Volume des boules

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle formule donne le volume d'une boule de rayon $r$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = \pi r^2 h$
4. d) $V = 4\pi r^2$
Réponse: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Le volume d'une boule est $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . $4\pi r^2$ n'a que $r^2$ (ce n'est pas un volume), $\pi r^2 h$ est le cylindre et $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ le cône.
2.
Une boule a un rayon de $3$ cm. Son volume est $V = \square\,\pi$ cm³. Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 36
$r^3 = 27$ et $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ , donc $V = 36\pi$ cm³.
3.
Une balle a un diamètre de $10$ cm. Quelle valeur de $r$ mets-tu dans $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ?
1. a) $2{,}5$ cm
2. b) $5$ cm
3. c) $20$ cm
4. d) $10$ cm
Réponse: $5$ cm
$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. Avec $10$ , le volume serait $8$ fois trop grand.
4.
Calcule le volume d'une boule de rayon $6$ m. Donne le résultat en fonction de $\pi$ .
Réponse: $288\pi$ m³
1. Combien vaut $r^3 = 6^3$ ? 216
2. Combien vaut $\frac{4}{3} \times 216$ ? 288
5.
Une boule a un volume de $500$ cm³. On la coupe exactement en deux en passant par le centre. Quel est le volume d'une demi-boule, en cm³ ?
Réponse: 250
La demi-boule a le même rayon, mais la moitié du volume : $500 \div 2 = 250$ cm³.
6.
Une balle a un diamètre de $6$ cm. Calcule son volume avec $\pi \approx 3{,}14$ . Arrondis au centième.
Réponse: 113.04
1. Quel est le rayon en cm ? 3
2. $V = \square\,\pi$ : combien vaut $\frac{4}{3} \times r^3$ ? 36
3. Quel est le volume en cm³ avec $\pi \approx 3{,}14$ ? 113.04
7.
On double le rayon d'une boule. Que devient son volume ?
1. a)Il double
2. b)Il devient 8 fois plus grand
3. c)Il devient 4 fois plus grand
4. d)Il devient 6 fois plus grand
Réponse: Il devient 8 fois plus grand
$(2r)^3 = 8r^3$ , donc le volume est multiplié par $2^3 = 8$ . Exemple : $r = 1$ donne $\frac{4}{3}\pi$ , $r = 2$ donne $\frac{32}{3}\pi$ .
8.
Une bille a un rayon de $1{,}5$ cm. Son volume est $V = \square\,\pi$ cm³. Quel nombre va dans la case ? (Écris-le en nombre décimal.)
Réponse: 4.5
$r^3 = 3{,}375$ et $\frac{4}{3} \times 3{,}375 = 4{,}5$ , donc $V = 4{,}5\pi$ cm³ (environ $14{,}13$ cm³ avec $3{,}14$ ).
9.
Un saladier est une demi-boule de rayon intérieur $9$ cm. Quelle quantité peut-il contenir ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.
Réponse: 1526.04
1. Combien vaut $r^3 = 9^3$ ? 729
2. Demi-boule : $V = \square\,\pi$ . Combien vaut $\frac{2}{3} \times 729$ ? 486
3. Quel est le volume en cm³ avec $\pi \approx 3{,}14$ ? 1526.04
10.
Une boule a un volume de $288\pi$ cm³. Quel est son rayon en cm ?
Réponse: 6
$\frac{4}{3} r^3 = 288$ , donc $r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$ et $r = \sqrt[3]{216} = 6$ cm.
11.
Une boule entre exactement dans un cylindre (même rayon, et la hauteur du cylindre est égale au diamètre de la boule). Quelle fraction du volume du cylindre la boule remplit-elle ?
1. a) $\frac{1}{3}$
2. b) $\frac{2}{3}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{1}{2}$
Réponse: $\frac{2}{3}$
Cylindre : $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ . Boule : $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Rapport : $\frac{4}{3} \div 2 = \frac{2}{3}$ . C'est le célèbre résultat d'Archimède.
12.
Un ballon de basket a un diamètre de $24$ cm. Calcule son volume avec $\pi \approx 3{,}14$ . Arrondis au cm³ près.
Réponse: 7235
1. Quel est le rayon en cm ? 12
2. Combien vaut $12^3$ ? 1728
3. $V = \square\,\pi$ : combien vaut $\frac{4}{3} \times 1728$ ? 2304
4. Quel est le volume en cm³, arrondi à l'unité ? 7235
13.
Un réservoir d'eau rond est une boule de diamètre $2$ m. Calcule son volume avec $\pi \approx 3{,}14$ . Arrondis au centième de m³.
Réponse: 4.19
1. Quel est le rayon en m ? 1
2. Combien vaut $r^3$ ? 1
3. Combien vaut $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1$ , arrondi au centième ? 4.19
14.
Une boule a un volume de $972\pi$ cm³. Trouve son rayon.
Réponse: $r = 9$ cm
1. Divise les deux membres de $\frac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi$ par $\pi$ : $\frac{4}{3} r^3 = \square$ 972
2. Multiplie par $\frac{3}{4}$ : combien vaut $r^3$ ? 729
3. Prends la racine cubique : combien vaut $r$ en cm ? 9
15.
Une balle de rayon $6$ cm est rangée dans une boîte cylindrique de rayon $6$ cm et de hauteur $12$ cm. Quel volume reste vide dans la boîte ? Donne le résultat en fonction de $\pi$ .
Réponse: $144\pi$ cm³
1. Cylindre : $V = \pi r^2 h = \square\,\pi$ . Combien vaut $6^2 \times 12$ ? 432
2. Balle : $V = \square\,\pi$ . Combien vaut $\frac{4}{3} \times 6^3$ ? 288
3. Espace vide $= \square\,\pi$ cm³. Combien vaut $432 - 288$ ? 144
16.
Lequel contient le plus : une boule de rayon $3$ cm ou un cube d'arête $5$ cm ? (Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .)
1. a)La boule
2. b)On ne peut pas savoir
3. c)Ils contiennent autant l'un que l'autre
4. d)Le cube
Réponse: Le cube
Boule : $36\pi \approx 113{,}04$ cm³. Cube : $5^3 = 125$ cm³. Le cube contient plus, même si la boule mesure $6$ cm de large.
17.
Huit petites boules de chocolat, chacune de rayon $1$ cm, sont fondues pour former une seule grosse boule. Quel est le rayon de la grosse boule ?
Réponse: $R = 2$ cm
1. Une petite boule : $V = \frac{4}{3}\pi \times \square$ . Combien vaut $1^3$ ? 1
2. Pour la grosse boule, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi$ . Combien vaut $R^3$ ? 8
3. Combien vaut $R$ en cm ? 2
18.
Un dôme en forme de demi-boule a un volume de $144\pi$ m³. Quel est son rayon en m ?
Réponse: 6
$\frac{2}{3} r^3 = 144$ , donc $r^3 = 144 \times \frac{3}{2} = 216$ et $r = \sqrt[3]{216} = 6$ m.