Guide de l'enseignant: Décroissance exponentielle

Apprends comment une grandeur diminue d'un pourcentage constant, utilise la formule y = a(1 - r)^t et résous des problèmes de dépréciation, de médicaments et de refroidissement.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Écrire des modèles de décroissance exponentielle de la forme $y = a(1 - r)^t$ à partir d'une baisse en pourcentage
Distinguer le taux de décroissance du facteur de décroissance et passer de l'un à l'autre
Reconnaître une croissance ou une décroissance à partir de la base d'une fonction exponentielle
Calculer des valeurs et le pourcentage restant après $n$ périodes dans des situations de dépréciation, de médicaments et de refroidissement
Comparer une baisse linéaire et une baisse exponentielle et expliquer pourquoi leurs courbes diffèrent

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme $f(x) = a \cdot b^x$
• Croissance exponentielle : facteur de croissance $1 + r$ et hausse en pourcentage
• Convertir des pourcentages en nombres décimaux
• Calculer des puissances à la calculatrice

Amorces de discussion

1. Un magasin dit qu'un téléphone 'perd 20 % chaque année'. Ne vaudra-t-il plus rien après 5 ans ? Pourquoi ?
2. Pourquoi une voiture neuve perd-elle plus d'argent la première année que la cinquième ?
3. Préférerais-tu qu'une dette diminue de 100 € par mois ou de 10 % par mois ? La réponse dépend-elle du montant de la dette ?
4. Pourquoi un médecin pourrait-il te dire de prendre un médicament toutes les 8 heures plutôt qu'une fois par jour ?
5. Connais-tu quelque chose qui décroît de façon exponentielle sans jamais tout à fait atteindre zéro ?

Idées reçues courantes

Une baisse de 15 % signifie que la base est 0,15

Remédiation: Demande 'quelle part reste-t-il ?' après une période. Avec 100 unités et une perte de 15 %, il en reste 85, donc le multiplicateur est 0,85. Fais dire aux élèves 'je perds 15, je garde 85' avant d'écrire une formule.

Une baisse en pourcentage retire le même montant à chaque période

Remédiation: Construis deux tableaux côte à côte à partir de 1000 : retirer 200 chaque année ou multiplier par 0,8 chaque année. Les élèves voient les pertes en pourcentage diminuer (200, 160, 128...) alors que les pertes linéaires restent les mêmes.

La décroissance exponentielle s'arrête à zéro après assez de périodes

Remédiation: Utilise le visualiseur de suites avec la raison 0,8 et beaucoup de termes. Chaque barre vaut 80 % de la précédente, elle ne peut donc jamais être nulle. Relie cela à l'asymptote horizontale $y = 0$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des facteurs qui donnent des nombres simples (0,5; 0,8; 0,9) et de courts tableaux avant la formule
• Utiliser la phrase 'je perds r, je garde 1 - r' et un tableau à deux colonnes (perdu, gardé) pour chaque problème
• Autoriser une calculatrice avec des expressions préparées comme 1000 × 0,8^3

Pour les élèves au niveau:

• Modéliser des problèmes de dépréciation, de médicaments et de refroidissement avec $y = a(1 - r)^t$
• Calculer le pourcentage restant après $n$ périodes
• Comparer une baisse linéaire et une baisse exponentielle et trouver quand l'une dépasse l'autre

Pour les élèves avancés:

• Trouver le taux de décroissance à partir de deux données en utilisant des racines, par exemple $b^2 = 0{,}81$
• Chercher combien de temps il faut pour perdre la moitié de la valeur (avant-goût de la demi-vie)
• Se renseigner sur le lien entre le modèle simple de refroidissement et la loi de refroidissement de Newton

Alignement aux standards

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Reconnaître les situations où une grandeur augmente ou diminue d'un pourcentage constant par intervalle unité
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Utiliser les propriétés des puissances pour interpréter les expressions de fonctions exponentielles et les classer en croissance ou décroissance exponentielle
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpréter les paramètres d'une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte

Ressources de la leçon

visualBarres de décroissance géométrique
Visualiseur de suites avec premier terme 100 et raison 0,8 : les élèves voient chaque barre diminuer de 20 % et lisent le pourcentage restant
activityDépréciation chez le concessionnaire
Des groupes reçoivent des prix de voitures et des taux de perte annuels, construisent des tableaux de décroissance et décident quelle voiture garde le mieux sa valeur
activityLinéaire ou exponentielle ?
Tri de cartes de tableaux et de descriptions entre baisse d'un montant constant et baisse d'un pourcentage constant
worksheetLa décroissance au quotidien
Problèmes de dépréciation, de médicaments et de refroidissement avec arrondi précisé

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Il y a décroissance exponentielle lorsqu'une grandeur diminue du même pourcentage à chaque période de même durée. La quantité perdue est de plus en plus petite, car chaque nouvelle perte est un pourcentage de ce qui reste.

y = a(1 - r)^t

Avec :

$a$ = valeur initiale (la quantité à $t = 0$ )
$r$ = taux de décroissance, le pourcentage perdu à chaque période, écrit en nombre décimal ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = facteur de décroissance $b$ , la part conservée à chaque période ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = nombre de périodes

Dans la forme générale

y = a \cdot b^t

, la base indique le type :

$b > 1$ : croissance exponentielle
$0 < b < 1$ : décroissance exponentielle

Après

t

périodes, la part qui reste vaut

(1 - r)^t

, quelle que soit la quantité de départ.

Exemples résolus

Pour chaque fonction, indique s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance et trouve la variation en pourcentage par période : $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ et $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Regarde la base de $f$

$b = 0{,}92$ et $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ est décroissante

Trouve le taux de décroissance de $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ perd $8\%$ par période

Regarde la base de $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , donc $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ augmente de $3\%$ par période

Lis les valeurs initiales

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ et $g(0) = 50$ → Valeurs de départ $300$ et $50$

Réponse: $f$ est une décroissance exponentielle de $8\%$ par période (départ à $300$ ) ; $g$ est une croissance exponentielle de $3\%$ par période (départ à $50$ ).

Erreurs courantes

Prendre le taux de décroissance comme base : écrire $25000 \cdot 0{,}15^t$ pour une perte de $15\%$

Pourquoi c'est faux: $0{,}15^t$ ne garde que $15\%$ chaque année, c'est-à-dire une perte de $85\%$ par an. La base doit être la part conservée.

Correct: Facteur de décroissance $= 1 - r$ . Une baisse de $15\%$ donne $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Retirer le même montant à chaque période : '20 % de 1000 font 200, donc après 5 ans la valeur est 0'

Pourquoi c'est faux: C'est un raisonnement linéaire. La perte de chaque année représente $20\%$ de la valeur actuelle, pas de la valeur de départ, donc les pertes diminuent.

Correct: Multiplie par $0{,}8$ chaque année : $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Après 5 ans, il reste $327{,}68$ .

Calculer $a \cdot 1 - r^t$ au lieu de $a(1 - r)^t$

Pourquoi c'est faux: L'exposant porte sur tout le facteur de décroissance. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , mais $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Correct: Calcule d'abord $1 - r$ , élève-le ensuite à la puissance $t$ , puis multiplie par $a$ .

Croire qu'une grandeur qui décroît finit par valoir exactement zéro

Pourquoi c'est faux: Multiplier un nombre positif par un facteur comme $0{,}8$ donne toujours un nombre positif.

Correct: Dans le modèle $y = a(1 - r)^t$ , les valeurs se rapprochent de plus en plus de $0$ (asymptote horizontale $y = 0$ ) sans jamais l'atteindre.

Pourquoi c'est important

La décroissance exponentielle décrit beaucoup de choses qui diminuent avec le temps :

Dépréciation : une voiture ou un téléphone neuf perd chaque année un pourcentage de sa valeur, donc il perd le plus d'argent au début
Médicaments : le corps élimine chaque heure un pourcentage fixe d'un médicament, ce qui détermine la fréquence des prises
Refroidissement : une boisson chaude refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement en s'approchant de la température de la pièce
Lumière et son : chaque mètre d'eau ou de mur absorbe un pourcentage de la lumière ou du son qui le traverse

Connaître la formule de décroissance te permet de prévoir des valeurs, de comparer des offres (un montant fixe en moins par an ou un pourcentage en moins) et de comprendre pourquoi certaines choses n'atteignent jamais tout à fait zéro.

Applications dans le monde réel

Dépréciation des téléphones et ordinateurs

Les appareils électroniques perdent chaque année un pourcentage de leur valeur. Les sites de revente et les assureurs utilisent des modèles de décroissance pour estimer la valeur d'un appareil d'occasion.

Exemple:

Un ordinateur portable à 1000 € qui perd $30\%$ par an vaut $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € après 2 ans.

1Essaie par toi-même

Un téléphone neuf coûte 1200 € et perd $25\%$ de sa valeur chaque année.

Combien vaut le téléphone après 2 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule de décroissance : $1200 \cdot 0{,}75^2$

Posologie des médicaments

Les médecins et les pharmaciens utilisent la décroissance exponentielle pour savoir quelle quantité de médicament reste dans le corps et quand prendre la dose suivante.

Exemple:

Si le corps élimine $15\%$ d'un médicament chaque heure, alors après 4 heures $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , donc il reste environ $52{,}2\%$ de la dose.

2Essaie par toi-même

Un patient prend 200 mg d'un médicament. Le corps élimine $30\%$ de la quantité restante chaque heure.

Combien de milligrammes reste-t-il après 4 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : $200 \cdot 0{,}7^4$

Boissons qui refroidissent

Les ingénieurs et les spécialistes de l'alimentation modélisent le refroidissement par une décroissance : l'écart de température entre un objet et la pièce diminue d'un pourcentage chaque minute.

Exemple:

Un café à $90°C$ dans une pièce à $20°C$ : si l'écart de $70$ diminue de $10\%$ par minute, après 1 minute il vaut $63$ , donc le café est à $83°C$ .

3Essaie par toi-même

Une tasse de thé est à $80°C$ dans une pièce à $20°C$ . Dans un modèle simple, l'écart de température diminue de $20\%$ chaque minute.

Quelle est la température du thé après 3 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Points clés

1La décroissance exponentielle suit $y = a(1 - r)^t$ : la grandeur perd le même pourcentage à chaque période
2Le taux de décroissance $r$ est le pourcentage perdu ; le facteur de décroissance $1 - r$ est la part conservée (une baisse de $15\%$ donne $0{,}85$ )
3Dans $y = a \cdot b^t$ , une base $0 < b < 1$ indique une décroissance et $b > 1$ une croissance
4Après $t$ périodes, la part restante vaut $(1 - r)^t$ ; multiplie par $100\%$ pour obtenir le pourcentage restant
5Une baisse linéaire retire toujours le même montant et peut atteindre zéro ; une baisse exponentielle perd de moins en moins et ne fait que s'approcher de zéro
6Arrondis seulement à la fin et précise l'arrondi (au centime, au dixième)

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le taux de décroissance et le facteur de décroissance ?

Le taux de décroissance

r

est ce que tu perds à chaque période (par exemple

15\% = 0{,}15

). Le facteur de décroissance est ce que tu gardes :

1 - r = 0{,}85

. C'est le facteur de décroissance qui se place dans la base de la puissance.

Comment distinguer croissance et décroissance en regardant seulement la formule ?

Regarde la base

b

dans

y = a \cdot b^t

. Si

b > 1

, la grandeur augmente (par exemple

1{,}04

signifie

+4\%

). Si

0 < b < 1

, elle diminue (par exemple

0{,}96

signifie

-4\%

Une grandeur qui décroît atteint-elle un jour zéro ?

Pas dans le modèle. À chaque période, on garde une part fixe d'un nombre positif, donc le résultat reste positif. La courbe se rapproche de plus en plus de la droite

y = 0

, son asymptote horizontale. Dans la vie réelle, on arrête de compter quand la quantité devient trop petite pour avoir de l'importance.

Qu'est-ce que la demi-vie ?

La demi-vie est le temps nécessaire pour qu'il reste exactement la moitié de la grandeur. C'est un cas particulier de décroissance exponentielle avec sa propre formule, étudié dans la leçon Problèmes de demi-vie.

Glossaire

Décroissance exponentielle: Une diminution du même pourcentage sur des périodes égales, modélisée par $y = a(1 - r)^t$
Taux de décroissance: Le pourcentage perdu par période, écrit en nombre décimal $r$ (par exemple $0{,}15$ pour $15\%$ )
Facteur de décroissance: La part conservée à chaque période, $b = 1 - r$ , avec $0 < b < 1$
Valeur initiale: La quantité $a$ au temps $t = 0$
Dépréciation: La perte de valeur d'un objet, comme une voiture ou un téléphone, au fil du temps
Asymptote horizontale: La droite $y = 0$ dont la courbe de décroissance s'approche sans jamais la toucher

Carte des formules

Formule de la décroissance exponentielle

y = a(1 - r)^t

$a$ = valeur initiale, $r$ = taux de décroissance en nombre décimal, $1 - r$ = facteur de décroissance, $t$ = nombre de périodes.

Facteur de décroissance à partir d'un pourcentage

b = 1 - r

Une baisse de $p\%$ par période donne $b = 1 - \frac{p}{100}$. Exemple : $15\% \to 0{,}85$.

Pourcentage restant

(1 - r)^t \times 100\%

Le pourcentage de la quantité de départ qui reste après $t$ périodes, quelle que soit la quantité de départ.

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