Ellipses sous forme standard

Apprends à écrire, tracer et analyser des ellipses en utilisant l'équation sous forme standard.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une ellipse est l'ensemble de tous les points (x,y)(x, y) tels que la somme des distances à deux points fixes (appelés foyers) est constante.

Équations sous forme standard

Ellipse horizontale (plus large que haute) :
(x−h)2a2+(y−k)2b2=1ouˋ a>b\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{où } a > b
Ellipse verticale (plus haute que large) :
(x−h)2b2+(y−k)2a2=1ouˋ a>b\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \quad \text{où } a > b

Composantes clés

  • Centre : (h,k)(h, k)
  • Demi-grand axe : aa (toujours la plus grande valeur)
  • Demi-petit axe : bb (toujours la plus petite valeur)
  • Relation : c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2 où cc est la distance du centre à chaque foyer

Essaie tout de suite

Quel est le centre de l'ellipse (x−3)216+(y+2)29=1\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 ?

Exemples résolus

Trouve le centre, les sommets, les co-sommets et les foyers de l'ellipse : (x−2)225+(y+3)29=1\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1
1

Identifier le centre (h,k)(h, k)

De (x−2)2(x-2)^2 et (y+3)2(y+3)^2, nous avons h=2h = 2 et k=−3k = -3 → Centre : (2,−3)(2, -3)
2

Trouver a2a^2 et b2b^2

a2=25a^2 = 25 (plus grand), b2=9b^2 = 9 (plus petit) → a=5a = 5, b=3b = 3
3

Déterminer l'orientation

Puisque a2=25a^2 = 25 est sous (x−h)2(x-h)^2, le grand axe est horizontal → Ellipse horizontale
4

Trouver les sommets (sur le grand axe)

(h±a,k)=(2±5,−3)(h \pm a, k) = (2 \pm 5, -3) → Sommets : (−3,−3)(-3, -3) et (7,−3)(7, -3)
5

Trouver les co-sommets (sur le petit axe)

(h,k±b)=(2,−3±3)(h, k \pm b) = (2, -3 \pm 3) → Co-sommets : (2,−6)(2, -6) et (2,0)(2, 0)
6

Calculer cc pour les foyers

c2=a2−b2=25−9=16c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16, donc c=4c = 4
7

Trouver les foyers (sur le grand axe)

(h±c,k)=(2±4,−3)(h \pm c, k) = (2 \pm 4, -3) → Foyers : (−2,−3)(-2, -3) et (6,−3)(6, -3)

Erreurs courantes

Confondre quel dénominateur donne a2a^2 vs b2b^2

Pourquoi c'est faux: Les élèves supposent que a2a^2 est toujours sous x2x^2, mais par définition a>ba > b, donc a2a^2 est le plus grand dénominateur.

Correct: Toujours identifier : a2a^2 = plus grand dénominateur, b2b^2 = plus petit dénominateur. Puis déterminer l'orientation selon la variable qui a a2a^2.

Utiliser c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 (formule de l'hyperbole) au lieu de c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2

Pourquoi c'est faux: Les hyperboles utilisent l'addition, les ellipses la soustraction. C'est une différence cruciale.

Correct: Pour les ellipses : c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2. Rappelle-toi : les foyers sont à l'intérieur de l'ellipse, donc c<ac < a.

Oublier de changer les signes en lisant le centre à partir de l'équation

Pourquoi c'est faux: L'équation contient (x−h)2(x - h)^2, donc (x+3)2(x + 3)^2 signifie h=−3h = -3, pas h=3h = 3.

Correct: (x−h)2(x - h)^2 avec (x+3)2(x + 3)^2 signifie −h=3-h = 3, donc h=−3h = -3.

Placer les foyers sur le petit axe

Pourquoi c'est faux: Les élèves peuvent oublier que les foyers sont toujours sur le grand axe (le plus long).

Correct: Les foyers sont toujours sur le grand axe, à distance cc du centre.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-6-4-20246810-10-50xyCF₁F₂
  • c = √|a² − b²| = 4
(x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1
  • Centre : (2 ; -3)
  • Foyers : (-2 ; -3), (6 ; -3)
  • Sommets : (-3 ; -3), (7 ; -3)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = -3 + 3*sqrt(1 - (x - 2)^2/25)

y = -3 - 3*sqrt(1 - (x - 2)^2/25)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Quel est le centre de l'ellipse (x−3)216+(y+2)29=1\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 ?

Pourquoi c'est important

Les ellipses apparaissent partout en science et en ingénierie :
  • Astronomie : Les planètes orbitent autour du Soleil selon des trajectoires elliptiques (première loi de Kepler)
  • Architecture : Les galeries des murmures utilisent des plafonds elliptiques pour des effets acoustiques
  • Médecine : Les appareils de lithotripsie utilisent des réflecteurs elliptiques pour concentrer les ondes sonores sur les calculs rénaux
  • Optique : Les miroirs elliptiques réfléchissent toute la lumière d'un foyer vers l'autre
Comprendre la forme standard nous aide à analyser et concevoir ces systèmes mathématiquement.

Applications dans le monde réel

Orbites planétaires

Toutes les planètes orbitent autour du Soleil selon des trajectoires elliptiques avec le Soleil à l'un des foyers.

Exemple:

L'orbite de la Terre a a≈149,6a \approx 149,6 millions de km et une excentricité e≈0,017e \approx 0,017, ce qui la rend presque circulaire.

1Essaie par toi-même

Une comète orbite autour du Soleil selon une ellipse avec un demi-grand axe a=18a = 18 UA et c=17c = 17 UA (distance du centre au Soleil).

Trouve le demi-petit axe bb.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2 :

Galeries des murmures

Dans une pièce elliptique, le son d'un foyer se réfléchit vers l'autre foyer, permettant aux murmures de traverser la pièce.

Exemple:

Le Capitole à Washington D.C. possède une salle elliptique où cet effet se produit.

2Essaie par toi-même

Une salle elliptique mesure 30 mètres de long et 20 mètres de large.

Quelle est la distance entre les deux points focaux (points de murmure) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve 2c2c où a=15a = 15 et b=10b = 10 :

Points clés

  • 1Une ellipse sous forme standard est (x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 (horizontale) ou avec a2a^2 et b2b^2 inversés (verticale)
  • 2Le centre est en (h,k)(h, k), et a>ba > b toujours (le plus grand dénominateur détermine l'orientation)
  • 3Les sommets sont sur le grand axe à distance aa du centre ; les co-sommets sont sur le petit axe à distance bb
  • 4Les foyers sont sur le grand axe à distance cc du centre, où c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2
  • 5Pour convertir la forme générale en forme standard, complète le carré pour les deux variables

Questions fréquentes

Regarde quelle variable a le plus grand dénominateur. Si a2a^2 (plus grand) est sous (x−h)2(x-h)^2, le grand axe est horizontal. Si a2a^2 est sous (y−k)2(y-k)^2, le grand axe est vertical.
Regarde quelle variable a le plus grand dénominateur. Si a2a^2 (plus grand) est sous (x−h)2(x-h)^2, le grand axe est horizontal. Si a2a^2 est sous (y−k)2(y-k)^2, le grand axe est vertical.
aa est la distance du centre au sommet (sur le grand axe). cc est la distance du centre au foyer. Comme les foyers sont à l'intérieur de l'ellipse, c<ac < a.
Quand a=ba = b, l'ellipse devient un cercle ! L'équation devient (x−h)2+(y−k)2=a2(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2, et il n'y a pas de foyers distincts (c=0c = 0).

Glossaire

Ellipse
L'ensemble de tous les points où la somme des distances aux deux foyers est constante
Demi-grand axe
La moitié de la longueur du plus grand diamètre, notée aa
Demi-petit axe
La moitié de la longueur du plus petit diamètre, notée bb
Foyer (pl. foyers)
L'un des deux points fixes à l'intérieur de l'ellipse ; c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2
Sommet
Une extrémité du grand axe
Co-sommet
Une extrémité du petit axe
Excentricité
Le rapport e=c/ae = c/a mesurant l'allongement de l'ellipse (0 = cercle, proche de 1 = très allongée)

Carte des formules

Forme standard (horizontale)

(x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

$a > b$, grand axe horizontal

Forme standard (verticale)

(x−h)2b2+(y−k)2a2=1\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1

$a > b$, grand axe vertical

Relation

c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2

$c$ = distance du centre au foyer

Excentricité

e=cae = \frac{c}{a}

$0 < e < 1$ pour toutes les ellipses

Défi du jourUn problème, trois essais

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