Croissance et décroissance continues : fiche d'exercices avec corrigé (gratuite, imprimable)

1.

Une substance se désintègre en continu au taux de 4% par an. Quelle formule modélise la quantité

A

après

t

années, en partant de

P

?

a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
b) $A = P(1{,}04)^t$
c) $A = Pe^{0{,}04t}$
d) $A = Pe^{-4t}$

Réponse: $A = Pe^{-0{,}04t}$

La décroissance continue utilise $A = Pe^{-kt}$ avec $k = 0{,}04$ , donc $A = Pe^{-0{,}04t}$ . $Pe^{0{,}04t}$ serait une croissance, $P(1{,}04)^t$ est une croissance annuelle et $Pe^{-4t}$ utilise le pourcentage au lieu du décimal.

2.

Dans le modèle

A = 250e^{0{,}07t}

, quelle est la valeur initiale ?

a) $0{,}07$
b) $e$
c) $250$
d) $267{,}5$

Réponse: $250$

À $t = 0$ : $A = 250e^{0} = 250 \times 1 = 250$ . Le nombre devant $e$ est la valeur initiale ; $0{,}07$ est le taux de croissance continu.

3.

Utilise

A = Pe^{rt}

avec

P = 1000

,

r = 0{,}04

et

t = 5

. Utilise

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Combien vaut

A

? Arrondis à une décimale.

Réponse: 1221.4

$rt = 0{,}04 \times 5 = 0{,}2$ , donc $A = 1000e^{0{,}2} \approx 1000 \times 1{,}2214 = 1221{,}4$ .

4.

Une population suit

N = 300e^{0{,}12t}

, avec

t

en années. Quel est le taux de croissance continu en pourcentage ? Écris seulement le nombre, sans le signe %.

Réponse: 12

Dans $Pe^{rt}$ , le taux est $r = 0{,}12$ . En pourcentage : $0{,}12 \times 100 = 12\%$ . L'exposant est positif, donc la population augmente.

5.

Tu places 1500 € à 3% d'intérêts composés en continu pendant 10 ans. Utilise

e^{0{,}3} \approx 1{,}3499

. Combien as-tu à la fin ? Arrondis à l'euro.

Réponse: 2025

Écris le taux de 3% en décimal. 0.03
Quel est l'exposant $rt$ ? 0.3
Combien vaut $A = 1500 \times 1{,}3499$ , arrondi à l'unité ? 2025

6.

Une culture de 400 bactéries augmente en continu de 25% par heure. Combien y a-t-il de bactéries après 4 heures ? Utilise

e \approx 2{,}71828

et arrondis à l'unité.

Réponse: 1087

Quel est l'exposant $0{,}25 \times 4$ ? 1
Combien vaut $400 \times e^{1}$ , arrondi à l'unité ? 1087

7.

Que décrit le modèle

N = 50e^{-0{,}3t}

?

a)Croissance continue de 0,3%
b)Décroissance continue de 30%
c)Décroissance continue de 3%
d)Croissance continue de 30%

Réponse: Décroissance continue de 30%

L'exposant $-0{,}3t$ est négatif, donc le modèle décrit une décroissance. Le taux est $0{,}3 = 30\%$ par unité de temps, en partant de 50.

8.

Deux comptes partent du même montant, avec le même taux et la même durée. L'un compose annuellement, l'autre en continu. Lequel finit avec le plus d'argent ?

a)Celui en annuel
b)Celui en continu
c)Ils finissent avec le même montant
d)Cela dépend du montant de départ

Réponse: Celui en continu

Pour tout taux positif, $e^{r} > 1 + r$ , donc la capitalisation continue finit toujours avec un peu plus. Exemple : 5% donne un facteur $1{,}05$ par an en annuel, mais $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ en continu, quel que soit le montant de départ.

9.

200 grammes d'une substance radioactive se désintègrent en continu au taux de 5% par an. Utilise

e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

. Combien de grammes reste-t-il après 10 ans ? Arrondis à une décimale.

Réponse: 121.3

L'exposant vaut $-0{,}05 \times 10 = -0{,}5$ , donc $A = 200e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 = 121{,}3$ grammes.

10.

Combien dois-tu déposer maintenant, à 5% d'intérêts composés en continu, pour avoir 10000 € dans 10 ans ? Utilise

e^{0{,}5} \approx 1{,}6487

et arrondis à l'euro.

Réponse: 6065

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ . De $10000 = Pe^{0{,}5}$ on tire $P = \frac{10000}{1{,}6487} \approx 6065{,}38 \approx 6065$ €.

11.

Un patient reçoit 60 mg d'un médicament. Le corps l'élimine en continu au taux de 20% par heure. Utilise

e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488

. Combien de mg ont été éliminés après 3 heures ? Arrondis à une décimale.

Réponse: 27.1

Quel est l'exposant $-0{,}2 \times 3$ ? -0.6
Combien de mg reste-t-il ? ( $60 \times 0{,}5488$ , une décimale) 32.9
Combien de mg ont été éliminés ? (une décimale) 27.1

12.

Tu places 3000 € à 4% pendant 5 ans. Utilise

1{,}04^{5} \approx 1{,}2167

et

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Compare la capitalisation annuelle et continue. Arrondis chaque montant à l'euro.

Réponse: 14

Capitalisation annuelle : $3000 \times 1{,}2167$ , arrondi à l'euro ? 3650
Capitalisation continue : $3000 \times 1{,}2214$ , arrondi à l'euro ? 3664
Combien d'euros de plus rapporte la capitalisation continue ? 14

13.

Combien dois-tu déposer aujourd'hui, à 4% d'intérêts composés en continu, pour avoir 6000 € dans 5 ans ? Utilise la calculatrice (

e \approx 2{,}71828

) et arrondis le résultat final à l'euro.

Réponse: 4912

Quel est l'exposant $rt$ ? 0.2
Combien vaut $e^{0{,}2}$ , arrondi à 4 décimales ? 1.2214
Combien vaut $P = \frac{6000}{e^{0{,}2}}$ , arrondi à l'euro ? 4912

14.

Offre A : 6% composés annuellement. Offre B : 5,85% composés en continu. Utilise

e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602

. Quelle offre rapporte le plus après un an ?

a)On ne peut pas décider sans le dépôt
b)Les deux rapportent autant
c)L'offre B
d)L'offre A

Réponse: L'offre B

A multiplie l'argent par $1{,}06$ , B par $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Comme $1{,}0602 > 1{,}06$ , l'offre B est un peu meilleure (environ 6,02% par an), quel que soit le dépôt. Un taux continu plus bas peut battre un taux annuel plus élevé.

15.

5000 € sont placés à 8% pendant 10 ans. Utilise

1{,}08^{10} \approx 2{,}158925

et

e^{0{,}8} \approx 2{,}225541

. Combien d'euros de plus rapporte la capitalisation continue par rapport à la capitalisation annuelle ? Arrondis à l'euro.

Réponse: 333

Continu : $5000 \times 2{,}225541 \approx 11127{,}71$ . Annuel : $5000 \times 2{,}158925 \approx 10794{,}63$ . Différence : $11127{,}71 - 10794{,}63 = 333{,}08 \approx 333$ €.

16.

Tu veux placer 2000 € pendant 10 ans. La banque A paie 5% composés annuellement, la banque B 4,9% composés en continu. Utilise

1{,}05^{10} \approx 1{,}6289

et

e^{0{,}49} \approx 1{,}6323

. Arrondis chaque montant à l'euro. Combien d'euros de plus rapporte la meilleure banque ?

Réponse: 7

Banque A : $2000 \times 1{,}6289$ , arrondi à l'euro ? 3258
Banque B : $2000 \times 1{,}6323$ , arrondi à l'euro ? 3265
La banque B est meilleure. De combien d'euros ? 7

17.

Un échantillon de 500 grammes d'une substance radioactive se désintègre en continu à 2% par an. Utilise

e^{-1} \approx 0{,}3679

. Combien de grammes reste-t-il après 50 ans ? Arrondis au gramme.

Réponse: 184

Quel est l'exposant $-0{,}02 \times 50$ ? -1
Quel pourcentage de l'échantillon reste-t-il ? Arrondis à une décimale et écris sans le signe %. 36.8
Combien de grammes reste-t-il, arrondi au gramme ? 184

18.

Une culture commence avec 1000 bactéries et augmente en continu de 30% par heure. Utilise

e^{0{,}6} \approx 1{,}8221

et

e^{1{,}2} \approx 3{,}3201

. Par quel facteur la culture est-elle multipliée entre l'heure 2 et l'heure 4 ? Trouve d'abord le nombre de bactéries après 2 heures et après 4 heures (à l'unité), puis donne le facteur avec deux décimales.

Réponse: 1.82

Combien de bactéries après 2 heures ? ( $1000e^{0{,}6}$ ) 1822
Combien de bactéries après 4 heures ? ( $1000e^{1{,}2}$ ) 3320
Par quel facteur la culture est-elle multipliée entre l'heure 2 et l'heure 4 ? (deux décimales) 1.82