Guide de l'enseignant: Démonstrations en deux colonnes

Apprends à écrire une démonstration en deux colonnes : chaque affirmation à gauche, sa justification à droite, pour des équations, des segments et des angles.

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Quiz de classe

10 questions sur Preuves mathématiques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Construire une démonstration en deux colonnes avec hypothèses, conclusion à démontrer, affirmations numérotées et justifications
Justifier chaque étape de la résolution d'une équation par une propriété de l'égalité
Écrire des démonstrations simples sur les segments et les angles à l'aide des postulats d'addition et des définitions
Compléter les affirmations et justifications manquantes d'une démonstration partiellement rédigée

Prérequis

• Introduction aux preuves mathématiques : ce qu'est une démonstration et pourquoi on en a besoin
• Démonstration directe : partir de l'hypothèse et avancer pas à pas
• Résoudre des équations du premier degré en une ou deux étapes
• Notions de base sur les angles : angle droit, angle plat, angles opposés par le sommet

Amorces de discussion

1. Pourquoi "j'ai passé le nombre de l'autre côté" n'est-il pas une bonne justification dans une démonstration ?
2. Qu'est-ce qui est plus facile à vérifier : une démonstration en deux colonnes ou le même raisonnement rédigé comme un texte ? Pourquoi ?
3. Une démonstration peut-elle être correcte si les étapes ne sont pas dans le même ordre que celles de ton voisin ?
4. Pourquoi n'a-t-on pas le droit d'utiliser l'affirmation à démontrer comme justification ?

Idées reçues courantes

La justification décrit le calcul ("20 moins 5 égale 15") au lieu de nommer une propriété

Remédiation: Donne aux élèves une liste fixe de justifications autorisées. Chaque justification doit venir de cette liste : ils apprennent ainsi à relier chaque étape à sa propriété.

N'importe quelle affirmation vraie peut figurer dans la démonstration, même si elle ne découle pas des lignes précédentes

Remédiation: Pour chaque ligne, demande : quelles lignes précédentes utilise-t-elle ? Trace des flèches depuis ces lignes. Une ligne sans flèche entrante (sauf l'hypothèse) n'a rien à faire là.

Annuler une division, c'est utiliser la propriété de l'égalité (division)

Remédiation: Fais écrire dans la marge l'opération faite sur les deux membres, par exemple " $\cdot 4$ ". Cette opération donne le nom de la propriété.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des démonstrations où toutes les affirmations sont données et où seules les justifications manquent
• Fournir une banque de 8 à 10 justifications parmi lesquelles choisir
• Utiliser seulement des équations en une ou deux étapes avant de passer aux angles

Pour les élèves au niveau:

• Rédiger des démonstrations algébriques complètes avec parenthèses et inconnues des deux côtés
• Démontrer des propriétés de segments et d'angles avec les postulats d'addition
• Trouver et corriger la justification fausse dans une démonstration erronée

Pour les élèves avancés:

• Démontrer seul le théorème des angles opposés par le sommet
• Écrire deux démonstrations correctes différentes pour les mêmes hypothèses et la même conclusion
• Réécrire une démonstration en deux colonnes sous forme rédigée et comparer les deux

Alignement aux standards

HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Expliquer chaque étape de la résolution d'une équation simple comme découlant de l'égalité affirmée à l'étape précédente
HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Démontrer des théorèmes sur les droites et les angles, notamment que les angles opposés par le sommet sont égaux
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres

Ressources de la leçon

visualRésolution d'équations pas à pas
Les élèves résolvent des équations étape par étape et nomment la propriété derrière chaque étape
activityPuzzle de démonstration en bandes
Affirmations et justifications découpées en bandes ; en binôme, les élèves reconstituent la démonstration dans le bon ordre
worksheetJustifications manquantes
Des démonstrations en deux colonnes à moitié remplies où les élèves complètent les cases vides

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une démonstration en deux colonnes est une démonstration écrite sous forme de tableau. La colonne de gauche contient les affirmations (ce que l'on sait à chaque étape), la colonne de droite les justifications (pourquoi chaque affirmation est vraie). La démonstration part des hypothèses (ce que l'on sait au départ) et se termine par l'affirmation à démontrer.

Hypothèse :

3x + 5 = 20

À démontrer :

x = 5

N°	Affirmation	Justification
1	$3x + 5 = 20$	Hypothèse
2	$3x = 15$	Propriété de l'égalité (soustraction)
3	$x = 5$	Propriété de l'égalité (division)

Chaque justification doit être une hypothèse, une définition, une propriété, un postulat ou un théorème déjà démontré. Les justifications que tu utiliseras le plus souvent :

Justification	Ce qu'elle permet
Propriété de l'égalité (addition et soustraction)	Si $a = b$ , alors $a + c = b + c$ et $a - c = b - c$
Propriété de l'égalité (multiplication et division)	Si $a = b$ , alors $ac = bc$ et $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ pour $c \neq 0$
Substitution	Si $a = b$ , on peut remplacer $a$ par $b$ dans n'importe quelle affirmation
Distributivité	$a(b + c) = ab + ac$
Réflexivité	$a = a$
Symétrie	Si $a = b$ , alors $b = a$
Transitivité	Si $a = b$ et $b = c$ , alors $a = c$

Pour les segments et les angles, on utilise aussi :

Addition des longueurs (postulat) : si $B$ est entre $A$ et $C$ sur une droite, alors $AB + BC = AC$
Addition des angles (postulat) : si le point $D$ est à l'intérieur de $\angle ABC$ , alors $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$
Définitions : deux angles complémentaires ont pour somme $90^\circ$ , deux angles supplémentaires ont pour somme $180^\circ$
Théorème des angles opposés par le sommet : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure

Exemples résolus

Hypothèse : $3x + 5 = 20$ . À démontrer : $x = 5$ . Écris la démonstration en deux colonnes.

Écris l'hypothèse comme affirmation 1

Affirmation : $3x + 5 = 20$ → Justification : hypothèse

Soustrais 5 des deux membres

$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ , donc affirmation : $3x = 15$ → Justification : propriété de l'égalité (soustraction)

Divise les deux membres par 3

$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ , donc affirmation : $x = 5$ → Justification : propriété de l'égalité (division)

Vérifie que la dernière affirmation est celle à démontrer

L'affirmation 3 est $x = 5$ , exactement ce qu'il fallait démontrer → La démonstration est terminée

Réponse: 1. $3x + 5 = 20$ (hypothèse) ; 2. $3x = 15$ (propriété de l'égalité, soustraction) ; 3. $x = 5$ (propriété de l'égalité, division).

Erreurs courantes

Écrire ce que tu as fait au lieu d'une justification, par exemple "j'ai passé le 5 de l'autre côté"

Pourquoi c'est faux: Une justification doit nommer une règle reconnue par tous. "Passer" un nombre de l'autre côté n'est pas une règle et cache ce qui s'est vraiment passé.

Correct: Nomme la propriété : passer de $3x + 5 = 20$ à $3x = 15$ , c'est la propriété de l'égalité (soustraction), car on a soustrait 5 des deux membres.

Choisir la division au lieu de la multiplication pour passer de $\frac{x}{4} = 3$ à $x = 12$

Pourquoi c'est faux: L'étape annule une division, mais ce que tu fais réellement, c'est multiplier les deux membres par 4.

Correct: Demande-toi ce que tu as fait aux deux membres. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ , c'est la propriété de l'égalité (multiplication).

Utiliser l'affirmation à démontrer comme justification ou comme affirmation 1

Pourquoi c'est faux: L'affirmation à démontrer est le but. L'utiliser avant de l'avoir atteinte, c'est tourner en rond : on ne démontre rien.

Correct: L'affirmation 1 est toujours une hypothèse. L'affirmation à démontrer n'apparaît qu'une fois, à la dernière ligne.

Faire deux étapes sur une seule ligne avec une seule justification

Pourquoi c'est faux: Passer directement de $2(x - 4) = 10$ à $2x = 18$ utilise deux propriétés différentes, une seule justification ne suffit pas.

Correct: Une étape par ligne : d'abord $2x - 8 = 10$ (distributivité), puis $2x = 18$ (propriété de l'égalité, addition).

Pourquoi c'est important

La démonstration en deux colonnes rend chaque étape d'un raisonnement visible :

Aucun saut caché : chaque affirmation a besoin de sa propre justification, donc un oubli ou une erreur se voit tout de suite
L'algèbre avec compréhension : en résolvant une équation, tu sais exactement quelle propriété autorise chaque étape
La géométrie : la plupart des démonstrations scolaires sur les segments, les angles et les triangles s'écrivent en deux colonnes
La programmation : vérifier un code ligne par ligne, avec une raison pour chaque ligne, fonctionne de la même façon
Une communication claire : un lecteur peut vérifier ta démonstration ligne après ligne

Quand tu sais justifier chaque étape, tu peux avoir confiance dans ton résultat, et les autres aussi !

Applications dans le monde réel

Vérifier un code ligne par ligne

Les programmeurs prouvent qu'un calcul est juste en justifiant chaque ligne, exactement comme les lignes d'une démonstration en deux colonnes.

Exemple:

Un programme résout $4x - 7 = 21$ . Une relectrice vérifie chaque ligne : ajouter 7 (propriété de l'égalité, addition), puis diviser par 4 (propriété de l'égalité, division).

1Essaie par toi-même

Le programme reçoit $4x - 7 = 21$ comme hypothèse et doit démontrer que $x = 7$ .

Quelle valeur de $x$ la démonstration obtient-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul qui annule les deux opérations :

Fixer une équerre d'étagère

Les menuisiers utilisent l'addition des angles quand une jambe de force partage l'angle droit entre le mur et l'étagère.

Exemple:

Le mur et la planche se rencontrent à $90^\circ$ . Une jambe de force partage ce coin en deux angles dont la somme est $90^\circ$ .

2Essaie par toi-même

La jambe de force fait un angle de $38^\circ$ avec le mur. Les deux angles du coin forment ensemble l'angle de $90^\circ$ entre le mur et la planche.

Démontre la mesure de l'angle entre la jambe de force et la planche.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul du deuxième angle :

Distances sur une route droite

Sur une route droite, les distances entre les villes suivent l'addition des longueurs, ce qui permet de démontrer une distance manquante.

Exemple:

Si la ville $B$ se trouve entre les villes $A$ et $C$ , alors $AB + BC = AC$ .

3Essaie par toi-même

Les villes $A$ , $B$ , $C$ se trouvent dans cet ordre sur une route droite. $AB = 35$ km et $AC = 120$ km.

Démontre la distance entre $B$ et $C$ .

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul de $BC$ :

Points clés

1Une démonstration en deux colonnes range les affirmations à gauche et leurs justifications à droite
2Elle part des hypothèses et se termine exactement par l'affirmation à démontrer
3Chaque justification est une hypothèse, une définition, une propriété, un postulat ou un théorème déjà démontré
4Propriétés de l'égalité : ce que tu ajoutes, soustrais, multiplies ou divises d'un côté, tu le fais aussi de l'autre
5La substitution, la réflexivité, la symétrie, la transitivité et la distributivité sont aussi des justifications valables
6Pour les segments et les angles : addition des longueurs et des angles, définitions des angles complémentaires ( $90^\circ$ ) et supplémentaires ( $180^\circ$ ), angles opposés par le sommet

Questions fréquentes

Une démonstration en deux colonnes, est-ce différent de résoudre une équation ?

Les étapes sont les mêmes. La différence : dans une démonstration, tu écris la justification de chaque étape, tu montres donc non seulement le résultat mais aussi pourquoi chaque étape est permise.

Comment savoir quelle justification écrire ?

Compare la nouvelle affirmation avec la précédente et demande-toi ce qui a changé. A-t-on ajouté quelque chose aux deux membres ? A-t-on développé une parenthèse ? A-t-on remplacé une valeur par une autre ? Le changement t'indique la justification.

Quelle est la différence entre substitution et transitivité ?

La transitivité porte sur trois quantités égales : si

a = b

b = c

, alors

a = c

. La substitution est plus générale : on remplace une quantité par une quantité égale dans n'importe quelle affirmation, par exemple

65^\circ

à la place de

m\angle 1

. Beaucoup de professeurs acceptent les deux quand les deux conviennent.

Une démonstration peut-elle avoir plusieurs versions correctes ?

Oui. Parfois, on peut faire les étapes dans un autre ordre ou utiliser une autre propriété. Une démonstration est correcte tant que chaque affirmation découle des précédentes et que chaque justification est valable.

Glossaire

Démonstration en deux colonnes: Une démonstration écrite sous forme de tableau, avec les affirmations à gauche et les justifications à droite
Affirmation: Une étape de la démonstration : un fait que l'on sait à ce moment-là, par exemple $3x = 15$
Justification: La règle qui justifie une affirmation : hypothèse, définition, propriété, postulat ou théorème
Hypothèse / à démontrer: L'hypothèse est l'information de départ ; l'affirmation à démontrer est celle qu'il faut atteindre à la fin
Propriété de l'égalité: Une règle qui dit qu'une égalité reste vraie si l'on fait la même opération sur ses deux membres
Postulat: Une affirmation admise sans démonstration, comme l'addition des longueurs

Carte des formules

Propriété de l'égalité (addition)

a = b \Rightarrow a + c = b + c

Ajouter le même nombre aux deux membres

Propriété de l'égalité (soustraction)

a = b \Rightarrow a - c = b - c

Soustraire le même nombre des deux membres

Propriété de l'égalité (multiplication)

a = b \Rightarrow ac = bc

Multiplier les deux membres par le même nombre

Propriété de l'égalité (division)

a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\ c \neq 0

Diviser les deux membres par le même nombre non nul

Distributivité

a(b + c) = ab + ac

Développer une parenthèse

Réflexivité, symétrie, transitivité

a = a;\ a = b \Rightarrow b = a;\ a = b,\ b = c \Rightarrow a = c

Propriétés de base de l'égalité

Addition des longueurs

AB + BC = AC

Quand B est entre A et C sur une droite

Angles complémentaires et supplémentaires

m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ \text{ ou } 180^\circ

Définitions des angles complémentaires et supplémentaires

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Vérifier un code ligne par ligne

Fixer une équerre d'étagère

Distances sur une route droite

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Propriété de l'égalité (addition)

Propriété de l'égalité (soustraction)

Propriété de l'égalité (multiplication)

Propriété de l'égalité (division)

Distributivité

Réflexivité, symétrie, transitivité

Addition des longueurs

Angles complémentaires et supplémentaires

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