Guide de l'enseignant: Volume des boules

Apprends à calculer le volume d'une boule et d'une demi-boule avec V = (4/3)πr³, et à retrouver le rayon à partir du volume.

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Quiz de classe

10 questions sur Volume & Capacité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer le volume d'une boule avec $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , à partir du rayon ou du diamètre
Calculer le volume d'une demi-boule comme la moitié du volume d'une boule
Donner les résultats en fonction de $\pi$ et en écriture décimale avec $\pi \approx 3{,}14$ et un arrondi précisé
Retrouver le rayon d'une boule à partir de son volume grâce aux racines cubiques de cubes parfaits
Expliquer le résultat d'Archimède : une boule remplit les $\frac{2}{3}$ du cylindre qui l'entoure

Prérequis

• Rayon et diamètre d'un cercle ( $d = 2r$ )
• Mettre un nombre au cube et racines cubiques de petits cubes parfaits ( $\sqrt[3]{27} = 3$ )
• Volume des cylindres ( $V = \pi r^2 h$ ), pour la comparaison d'Archimède
• Le volume comme espace mesuré en unités cubiques (Introduction au volume, Volume des cubes)
• Multiplier par une fraction comme $\frac{4}{3}$

Amorces de discussion

1. Un ballon de basket est environ deux fois plus large qu'une balle de softball. Son volume est-il deux fois plus grand ? Comment pourrais-tu le vérifier ?
2. À ton avis, pourquoi le rayon est-il au cube dans la formule du volume mais au carré dans l'aire d'un disque ?
3. Quand un résultat comme $36\pi$ est-il plus utile que $113{,}04$ , et quand la valeur décimale est-elle meilleure ?
4. Archimède voulait une sphère dans un cylindre sur sa tombe. Pourquoi était-il si fier de cette découverte, à ton avis ?
5. Comment estimerais-tu le volume d'une orange ou d'une pastèque sans la couper ?

Idées reçues courantes

Doubler le rayon double le volume

Remédiation: Calculer côte à côte $r = 1$ et $r = 2$ : $\frac{4}{3}\pi$ et $\frac{32}{3}\pi$ . Le second vaut $8$ fois le premier. Relier cela à $2^3 = 8$ et à l'empilement de $8$ petits cubes pour former un cube deux fois plus large.

Une demi-boule a un rayon deux fois plus petit que la boule

Remédiation: Couper une orange en deux devant la classe. La face plane est aussi large que l'orange entière, donc le rayon n'a pas changé ; seule la quantité d'orange est divisée par deux.

La racine cubique d'un nombre est ce nombre divisé par $3$

Remédiation: Tester : $27 \div 3 = 9$ , mais $9 \times 9 \times 9 = 729$ , pas $27$ . Construire la liste des cubes de $1^3$ à $10^3$ et l'utiliser pour défaire $r^3$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec les rayons $1$ , $2$ , $3$ et fournir un tableau des cubes
• Garder d'abord les résultats en fonction de $\pi$ pour ne calculer qu'avec des nombres entiers
• Utiliser une liste de contrôle : diviser le diamètre par 2, mettre $r$ au cube, multiplier par $\frac{4}{3}$ , puis par $\pi$

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger des problèmes donnés par le rayon et par le diamètre, avec des résultats en fonction de $\pi$ et avec $3{,}14$
• Résoudre des problèmes de demi-boules comme des bols et des dômes
• Retrouver le rayon à partir d'un volume qui donne un cube parfait

Pour les élèves avancés:

• Démontrer pourquoi tripler le rayon multiplie le volume par $27$
• Comparer une boule et le cube qui l'entoure (quelle fraction la boule remplit-elle ?)
• Retrouver le rayon à partir d'un volume qui ne donne pas un cube parfait, avec la racine cubique de la calculatrice

Alignement aux standards

8.G.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.C.9)
Connaître les formules du volume des cônes, des cylindres et des boules et les utiliser pour résoudre des problèmes concrets et mathématiques
8.EE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.2)
Utiliser les symboles de racine carrée et de racine cubique pour représenter les solutions d'équations ; calculer les racines cubiques de petits cubes parfaits
HSG.GMD.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GMD.A.3)
Utiliser les formules de volume des cylindres, pyramides, cônes et boules pour résoudre des problèmes

Ressources de la leçon

visualVisionneuse 3D de la boule
Change le rayon et observe le volume grandir comme le cube du rayon
activityLa boîte d'Archimède
Remplir un récipient en forme de boule avec de l'eau ou du riz et le verser dans une boîte de même largeur et de même hauteur pour voir les 2/3
worksheetBallons, bols et planètes
Exercices variés : du diamètre au rayon, demi-boules, résultats en fonction de pi et avec 3,14, rayon à partir du volume

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une sphère est une forme parfaitement ronde en 3D, comme un ballon ; le solide plein qu'elle délimite s'appelle une boule. Chaque point de la surface est à la même distance du centre. Cette distance est le rayon

r

. Le diamètre

d

passe par le centre, donc

d = 2r

r = \frac{d}{2}

Le volume d'une boule (l'espace à l'intérieur) est :

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Le rayon est au cube (

r^3 = r \times r \times r

), car un volume se mesure en unités cubiques comme les cm³ ou les m³.

Une demi-boule (on dit aussi demi-sphère) est exactement la moitié d'une boule, donc son volume est deux fois plus petit :

V_{\text{demi-boule}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3

Tu peux donner le résultat de deux façons :

En fonction de π : tu gardes le symbole, par exemple $V = 36\pi$ cm³ (c'est la valeur exacte).
En écriture décimale : tu utilises $\pi \approx 3{,}14$ et tu arrondis comme demandé, par exemple $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.

Exemples résolus

Une balle a un rayon de $3$ cm. Calcule son volume en fonction de $\pi$ , puis avec $\pi \approx 3{,}14$ , arrondi au centième.

Écris la formule

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ → Formule prête

Mets le rayon au cube

$r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ → $r^3 = 27$

Multiplie par $\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ → $V = 36\pi$ cm³

Remplace $\pi$ par $3{,}14$

$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ → $V \approx 113{,}04$ cm³

Réponse: Le volume est $36\pi$ cm³, soit environ $113{,}04$ cm³.

Erreurs courantes

Utiliser le diamètre au lieu du rayon

Pourquoi c'est faux: La formule utilise le rayon. Une boule de diamètre $10$ cm a un rayon de $5$ cm. Avec $10$ , $r^3$ vaut $1000$ au lieu de $125$ , donc le résultat est $8$ fois trop grand.

Correct: Divise toujours d'abord le diamètre par 2 : $r = \frac{d}{2}$ . Ensuite, mets $r$ au cube.

Mettre le rayon au carré au lieu de le mettre au cube

Pourquoi c'est faux: L'aire d'un disque utilise $r^2$ , donc on écrit facilement $r^2$ par habitude. Mais un volume est en trois dimensions et a besoin de trois facteurs $r$ .

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , donc pour $r = 3$ : $r^3 = 27$ , pas $9$ . L'unité est le cm³, pas le cm².

Diviser le rayon par 2 pour une demi-boule au lieu de diviser le volume

Pourquoi c'est faux: Une demi-boule a le même rayon que la boule entière. Seul le volume est divisé par deux. Diviser le rayon par deux rend le volume $8$ fois plus petit, pas $2$ fois.

Correct: Demi-boule : garde $r$ et utilise $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (la moitié de $\frac{4}{3}\pi r^3$ ).

Diviser par $3$ au lieu de prendre la racine cubique pour trouver $r$

Pourquoi c'est faux: Quand tu arrives à $r^3 = 216$ , le rayon n'est pas $216 \div 3 = 72$ . $r^3$ signifie $r \times r \times r$ , il faut donc le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne $216$ .

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$ , car $6 \times 6 \times 6 = 216$ . Apprends les cubes $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$ .

Pourquoi c'est important

Les objets ronds sont partout, et leur volume indique ce qu'ils peuvent contenir ou la quantité de matière nécessaire :

Sport : la quantité d'air dans un ballon de foot, un ballon de basket ou une balle de tennis
Cuisine : la quantité de glace dans une boule, ou le nombre de boules dans un bac
Sciences : les bulles de savon, les gouttes de pluie et les gouttelettes d'eau sont presque des sphères parfaites
Espace : les planètes et les étoiles sont presque sphériques, alors les astronomes comparent leurs tailles avec cette formule
Ingénierie : les réservoirs de gaz ronds et les dômes (demi-sphères) sont conçus avec ces volumes

Il y a environ 2 200 ans, Archimède a découvert qu'une boule remplit exactement les

\frac{2}{3}

du cylindre qui l'entoure. Il en était si fier qu'il a demandé qu'une sphère et un cylindre soient gravés sur sa tombe !

Applications dans le monde réel

Les ballons de sport

Les fabricants de ballons utilisent la formule de la boule pour savoir combien d'air contient un ballon et combien de matière il faut à l'intérieur.

Exemple:

Une balle de tennis a un diamètre d'environ $6{,}6$ cm, donc $r = 3{,}3$ cm. Son volume vaut environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

1Essaie par toi-même

Un ballon de handball a un diamètre de $18$ cm.

Quel est son volume ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise le diamètre par 2, mets le rayon au cube, multiplie par $\frac{4}{3}$ et par $3{,}14$ :

Les planètes et l'espace

Les planètes sont presque des boules parfaites. Comme le rayon est au cube, une planète au rayon plus grand a un volume beaucoup, beaucoup plus grand.

Exemple:

Le rayon de la Terre mesure environ $6371$ km, donc son volume vaut environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (plus de mille milliards de kilomètres cubes).

2Essaie par toi-même

Le rayon de Jupiter est environ $11$ fois plus grand que celui de la Terre.

Environ combien de Terres pourrait-on mettre dans Jupiter, en volume (si on pouvait les faire fondre et les verser dedans) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si le rayon est multiplié par $11$ , le volume est multiplié par $11^3$ :

Boules de glace et bulles de savon

Une cuillère à glace forme des boules de même taille, et une bulle de savon est une fine pellicule autour d'une boule d'air. Dans les deux cas, c'est un volume de boule.

Exemple:

Une bulle de savon de rayon $5$ cm contient environ $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ d'air, à peu près un demi-litre.

3Essaie par toi-même

Un bac contient $2$ litres ( $2000$ cm³) de glace. Chaque boule de glace est une boule de rayon $3$ cm.

Combien de boules complètes peux-tu servir ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise le volume du bac par le volume d'une boule :

Points clés

1Le volume d'une boule est $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , où $r$ est le rayon
2Si on te donne le diamètre, divise-le d'abord par 2 : $r = \frac{d}{2}$
3Une demi-boule est la moitié d'une boule : $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (même rayon, moitié du volume)
4Donne les valeurs exactes en fonction de $\pi$ (comme $36\pi$ cm³) ou utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis comme demandé
5Pour trouver $r$ à partir de $V$ : divise par $\pi$ , multiplie par $\frac{3}{4}$ , puis prends la racine cubique
6Une boule remplit exactement les $\frac{2}{3}$ du cylindre qui l'entoure (Archimède)

Questions fréquentes

D'où vient le $\frac{4}{3}$ ?

De la découverte d'Archimède. Le cylindre qui entoure exactement une boule a pour rayon

r

et pour hauteur

2r

, donc son volume est

\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3

. La boule en remplit les

\frac{2}{3}

\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

Dois-je laisser le résultat en fonction de $\pi$ ou utiliser $3{,}14$ ?

Fais ce que demande l'énoncé. Un résultat comme

36\pi

cm³ est exact. Avec

3{,}14

, tu obtiens une valeur approchée décimale (

113{,}04

cm³). Avec la touche

\pi

de la calculatrice, le résultat est un peu différent (

113{,}10

cm³), donc indique toujours la valeur de

\pi

utilisée et comment tu as arrondi.

Comment trouver le rayon si je connais le volume ?

Défais la formule étape par étape : divise le volume par

\pi

, multiplie par

\frac{3}{4}

pour obtenir

r^3

, puis prends la racine cubique. Pour

V = 288\pi

288 \times \frac{3}{4} = 216

\sqrt[3]{216} = 6

, donc

r = 6

Si je double le rayon, le volume double-t-il ?

Non, il devient

8

fois plus grand, car

2^3 = 8

. Tripler le rayon rend le volume

27

fois plus grand (

3^3 = 27

). C'est pour ça qu'un ballon de plage contient tellement plus d'air qu'une balle de tennis.

Glossaire

Sphère / boule: La sphère est la surface parfaitement ronde dont chaque point est à la même distance du centre ; la boule est le solide plein qu'elle entoure
Rayon ( $r$ ): La distance entre le centre d'une boule et sa surface
Diamètre ( $d$ ): La distance d'un bord à l'autre de la boule en passant par le centre ; $d = 2r$
Demi-boule: Exactement la moitié d'une boule, coupée par le centre ; son volume est $\frac{2}{3}\pi r^3$
Racine cubique: Le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne une valeur ; $\sqrt[3]{27} = 3$
En fonction de $\pi$: Une valeur exacte qui garde le symbole $\pi$ , comme $36\pi$ cm³

Carte des formules

Volume d'une boule

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Quatre tiers fois pi fois le rayon au cube

Volume d'une demi-boule

V = \frac{2}{3}\pi r^3

La moitié du volume de la boule de même rayon

Rayon à partir du diamètre

r = \frac{d}{2}

Divise le diamètre par 2 avant d'utiliser la formule

Rayon à partir du volume

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Divise par pi, multiplie par 3/4, puis prends la racine cubique

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Volume d'une boule

Volume d'une demi-boule

Rayon à partir du diamètre

Rayon à partir du volume

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