14.
Dans le diagramme de Venn à trois cercles pour $S$ , $M$ et $P$ , tu hachures les prémisses tous les $S$ sont $M$ et aucun $M$ n'est $P$ . Combien des 8 régions sont hachurées en tout ?
Réponse: 4
Tous les $S$ sont $M$ hachure les régions 1 et 5 (dans $S$ , en dehors de $M$ ). Aucun $M$ n'est $P$ hachure les régions 6 et 7 (dans $M$ et $P$ ). Aucune région n'apparaît dans les deux listes : $2 + 2 = 4$ régions sont hachurées. Comme les régions 5 et 7 sont hachurées, le diagramme montre aussi aucun $S$ n'est $P$ .
15.
Les énoncés $p \to q$ et $q \to r$ sont vrais, et $r$ est faux. Quel énoncé est forcément vrai ?
1. a) $q$
2. b) $p$
3. c) $\neg p$
4. d) $r \to p$
Réponse: $\neg p$
Le syllogisme hypothétique donne $p \to r$ . Sa contraposée est $\neg r \to \neg p$ . Comme $r$ est faux, $\neg r$ est vrai, donc $\neg p$ est vrai. $q$ ne peut pas être vrai (sinon $r$ le serait), et $r \to p$ n'en découle pas.
16.
Prémisses : si $n$ est divisible par $20$ , alors $n$ est divisible par $10$ . Si $n$ est divisible par $10$ , alors le dernier chiffre de $n$ est $0$ . Si le dernier chiffre de $n$ est $0$ , alors $n$ est divisible par $5$ . Le syllogisme hypothétique donne : si $n$ est divisible par $20$ , alors $n$ est divisible par $5$ . Vérifie-le avec $n = 140$ , puis montre que la réciproque n'en découle pas. Quel est le plus petit nombre positif divisible par $5$ mais pas par $20$ ?
Réponse: 5
1. Combien vaut $140 \div 20$ ? 7
2. Quel est le dernier chiffre de $140$ ? 0
3. Combien vaut $140 \div 5$ ? 28
4. Quel est le plus petit nombre positif divisible par $5$ mais pas par $20$ ? 5
17.
Un club de sport compte $70$ membres, dont $45$ nagent. Les $20$ joueurs de tennis sont tous nageurs. $12$ joueurs de tennis courent aussi, $8$ nageurs qui ne jouent pas au tennis courent, et $15$ membres qui ne nagent pas courent. Combien de membres ne nagent pas et ne courent pas ?
Réponse: 10
1. Combien de nageurs ne jouent pas au tennis ? 25
2. Combien de membres courent en tout ? 35
3. Combien de membres ne nagent pas et ne courent pas ? 10
18.
Montre que certains $S$ sont $M$ , certains $M$ sont $P$ , donc certains $S$ sont $P$ n'est pas valide. Prends $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ et $P = \{3, 4\}$ . Combien d'éléments $S$ et $P$ ont-ils en commun ?
Réponse: 0
1. Combien d'éléments $S$ et $M$ ont-ils en commun ? 1
2. Combien d'éléments $M$ et $P$ ont-ils en commun ? 1
3. Combien d'éléments $S$ et $P$ ont-ils en commun ? 0