Guide de l'enseignant: Les syllogismes

Découvre les quatre énoncés catégoriques et les parties d'un syllogisme, puis teste la validité avec des diagrammes de Venn et le syllogisme hypothétique.

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Quiz de classe

10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Identifier le petit terme, le grand terme et le moyen terme, ainsi que la majeure et la mineure d'un syllogisme
Classer les énoncés catégoriques en A, E, I ou O et décrire chacun avec les régions du diagramme de Venn
Tester la validité d'un syllogisme catégorique avec un diagramme de Venn à trois cercles
Reconnaître les formes non valides comme le moyen terme non distribué et deux prémisses particulières
Distinguer un raisonnement valide d'un raisonnement fondé et appliquer le syllogisme hypothétique aux chaînes d'énoncés si-alors

Prérequis

• Raisonnement déductif : prémisses, conclusions et notion de raisonnement valide
• Énoncés si-alors et contraposée
• Diagrammes de Venn à deux ensembles : intersection, réunion et région extérieure
• Critères de divisibilité simples (2, 3, 4, 6, 12)

Amorces de discussion

1. Un raisonnement avec une conclusion fausse peut-il être valide ? Un raisonnement avec une conclusion vraie peut-il être non valide ? Donne un exemple de chaque cas.
2. Pourquoi hachure-t-on les prémisses avec tous et aucun avant de placer le x d'une prémisse avec certains ?
3. "Tous les chiens sont des animaux, tous les chats sont des animaux, donc tous les chats sont des chiens" semble ridicule. Pourquoi la même forme peut-elle sembler convaincante avec d'autres mots ?
4. Dans quelle démonstration de géométrie as-tu déjà utilisé une chaîne d'énoncés si-alors ?

Idées reçues courantes

Si je suis d'accord avec la conclusion, le raisonnement est valide

Remédiation: Propose des paires de raisonnements de même forme mais avec d'autres mots, l'un avec une conclusion crédible et l'autre avec une conclusion absurde. Les élèves voient que c'est la forme qui décide de la validité, pas le sujet.

Certains veut dire quelques-uns, mais pas tous

Remédiation: Convenez en classe que certains signifie au moins un. Montre que "certains carrés sont des rectangles" est vrai, même si tous les carrés sont des rectangles.

Le x d'une prémisse avec certains peut aller n'importe où dans l'intersection

Remédiation: Insiste pour hachurer d'abord les prémisses universelles. Si l'intersection reste partagée en deux régions non hachurées, le x va sur la ligne entre elles : sa position est inconnue et on ne peut rien en conclure.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des diagrammes à deux cercles et des énoncés isolés avant de passer à trois cercles
• Utiliser des groupes concrets (figures, animaux, clubs de l'école) et de vrais objets ou des cartes de noms placés dans des cerceaux
• Fournir le tableau des régions numérotées pour que les élèves n'aient qu'à choisir quels numéros hachurer

Pour les élèves au niveau:

• Tester 8 à 10 syllogismes écrits seulement avec des lettres et noter les régions hachurées
• Trouver un contre-exemple pour chaque syllogisme non valide
• Résoudre des problèmes de dénombrement avec des diagrammes de Venn où les énoncés avec tous et aucun vident des régions

Pour les élèves avancés:

• Expliquer pourquoi au moins une prémisse doit être universelle et pourquoi deux prémisses négatives ne donnent aucune conclusion
• Étudier la portée existentielle : quand tous les $M$ sont $P$ , tous les $S$ sont $M$ donne-t-il certains $S$ sont $P$ ?
• Rédiger une courte démonstration de géométrie comme une chaîne de syllogismes hypothétiques

Alignement aux standards

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Être attentif à la précision
HSS.CP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.CP.A.1)
Décrire des événements comme des sous-ensembles d'un univers à l'aide de réunions, d'intersections et de compléments

Ressources de la leçon

visualModèle à trois cercles
Un diagramme imprimable avec les régions numérotées de 1 à 8, pour hachurer les prémisses et placer les x
activityTri de syllogismes
Des groupes trient 16 cartes d'arguments en valides et non valides et nomment l'erreur de chaque argument non valide
worksheetValide, fondé ou ni l'un ni l'autre ?
Les élèves testent la forme avec un diagramme de Venn, puis jugent si les prémisses sont vraies

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un syllogisme est un raisonnement déductif avec exactement deux prémisses et une conclusion. Un syllogisme catégorique parle de groupes et utilise exactement trois termes :

le petit terme $S$ : le sujet de la conclusion
le grand terme $P$ : le prédicat de la conclusion
le moyen terme $M$ : il apparaît dans les deux prémisses mais jamais dans la conclusion

La prémisse qui contient

P

s'appelle la majeure, la prémisse qui contient

S

s'appelle la mineure.

Chaque énoncé d'un syllogisme catégorique a l'une des quatre formes suivantes (les lettres A, E, I, O sont les codes traditionnels, tirés des mots latins *affirmo*, j'affirme, et *nego*, je nie : A et I affirment, E et O nient) :

Code	Énoncé	Ce qu'il dit des groupes
A	Tous les $S$ sont $P$	aucun élément de $S$ n'est en dehors de $P$
E	Aucun $S$ n'est $P$	$S$ et $P$ n'ont aucun élément commun
I	Certains $S$ sont $P$	au moins un élément est à la fois dans $S$ et dans $P$
O	Certains $S$ ne sont pas $P$	au moins un élément de $S$ est en dehors de $P$

Tester la validité avec un diagramme de Venn. Dessine trois cercles qui se chevauchent,

S

M

P

. Ils forment 8 régions :

Région	À l'intérieur de	À l'extérieur de
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	aucun
8	aucun	$S$ , $M$ , $P$

Hachure d'abord (marque comme vide) chaque région exclue par une prémisse avec tous ou aucun. Place ensuite un x pour chaque prémisse avec certains, mais seulement là où le x est forcé dans une seule région. Le syllogisme est valide si le diagramme terminé montre déjà la conclusion, sans rien dessiner de plus.

Forme valide classique :

\text{Tous les } M \text{ sont } P,\quad \text{tous les } S \text{ sont } M \quad\Rightarrow\quad \text{tous les } S \text{ sont } P

La même chaîne fonctionne pour les énoncés si-alors. C'est le syllogisme hypothétique (transitivité de l'implication) :

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Exemples résolus

Tous les oiseaux peuvent voler. Tous les manchots sont des oiseaux. Donc tous les manchots peuvent voler. Nomme les trois termes et les deux prémisses. Le raisonnement est-il valide ? La conclusion est-elle vraie ?

Trouve le petit et le grand terme dans la conclusion

Conclusion : tous les manchots (sujet) sont des animaux qui peuvent voler (prédicat) → $S$ = manchots, $P$ = animaux qui peuvent voler

Trouve le moyen terme

Le terme présent dans les deux prémisses mais pas dans la conclusion est oiseaux → $M$ = oiseaux

Nomme les prémisses

Tous les oiseaux peuvent voler contient $P$ ; tous les manchots sont des oiseaux contient $S$ → Majeure : tous les oiseaux peuvent voler. Mineure : tous les manchots sont des oiseaux.

Écris la forme avec des lettres

Tous les $M$ sont $P$ , tous les $S$ sont $M$ , donc tous les $S$ sont $P$ → La forme valide classique : le raisonnement est valide

Vérifie si les prémisses sont vraies

La majeure est fausse : les manchots et les autruches sont des oiseaux qui ne volent pas → Valide mais pas fondé, et la conclusion est fausse

Réponse: $S$ = manchots, $P$ = animaux qui peuvent voler, $M$ = oiseaux. Le raisonnement est valide (bonne forme), mais la majeure est fausse : il n'est donc pas fondé et sa conclusion est fausse.

Erreurs courantes

Dire qu'un raisonnement est valide parce que sa conclusion est vraie

Pourquoi c'est faux: La validité dépend de la forme, pas des faits. "Toutes les roses sont des fleurs. Certaines fleurs fanent vite. Donc certaines roses fanent vite." a une conclusion crédible, mais la forme n'est pas valide : les fleurs qui fanent vite pourraient toutes être des tulipes.

Correct: Remplace les mots par $S$ , $M$ , $P$ et teste la forme avec le diagramme de Venn. Ce n'est qu'ensuite que tu te demandes si les prémisses sont vraies.

Relier deux groupes par un moyen terme qui n'apparaît que sous la forme "sont $M$ " (moyen terme non distribué)

Pourquoi c'est faux: Tous les $S$ sont $M$ et tous les $P$ sont $M$ placent seulement $S$ et $P$ quelque part dans $M$ . Ils peuvent se trouver dans des parties de $M$ complètement différentes, comme les chats et les chiens parmi les mammifères.

Correct: Le moyen terme doit couvrir tout son groupe au moins une fois : il doit être le sujet d'un énoncé avec tous ou aucun, ou le prédicat d'un énoncé avec aucun ou certains ne sont pas.

Tirer une conclusion de deux prémisses avec certains

Pourquoi c'est faux: Certains $S$ sont $M$ et certains $M$ sont $P$ peuvent parler d'éléments différents de $M$ . Avec $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ , les deux prémisses sont vraies, mais aucun élément de $S$ n'est dans $P$ .

Correct: Au moins une prémisse doit être universelle (tous ou aucun). Deux prémisses particulières, ou deux prémisses négatives, ne donnent jamais de conclusion.

Inverser un énoncé avec tous

Pourquoi c'est faux: Tous les carrés sont des rectangles ne veut pas dire que tous les rectangles sont des carrés. Dans le diagramme, tous les $S$ sont $P$ vide seulement la partie de $S$ en dehors de $P$ ; la partie de $P$ en dehors de $S$ peut encore contenir des éléments.

Correct: On peut inverser les énoncés avec aucun et certains (aucun $S$ n'est $P$ signifie aucun $P$ n'est $S$ ; certains $S$ sont $P$ signifie certains $P$ sont $S$ ), mais pas ceux avec tous ou certains ne sont pas.

Pourquoi c'est important

Les syllogismes sont les plus petites briques de toute démonstration logique, et ils se cachent dans beaucoup d'arguments de la vie courante :

Démonstrations en géométrie : tout carré est un rectangle et tout rectangle est un parallélogramme, donc tout carré est un parallélogramme. Les longues démonstrations sont des chaînes de telles étapes.
Filtres de recherche et bases de données : si chaque article étiqueté imperméable porte aussi l'étiquette plein air, une recherche des articles plein air contient déjà tous les articles imperméables.
Règles et lois : une règle (tous les visiteurs de moins de 12 ans doivent être accompagnés d'un adulte) et un fait (Mia est une visiteuse de moins de 12 ans) donnent une conclusion sur Mia.
Programmation : si chaque objet Square est un Shape, alors tout ce que tu peux faire avec un Shape, tu peux aussi le faire avec un Square.
Repérer les mauvais arguments : la publicité et les débats utilisent souvent des formes non valides comme "tous les en-cas sains sont pauvres en graisses, notre biscuit est pauvre en graisses, donc notre biscuit est sain". Connaître les formes permet de voir la faille tout de suite.

Un diagramme de Venn transforme une question sur des mots en une question sur des régions hachurées. Tu peux ainsi vérifier un argument au lieu de te fier à la façon dont il sonne.

Applications dans le monde réel

Clubs scolaires et sondages

Quand une école compte les membres de ses clubs, des énoncés comme "tous les membres du club de robotique sont au club de maths" indiquent quelles régions du diagramme de Venn sont vides. Tu peux alors compter sans compter personne deux fois.

Exemple:

Aucun membre du club de théâtre n'est au club de maths, et tous les membres du club de robotique sont au club de maths. D'après le syllogisme (aucun $M$ n'est $P$ , tous les $S$ sont $M$ ), aucun membre du club de robotique n'est au club de théâtre.

1Essaie par toi-même

Une classe compte $50$ élèves. Les $12$ membres du club de robotique sont tous au club de maths, qui a $30$ membres. Aucun membre du club de théâtre ( $9$ élèves) n'est au club de maths.

Combien d'élèves ne sont dans aucun des trois clubs ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre d'élèves sans club sous forme d'une seule expression :

Filtres de recherche dans les boutiques en ligne

Les catégories d'une boutique forment des groupes dans des groupes. Si chaque article imperméable est aussi un article de plein air, le filtre plein air contient déjà tous les articles imperméables : c'est le syllogisme tous les $S$ sont $M$, tous les $M$ sont $P$ en action.

Exemple:

Toutes les vestes de pluie de la boutique sont des articles imperméables, et tous les articles imperméables sont des articles de plein air. Donc toutes les vestes de pluie apparaissent dans le filtre plein air.

2Essaie par toi-même

Une boutique a $120$ articles de plein air. Les $45$ articles imperméables sont tous des articles de plein air. $18$ articles imperméables sont en promotion, et $10$ articles de plein air qui ne sont pas imperméables sont en promotion.

Combien d'articles de plein air sont en promotion, et combien d'articles de plein air ne sont ni imperméables ni en promotion ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre d'articles de plein air en promotion sous forme d'addition :

Filtres de courriels et chaînes de règles

Les logiciels de messagerie suivent des chaînes de règles si-alors. Le syllogisme hypothétique ($p \to q$, $q \to r$, donc $p \to r$) te dit où un message va finir sans suivre chaque règle une par une.

Exemple:

Si un courriel contient un lien d'un expéditeur inconnu, il est signalé. Si un courriel est signalé, il va en quarantaine. Donc tout courriel contenant un lien d'un expéditeur inconnu va en quarantaine.

3Essaie par toi-même

Une école reçoit $200$ courriels en une journée. $35$ d'entre eux contiennent un lien d'un expéditeur inconnu, et chacun de ces courriels est signalé. $15$ autres courriels sont signalés à cause d'une pièce jointe suspecte. Chaque courriel signalé va en quarantaine, et seuls les courriels signalés y vont.

Combien de courriels arrivent dans la boîte de réception ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de courriels qui arrivent dans la boîte de réception sous forme d'une seule expression :

Points clés

1Un syllogisme a deux prémisses et une conclusion ; un syllogisme catégorique utilise trois termes : le petit terme $S$ , le grand terme $P$ et le moyen terme $M$
2Les quatre types d'énoncés sont A (tous les $S$ sont $P$ ), E (aucun $S$ n'est $P$ ), I (certains $S$ sont $P$ ) et O (certains $S$ ne sont pas $P$ )
3Pour tester la validité, hachure les régions vidées par les prémisses avec tous et aucun, place un x pour les prémisses avec certains, puis regarde si le diagramme montre déjà la conclusion
4Tous les $M$ sont $P$ , tous les $S$ sont $M$ , donc tous les $S$ sont $P$ est valide ; tous les $S$ sont $M$ , tous les $P$ sont $M$ , donc tous les $S$ sont $P$ n'est pas valide (moyen terme non distribué)
5Valide signifie que la conclusion est forcément vraie si les prémisses sont vraies ; fondé signifie valide avec des prémisses vraies
6Le syllogisme hypothétique (transitivité de l'implication) relie des énoncés si-alors : de $p \to q$ et $q \to r$ on déduit $p \to r$

Questions fréquentes

Un syllogisme valide peut-il avoir une conclusion fausse ?

Oui, si au moins une prémisse est fausse. "Tous les oiseaux peuvent voler, tous les manchots sont des oiseaux, donc tous les manchots peuvent voler" est valide mais a une conclusion fausse. Ce qui est impossible, c'est un raisonnement valide avec des prémisses vraies et une conclusion fausse.

Est-ce que "certains" veut dire "pas tous" ?

Non. En logique, certains

S

sont

P

signifie qu'au moins un

S

est

P

, et l'énoncé reste vrai si tous les

S

sont

P

. Certains

S

sont

P

n'entraîne pas certains

S

ne sont pas

P

De tous les $M$ sont $P$ et tous les $S$ sont $M$ , puis-je conclure que certains $S$ sont $P$ ?

Seulement si tu sais que

S

a au moins un élément. En logique moderne, tous les

S

sont

P

n'affirme pas qu'il existe un

S

(toutes les licornes sont des animaux est vrai, même s'il n'existe aucune licorne). Le diagramme de Venn le montre : les prémisses hachurent des régions mais ne placent aucun x.

Combien existe-t-il de syllogismes catégoriques valides ?

Chacun des trois énoncés a l'un des quatre types (

4 \times 4 \times 4 = 64

combinaisons), et le moyen terme peut occuper quatre positions différentes, ce qui donne

64 \times 4 = 256

formes. Seules

15

d'entre elles sont valides en logique moderne (

24

si l'on suppose que chaque groupe a au moins un élément). C'est pourquoi un test avec le diagramme est plus sûr que de se fier à la façon dont un argument sonne.

Glossaire

Syllogisme: Un raisonnement déductif avec exactement deux prémisses et une conclusion
Énoncé catégorique: Un énoncé de la forme tous les $S$ sont $P$ , aucun $S$ n'est $P$ , certains $S$ sont $P$ ou certains $S$ ne sont pas $P$
Moyen terme: Le terme présent dans les deux prémisses mais pas dans la conclusion ; il relie les deux autres termes
Majeure et mineure: La majeure contient le prédicat $P$ de la conclusion, la mineure contient son sujet $S$
Moyen terme non distribué: Une forme non valide où le moyen terme ne couvre jamais tout son groupe, par exemple tous les $S$ sont $M$ , tous les $P$ sont $M$
Syllogisme hypothétique: La règle de transitivité pour les énoncés si-alors : de $p \to q$ et $q \to r$ on déduit $p \to r$

Carte des formules

Forme valide classique

Tous les

M

sont

P

, tous les

S

sont

M

\Rightarrow

tous les

S

sont

P

Le moyen terme relie les deux groupes comme une chaîne

Forme valide avec aucun

Aucun

M

n'est

P

, tous les

S

sont

M

\Rightarrow

aucun

S

n'est

P

Si $S$ est dans $M$ et que $M$ n'a rien en commun avec $P$, alors $S$ n'a rien en commun avec $P$

Forme valide avec certains

Tous les

M

sont

P

, certains

S

sont

M

\Rightarrow

certains

S

sont

P

Le x de certains est poussé dans la région située dans $S$, $M$ et $P$

Moyen terme non distribué (non valide)

Tous les

S

sont

M

, tous les

P

sont

M

\not\Rightarrow

tous les

S

sont

P

Être dans le même grand groupe ne relie pas deux groupes plus petits

Syllogisme hypothétique

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Chaînes d'énoncés si-alors ; avec la contraposée, aussi $\neg r \to \neg p$

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Clubs scolaires et sondages

Filtres de recherche dans les boutiques en ligne

Filtres de courriels et chaînes de règles

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Forme valide classique

Forme valide avec aucun

Forme valide avec certains

Moyen terme non distribué (non valide)

Syllogisme hypothétique

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Les énoncés si... alors

Réciproque et inverse