Décroissance exponentielle

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle fonction représente une décroissance exponentielle ?
1. a) $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
2. b) $y = 40 \cdot 1{,}2^t$
3. c) $y = 40 \cdot 3^t$
4. d) $y = 40 + 0{,}75t$
Réponse: $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
Dans $y = 40 \cdot 0{,}75^t$ la base est $0{,}75$ , et $0 < 0{,}75 < 1$ , donc c'est une décroissance ( $25\%$ par période). $1{,}2$ et $3$ sont des bases de croissance, et $40 + 0{,}75t$ est linéaire, pas exponentielle.
2.
Une grandeur diminue de $15\%$ chaque année. Quel est le facteur de décroissance $b$ ? Écris-le en nombre décimal.
Réponse: 0.85
$b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Chaque année, $85\%$ de la grandeur est conservée.
3.
De quel pourcentage $f(t) = 500 \cdot 0{,}6^t$ diminue-t-elle à chaque période ?
1. a)6%
2. b)60%
3. c)0,4%
4. d)40%
Réponse: 40%
$r = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 = 40\%$ . La fonction garde $60\%$ et perd $40\%$ à chaque période.
4.
La fonction 1 est $y = 150 \cdot 1{,}04^t$ et la fonction 2 est $y = 150 \cdot 0{,}96^t$ . Laquelle représente une décroissance ?
Réponse: 2
1. Quelle est la base de la fonction 1 ? 1.04
2. Quelle est la base de la fonction 2 ? 0.96
3. De quel pourcentage la fonction 2 diminue-t-elle à chaque période ? Écris seulement le nombre. 4
4. Quelle fonction représente une décroissance ? Écris 1 ou 2. 2
5.
Un modèle exponentiel a un facteur de décroissance de $0{,}93$ . Quel est le taux de décroissance en pourcentage ? Écris seulement le nombre (par exemple 5 pour $5\%$ ).
Réponse: 7
$r = 1 - 0{,}93 = 0{,}07 = 7\%$ . La grandeur perd $7\%$ par période.
6.
Un ordinateur portable coûte 1000 € et perd $20\%$ de sa valeur chaque année. Combien vaut-il après 2 ans (en €) ?
Réponse: 640
1. Quel est le facteur de décroissance ? 0.8
2. Calcule $0{,}8^2$ 0.64
3. Multiplie : $1000 \cdot 0{,}64$ 640
7.
Un téléphone coûte 600 € et perd $20\%$ de sa valeur chaque année. Quelle expression donne sa valeur après $t$ ans ?
1. a) $600 \cdot 1{,}2^t$
2. b) $600 \cdot 0{,}8^t$
3. c) $600 - 0{,}2t$
4. d) $600 \cdot 0{,}2^t$
Réponse: $600 \cdot 0{,}8^t$
Perdre $20\%$ signifie garder $80\%$ , donc la valeur est $600 \cdot 0{,}8^t$ . $0{,}2^t$ ne garderait que $20\%$ , $1{,}2^t$ est une croissance et $600 - 0{,}2t$ est linéaire.
8.
Analyse le modèle $f(t) = 2000 \cdot 0{,}7^t$ et calcule $f(2)$ .
Réponse: 980
1. Quelle est la valeur initiale ? 2000
2. Quel est le facteur de décroissance ? 0.7
3. Quel est le taux de décroissance en pourcentage ? Écris seulement le nombre. 30
4. Calcule $f(2)$ 980
9.
Une grandeur perd $20\%$ à chaque période. Quel pourcentage de la quantité de départ reste-t-il après 4 périodes ? Écris seulement le nombre, avec deux décimales.
Réponse: 40.96
$0{,}8^4 = 0{,}4096$ , donc il reste $40{,}96\%$ de la quantité de départ, quelle qu'elle soit.
10.
Une voiture est achetée 20000 € et perd $10\%$ de sa valeur chaque année. Combien vaut-elle après 3 ans (en €) ?
Réponse: 14580
1. Quel est le facteur de décroissance ? 0.9
2. Calcule $0{,}9^3$ 0.729
3. Multiplie : $20000 \cdot 0{,}729$ 14580
11.
Quelle affirmation sur $y = 80 \cdot 0{,}75^t$ est FAUSSE ?
1. a)La valeur initiale est 80
2. b)Elle atteint 0 après 4 périodes
3. c)Après une période, y = 60
4. d)Elle diminue de 25% à chaque période
Réponse: Elle atteint 0 après 4 périodes
La valeur initiale est $80$ , le taux est $1 - 0{,}75 = 25\%$ , et $80 \cdot 0{,}75 = 60$ . Mais $80 \cdot 0{,}75^4 \approx 25{,}31$ , pas $0$ : une décroissance exponentielle n'atteint jamais zéro.
12.
Une patiente prend 500 mg d'un médicament. Le corps élimine $10\%$ de la quantité restante chaque heure. Combien de milligrammes reste-t-il après 5 heures ? Arrondis au milligramme près.
Réponse: 295
1. Quel est le facteur de décroissance ? 0.9
2. Calcule $0{,}9^5$ , arrondi à quatre décimales 0.5905
3. Multiplie par 500 et arrondis au milligramme près 295
13.
Une machine vaut 10000 €. Modèle A : elle perd 1500 € par an. Modèle B : elle perd $15\%$ par an. Quel modèle donne la valeur la plus élevée après 5 ans ?
1. a)Modèle B (environ 4437)
2. b)Les deux donnent la même valeur
3. c)Modèle A (2500)
4. d)Les deux valent 0
Réponse: Modèle B (environ 4437)
Modèle A : $10000 - 7500 = 2500$ . Modèle B : $10000 \cdot 0{,}85^5 \approx 10000 \cdot 0{,}4437 \approx 4437$ . Le modèle exponentiel est plus élevé, car ses pertes annuelles diminuent.
14.
Un café est à $85°C$ dans une pièce à $20°C$ . Dans un modèle simple, l'écart entre le café et la pièce diminue de $10\%$ chaque minute. Quelle est la température du café après 3 minutes, en °C ? Arrondis au dixième.
Réponse: 67.4
Écart : $65 \cdot 0{,}9^3 = 65 \cdot 0{,}729 = 47{,}385$ . Température : $20 + 47{,}385 = 67{,}385 \approx 67{,}4°C$ .
15.
Une machine coûte 12000 €. Plan A : elle perd 1500 € par an. Plan B : elle perd $20\%$ par an. Après 4 ans, de combien d'euros la valeur du plan A dépasse-t-elle celle du plan B ?
Réponse: 1084.8
1. Quelle est la valeur avec le plan A après 4 ans ? 6000
2. Calcule $0{,}8^4$ 0.4096
3. Quelle est la valeur avec le plan B après 4 ans ? 4915.2
4. De combien le plan A est-il plus élevé ? 1084.8
16.
La valeur d'un vélo passe de 400 à 324 en 2 ans, en perdant le même pourcentage chaque année. Quelle est la baisse annuelle en pourcentage ? Écris seulement le nombre.
Réponse: 10
$b^2 = \frac{324}{400} = 0{,}81$ , donc $b = 0{,}9$ . Le taux de décroissance est $1 - 0{,}9 = 0{,}1 = 10\%$ . Vérification : $400 \to 360 \to 324$ .
17.
Un scooter coûte 1000 € et perd $20\%$ de sa valeur chaque année. Après combien d'années entières vaut-il pour la première fois moins de 450 € ?
Réponse: 4
1. Valeur après 1 an ? 800
2. Valeur après 2 ans ? 640
3. Valeur après 3 ans ? 512
4. Valeur après 4 ans ? 409.6
5. Après combien d'années entières la valeur passe-t-elle pour la première fois sous 450 ? 4
18.
Un patient reçoit 800 mg d'un médicament. Chaque heure, le corps élimine $40\%$ de la quantité encore présente. Combien de milligrammes reste-t-il après 3 heures, et quel pourcentage de la dose cela représente-t-il ?
Réponse: 172.8
1. Quel est le facteur de décroissance ? 0.6
2. Calcule $0{,}6^3$ 0.216
3. Combien de milligrammes reste-t-il ? 172.8
4. Quel pourcentage de la dose reste-t-il ? Écris seulement le nombre. 21.6