Guide de l'enseignant: Croissance et décroissance continues

Utilise A = Pe^(rt) et A = Pe^(-kt) pour modéliser les intérêts composés en continu, la croissance de bactéries et la désintégration radioactive, et compare avec les intérêts annuels.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Utiliser $A = Pe^{rt}$ pour calculer des quantités en croissance continue
Utiliser $A = Pe^{-kt}$ pour modéliser une décroissance continue et interpréter le signe de l'exposant
Comparer la capitalisation continue et annuelle au même taux et expliquer la différence
Trouver la valeur initiale $P$ à partir d'un montant futur connu
Calculer des puissances de $e$ à la calculatrice et arrondir comme demandé

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme $f(x) = a \cdot b^x$
• Croissance exponentielle : facteur de croissance $1 + r$ et $A = A_0(1 + r)^t$
• La base naturelle e : $e \approx 2{,}71828$ comme limite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
• Convertir des pourcentages en décimaux et les priorités opératoires

Amorces de discussion

1. Si une banque compose chaque seconde au lieu de chaque jour, gagneras-tu beaucoup plus d'argent ? Pourquoi ?
2. Pourquoi un exposant négatif rend-il une quantité plus petite ? Que signifie $e^{-1}$ ?
3. Quelle offre choisirais-tu : 6% composés annuellement ou 5,85% composés en continu ? Comment peux-tu décider ?
4. Pourquoi, à ton avis, les scientifiques préfèrent-ils la base $e$ à la base 10 pour la croissance et la décroissance ?

Idées reçues courantes

La capitalisation continue fait croître l'argent sans limite ou le double beaucoup plus vite

Remédiation: Calculer côte à côte $1000(1{,}05)$ , $1000\left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{12}$ et $1000e^{0{,}05}$ : 1050, environ 1051,16 et environ 1051,27. Le gain d'une capitalisation plus fréquente est réel mais petit.

Le signe moins dans $e^{-kt}$ rend la quantité négative

Remédiation: Montrer que $e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$ reste positif : un exposant négatif donne un nombre entre 0 et 1, la quantité diminue donc mais ne passe jamais sous zéro.

Le taux dans l'exposant peut s'utiliser en pourcentage

Remédiation: Faire calculer $e^{5}$ et $e^{0{,}05}$ aux élèves et demander lequel a du sens comme facteur de croissance sur un an pour 5% d'intérêts.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner la valeur de $e^{rt}$ dans chaque exercice pour que les élèves se concentrent sur la mise en place de $P \times e^{rt}$
• Commencer avec des exposants entiers comme $e^{1}$ et $e^{2}$
• Utiliser un tableau à trois colonnes : $P$ , $e^{rt}$ , $A$

Pour les élèves au niveau:

• Comparer capitalisation annuelle, mensuelle et continue pour un même dépôt
• Résoudre des exercices où l'on cherche la valeur initiale $P$
• Choisir entre deux offres d'épargne en calculant les facteurs de croissance sur un an

Pour les élèves avancés:

• Montrer numériquement que $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ se rapproche de $e^{r}$ quand $n$ augmente
• Estimer le temps de doublement de $Pe^{0{,}07t}$ avec un tableau de valeurs et comparer avec la règle de 70
• Relier $Pe^{-kt}$ à la demi-vie : trouver $k$ quand la demi-vie est donnée, par essais successifs

Alignement aux standards

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Reconnaître les situations où une grandeur augmente ou diminue d'un pourcentage constant par intervalle unitaire
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpréter les paramètres d'une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Utiliser les propriétés des puissances pour interpréter des expressions de fonctions exponentielles et les classer en croissance ou décroissance
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Écrire des équations à une inconnue et les utiliser pour résoudre des problèmes, y compris avec des fonctions exponentielles

Ressources de la leçon

activityLa course des capitalisations
Les groupes calculent 1000 € à 6% sur 10 ans avec capitalisation annuelle, mensuelle, quotidienne et continue, puis comparent
worksheetCroissance ou décroissance ?
Lire le signe de l'exposant dans des modèles comme $50e^{-0{,}3t}$ et calculer des valeurs à la calculatrice
visualDeux courbes
Tracer $P(1 + r)^t$ et $Pe^{rt}$ dans le même repère pour voir à quel point elles sont proches et laquelle est au-dessus

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Dans la leçon sur la base naturelle

e

, tu as vu que composer de plus en plus souvent,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, se rapproche de

e \approx 2{,}71828

. Quand une grandeur augmente en continu (à chaque instant, et pas une fois par an), on utilise

e

comme base.

Croissance continue :

A = P e^{rt}

Décroissance continue :

A = P e^{-kt}

où :

$P$ est la valeur initiale (à $t = 0$ )
$r$ est le taux de croissance continu et $k$ le taux de décroissance continu, tous deux écrits en décimal ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ est le temps, dans la même unité que le taux (années, heures, jours)
$A$ est la quantité après le temps $t$

Le signe de l'exposant indique le sens : un exposant positif signifie une croissance, un exposant négatif une décroissance. Tu peux aussi écrire la décroissance sous la forme

A = Pe^{rt}

avec un taux négatif, par exemple

r = -0{,}03

Dans la calculatrice, tape

e^{x}

directement sous la forme e^(x), par exemple e^0.5

\approx 1{,}6487

. Sur une calculatrice simple sans touche

e

, tape 2.71828^x à la place.

Exemples résolus

Tu déposes 1000 € sur un compte qui rapporte 5% d'intérêts composés en continu. Combien y a-t-il sur le compte après 10 ans ? Arrondis au centime.

Identifier les valeurs

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Valeurs identifiées

Calculer l'exposant $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Calculer $e^{0{,}5}$ à la calculatrice

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Multiplier par $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Réponse: Après 10 ans, le compte contient environ 1648,72 €.

Erreurs courantes

Mettre le taux en pourcentage dans l'exposant : $1000 e^{5 \times 10}$

Pourquoi c'est faux: La formule demande le taux en décimal. $e^{50}$ est un nombre gigantesque (environ $5 \times 10^{21}$ ), ce qui n'a aucun sens pour un compte d'épargne.

Correct: Convertis d'abord : $5\% = 0{,}05$ , donc $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Oublier le signe moins pour une décroissance : $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Pourquoi c'est faux: Sans le signe moins, l'exposant est positif et la quantité augmente jusqu'à environ 145,77 grammes, plus que les 80 grammes du départ.

Correct: Une décroissance demande un exposant négatif : $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Multiplier avant d'élever à la puissance : $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Pourquoi c'est faux: L'exposant ne concerne que $e$ , pas $P$ . D'après les priorités opératoires, les puissances passent avant la multiplication.

Correct: Calcule d'abord $e^{rt}$ , puis multiplie par $P$ . À la calculatrice : 1000 × e^(0.05 × 10), avec des parenthèses autour de l'exposant.

Utiliser $(1 + r)^t$ alors que l'énoncé parle d'intérêts composés en continu

Pourquoi c'est faux: $(1 + r)^t$ correspond à une capitalisation par période. La capitalisation continue donne toujours un peu plus au même taux.

Correct: Repère les mots en continu ou taux continu : ils signifient $Pe^{rt}$ . Une fois par an signifie $P(1 + r)^t$ .

Pourquoi c'est important

Beaucoup de phénomènes n'attendent pas la fin de l'année pour changer : ils changent à chaque instant.

Finance : certains comptes d'épargne et certains prêts composent les intérêts en continu, et $Pe^{rt}$ est la limite supérieure de ce que peut rapporter n'importe quel rythme de capitalisation au même taux
Biologie : les bactéries d'un laboratoire se divisent tout le temps, pas selon un horaire, donc leur croissance se modélise avec $e$
Physique et médecine : les atomes radioactifs se désintègrent à des instants aléatoires et un médicament quitte le sang progressivement, les deux suivent $Pe^{-kt}$
Sciences en général : presque toutes les formules de croissance ou de décroissance en chimie, en physique et en économie s'écrivent avec la base $e$

Une fois que tu sais lire

Pe^{rt}

, tu peux comparer des offres bancaires, prévoir des résultats de laboratoire et comprendre comment les scientifiques datent des objets anciens.

Applications dans le monde réel

Banque : épargne à intérêts continus

Les banques comparent les offres avec la capitalisation la plus généreuse possible, la capitalisation continue. Elle montre le plafond de ce qu'un taux peut rapporter.

Exemple:

À 5% d'intérêts composés en continu, 1 € devient $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ € en un an : le taux annuel effectif est donc d'environ 5,13%, un peu plus que 5%.

1Essaie par toi-même

Tu places 4000 € sur un compte à 4,5% d'intérêts composés en continu et tu les laisses 4 ans.

Combien y a-t-il sur le compte après 4 ans ? Arrondis à l'euro.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologie : bactéries en laboratoire

Les microbiologistes modélisent une culture de bactéries bien nourrie par $N(t) = N_0 e^{rt}$, où $r$ est le taux de croissance continu par heure.

Exemple:

Une culture de 1000 bactéries qui augmente au taux continu de 30% par heure compte $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bactéries après 2 heures.

2Essaie par toi-même

Une culture de laboratoire commence avec 2000 bactéries et augmente en continu de 40% par heure.

Combien y a-t-il de bactéries après 5 heures ? Arrondis à l'unité.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Médecine : traceurs radioactifs

Les hôpitaux utilisent des substances radioactives comme l'iode 131 pour le diagnostic et le traitement. La quantité restante suit $A = Pe^{-kt}$, ce qui permet aux médecins de savoir combien il en reste chaque jour.

Exemple:

L'iode 131 se désintègre en continu à environ 8,6% par jour. Après 1 jour, $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ : il reste donc environ 91,8% de l'échantillon.

3Essaie par toi-même

Un hôpital reçoit 100 mg d'iode 131, qui se désintègre en continu au taux de 8,6% par jour.

Combien en reste-t-il après 10 jours ? Arrondis à une décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Points clés

1Croissance continue : $A = Pe^{rt}$ ; décroissance continue : $A = Pe^{-kt}$ , avec les taux écrits en décimal
2Un exposant positif signifie une croissance, un exposant négatif une décroissance
3Dans la calculatrice, tape $e^{x}$ sous la forme e^(x) (sans touche $e$ : 2.71828^x) et mets l'exposant entre parenthèses
4Au même taux et sur la même durée, la capitalisation continue rapporte toujours un peu plus que la capitalisation annuelle
5Pour trouver la valeur initiale, divise : $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Trouver le temps $t$ demande les logarithmes, qui viendront dans des leçons suivantes

Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on $e$ pour la croissance continue ?

Composer

n

fois par an au taux

r

donne

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Quand

n

devient de plus en plus grand, cette expression se rapproche de

e^{rt}

. Donc

e

est ce que l'on obtient quand la croissance a lieu à chaque instant.

Combien la capitalisation continue rapporte-t-elle vraiment de plus ?

Pas beaucoup plus, mais toujours plus. À 5% pendant un an, la capitalisation annuelle multiplie par

1{,}05

et la capitalisation continue par

e^{0{,}05} \approx 1{,}0513

. Sur de longues durées et de gros montants, la différence devient visible.

Est-ce que $A = Pe^{-kt}$ est la même chose que $A = Pe^{rt}$ avec $r$ négatif ?

Oui. Certains manuels écrivent la décroissance avec un taux positif

k

et un signe moins, d'autres utilisent une seule formule

Pe^{rt}

avec

r

négatif, par exemple

r = -0{,}03

. Les deux donnent le même résultat.

Comment trouver le temps nécessaire pour atteindre un certain montant ?

Il faut résoudre

A = Pe^{rt}

t

, ce qui demande le logarithme népérien

\ln

. Tu l'apprendras dans les leçons sur les logarithmes. En attendant, tu peux estimer

t

en essayant des valeurs dans un tableau.

Glossaire

Croissance continue: Augmentation qui a lieu à chaque instant, modélisée par $A = Pe^{rt}$ avec $r > 0$
Décroissance continue: Diminution qui a lieu à chaque instant, modélisée par $A = Pe^{-kt}$ avec $k > 0$
Intérêts composés en continu: Intérêts ajoutés à chaque instant ; la limite d'une capitalisation de plus en plus fréquente
Taux continu: Le taux $r$ ou $k$ dans l'exposant, écrit en décimal ( $4\% = 0{,}04$ )
Nombre d'Euler $e$: La constante $e \approx 2{,}71828$ , base naturelle de la croissance et de la décroissance continues
Valeur initiale: La valeur de départ $P$ à l'instant $t = 0$

Carte des formules

Croissance continue

A = P e^{rt}

$P$ = valeur initiale, $r$ = taux de croissance continu (décimal), $t$ = temps, $A$ = quantité après le temps $t$.

Décroissance continue

A = P e^{-kt}

$k$ = taux de décroissance continu (décimal, positif). Le signe moins fait diminuer la quantité.

Capitalisation annuelle (pour comparer)

A = P(1 + r)^t

Intérêts ajoutés une fois par an. Donne un peu moins que $Pe^{rt}$ au même taux.

Valeur initiale

P = \frac{A}{e^{rt}}

Divise le montant final par le facteur de croissance $e^{rt}$.

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Définition

Exemples résolus

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Biologie : bactéries en laboratoire

Médecine : traceurs radioactifs

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Croissance continue

Décroissance continue

Capitalisation annuelle (pour comparer)

Valeur initiale

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