Démonstrations en deux colonnes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Dans une démonstration en deux colonnes, quelle justification écrit-on à côté de l'affirmation 1 ?
1. a)Réflexivité
2. b)Définition des angles supplémentaires
3. c)Substitution
4. d)Hypothèse
Réponse: Hypothèse
Une démonstration part des informations qu'on nous donne : l'affirmation 1 est justifiée par "Hypothèse".
2.
Hypothèse : $3x + 5 = 20$ . L'affirmation 2 utilise la propriété de l'égalité (soustraction de 5 aux deux membres) : $3x = \square$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 15
$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ donne $3x = 15$ , justifié par la propriété de l'égalité (soustraction).
3.
Hypothèse : $x + 9 = 14$ . À démontrer : $x = 5$ . Complète la démonstration en deux colonnes.
Réponse: 5
1. L'affirmation 1 est $x + 9 = 14$ (hypothèse). Quel nombre soustrais-tu aux deux membres ? 9
2. Affirmation 2 (propriété de l'égalité, soustraction) : $x = ?$ 5
3. Combien d'affirmations la démonstration terminée contient-elle ? 2
4.
Quelle justification permet d'écrire $AB = AB$ ?
1. a)Transitivité
2. b)Substitution
3. c)Réflexivité
4. d)Symétrie
Réponse: Réflexivité
$a = a$ , c'est la réflexivité. La symétrie transforme $a = b$ en $b = a$ , la transitivité a besoin de deux égalités.
5.
Hypothèses : $\angle A$ et $\angle B$ sont complémentaires, $m\angle A = 34^\circ$ . D'après la définition des angles complémentaires et la propriété de l'égalité (soustraction), combien vaut $m\angle B$ ? Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse: 56
$m\angle A + m\angle B = 90^\circ$ , donc $34^\circ + m\angle B = 90^\circ$ et $m\angle B = 56^\circ$ .
6.
Hypothèses : $\angle 1$ et $\angle 2$ sont supplémentaires, $m\angle 1 = 120^\circ$ . À démontrer : $m\angle 2 = 60^\circ$ .
Réponse: 60
1. D'après la définition des angles supplémentaires, $m\angle 1 + m\angle 2$ vaut combien de degrés ? 180
2. Par substitution, $120 + m\angle 2 = 180$ . Après la propriété de l'égalité (soustraction), $m\angle 2 = ?$ 60
7.
Affirmation 1 : $\frac{x}{4} = 3$ (hypothèse). Affirmation 2 : $x = 12$ . Quelle justification permet l'affirmation 2 ?
1. a)Distributivité
2. b)Substitution
3. c)Propriété de l'égalité (multiplication)
4. d)Propriété de l'égalité (division)
Réponse: Propriété de l'égalité (multiplication)
On a multiplié les deux membres par 4 : $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ . C'est la propriété de l'égalité (multiplication), même si elle annule une division.
8.
Hypothèse : $4(x + 3) = 36$ . À démontrer : $x = 6$ .
Réponse: 6
1. Distributivité : l'affirmation 2 est $4x + \square = 36$ . Quel nombre ? 12
2. Propriété de l'égalité (soustraction) : $4x = ?$ 24
3. Propriété de l'égalité (division) : $x = ?$ 6
9.
Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés dans cet ordre. $AB = 2x + 1$ , $BC = 7$ et $AC = 20$ . Utilise l'addition des longueurs et démontre la valeur de $x$ . Combien vaut $x$ ?
Réponse: 6
$AB + BC = AC$ (addition des longueurs), donc $2x + 1 + 7 = 20$ (substitution), $2x + 8 = 20$ , $2x = 12$ (soustraction), $x = 6$ (division).
10.
$\angle 1$ et $\angle 3$ sont opposés par le sommet, avec $m\angle 1 = (4x + 5)^\circ$ et $m\angle 3 = 65^\circ$ . À démontrer : $x = 15$ .
Réponse: 15
1. Théorème des angles opposés par le sommet : $4x + 5 = \square$ . Quel nombre ? 65
2. Propriété de l'égalité (soustraction) : $4x = ?$ 60
3. Propriété de l'égalité (division) : $x = ?$ 15
11.
Démonstration : 1. $5x - 2 = 3x + 8$ (hypothèse) ; 2. $2x - 2 = 8$ (propriété de l'égalité, soustraction) ; 3. $2x = 10$ (?) ; 4. $x = 5$ (propriété de l'égalité, division). Quelle justification convient à l'étape 3 ?
1. a)Propriété de l'égalité (division)
2. b)Propriété de l'égalité (addition)
3. c)Propriété de l'égalité (soustraction)
4. d)Transitivité
Réponse: Propriété de l'égalité (addition)
De $2x - 2 = 8$ à $2x = 10$ , on a ajouté 2 aux deux membres : propriété de l'égalité (addition).
12.
Hypothèse : $\frac{x}{2} - 3 = 4$ . Démontre la valeur de $x$ avec la propriété de l'égalité (addition), puis (multiplication). Combien vaut $x$ ?
Réponse: 14
Addition : $\frac{x}{2} = 7$ . Multiplication (par 2) : $x = 14$ . Vérification : $\frac{14}{2} - 3 = 4$ .
13.
Hypothèse : $7x - 4 = 3x + 16$ . À démontrer : $x = 5$ .
Réponse: 5
1. Propriété de l'égalité (soustraire $3x$ ) : l'affirmation 2 est $\square x - 4 = 16$ . Quel nombre ? 4
2. Propriété de l'égalité (addition) : $4x = ?$ 20
3. Propriété de l'égalité (division) : $x = ?$ 5
14.
Trouve l'erreur. 1. $\frac{x}{3} + 2 = 6$ (hypothèse) ; 2. $\frac{x}{3} = 4$ (propriété de l'égalité, soustraction) ; 3. $x = 12$ (propriété de l'égalité, division). Quelle partie de la démonstration est fausse ?
1. a)Justification 2
2. b)Affirmation 2
3. c)Justification 3
4. d)Affirmation 3
Réponse: Justification 3
Toutes les affirmations sont vraies : $\frac{x}{3} = 4$ et $x = 12$ . Mais l'étape 3 multiplie les deux membres par 3 ( $\frac{x}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$ ) : la justification 3 doit être la propriété de l'égalité (multiplication).
15.
$\angle 1$ et $\angle 3$ sont opposés par le sommet, avec $m\angle 1 = (5x - 10)^\circ$ et $m\angle 3 = (3x + 20)^\circ$ . Démontre la valeur de $x$ , puis calcule $m\angle 1$ . Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse: 65
Angles opposés par le sommet : $5x - 10 = 3x + 20$ . Soustraction : $2x - 10 = 20$ . Addition : $2x = 30$ . Division : $x = 15$ . Substitution : $m\angle 1 = 5 \cdot 15 - 10 = 65^\circ$ (et $m\angle 3 = 3 \cdot 15 + 20 = 65^\circ$ ).
16.
$\angle 1$ et $\angle 2$ sont adjacents et forment un angle plat, $m\angle 1 = (3x + 10)^\circ$ et $m\angle 2 = (2x + 20)^\circ$ . À démontrer : $m\angle 1 = 100^\circ$ .
Réponse: 100
1. Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires : $(3x + 10) + (2x + 20) = ?$ 180
2. Après simplification : $5x + 30 = 180$ . Propriété de l'égalité (soustraction) : $5x = ?$ 150
3. Propriété de l'égalité (division) : $x = ?$ 30
4. Substitution : $m\angle 1 = 3 \cdot 30 + 10 = ?$ 100
17.
Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés dans cet ordre. $AB = x + 4$ , $BC = 2x + 5$ et $AC = 30$ . À démontrer : $AB = 11$ .
Réponse: 11
1. Addition des longueurs et substitution : $(x + 4) + (2x + 5) = 30$ . Simplifié : $3x + \square = 30$ . Quel nombre ? 9
2. Propriété de l'égalité (soustraction) : $3x = ?$ 21
3. Propriété de l'égalité (division) : $x = ?$ 7
4. Substitution : $AB = x + 4 = ?$ 11
18.
Le point $C$ est à l'intérieur de l'angle droit $\angle ABD$ . $m\angle ABC = (2x)^\circ$ et $m\angle CBD = (3x + 15)^\circ$ . À démontrer : $m\angle CBD = 60^\circ$ .
Réponse: 60
1. Addition des angles et définition de l'angle droit : $2x + (3x + 15) = ?$ 90
2. Après simplification : $5x + 15 = 90$ . Propriété de l'égalité (soustraction) : $5x = ?$ 75
3. Propriété de l'égalité (division) : $x = ?$ 15
4. Substitution : $m\angle CBD = 3 \cdot 15 + 15 = ?$ 60