Résoudre des équations exponentielles

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Résous $2^x = 16$ .
1. a) $4$
2. b) $8$
3. c) $14$
4. d) $2$
Réponse: $4$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ , donc $2^x = 2^4$ et $x = 4$ . La réponse $8$ vient de la division de $16$ par $2$ , ce qui est faux.
2.
Résous $3^x = 81$ .
Réponse: 4
$81 = 3^4$ , donc $3^x = 3^4$ et $x = 4$ . Vérification : $3^4 = 81$ ✓
3.
Résous $5^{x-1} = 125$ .
Réponse: 4
1. Écris 125 comme une puissance de 5 : $125 = 5^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 3
2. Égale les exposants : $x - 1 = 3$ . Combien vaut $x$ ? 4
4.
Quelle équation correspond à $4^x = 64$ écrite en base $2$ des deux côtés ?
1. a) $2^{2x} = 2^6$
2. b) $2^{x+2} = 2^6$
3. c) $2^{2x} = 2^8$
4. d) $2^x = 2^6$
Réponse: $2^{2x} = 2^6$
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ et $64 = 2^6$ , donc l'équation est $2^{2x} = 2^6$ (ce qui donne $x = 3$ , et en effet $4^3 = 64$ ).
5.
Résous $5^x = \frac{1}{25}$ .
Réponse: -2
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ , donc $5^x = 5^{-2}$ et $x = -2$ .
6.
Résous $3 \cdot 2^x = 96$ .
Réponse: 5
1. Divise les deux membres par 3 : $2^x = \square$ 32
2. Écris 32 comme une puissance de 2. Combien vaut $x$ ? 5
7.
Résous $8^x = 4$ . Donne la réponse sous forme de fraction, comme 3/4.
Réponse: 2/3
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ et $4 = 2^2$ , donc $3x = 2$ et $x = \frac{2}{3}$ . Vérification : $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ ✓
8.
Résous $9^x = \frac{1}{27}$ .
1. a) $-3$
2. b) $-\frac{3}{2}$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $-\frac{2}{3}$
Réponse: $-\frac{3}{2}$
$9^x = 3^{2x}$ et $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , donc $2x = -3$ et $x = -\frac{3}{2}$ . Le choix $\frac{3}{2}$ oublie le signe moins.
9.
Résous $2^{3x} = \frac{1}{16}$ . Donne la réponse sous forme de fraction, comme -5/2.
Réponse: -4/3
1. Écris $\frac{1}{16}$ comme une puissance de 2 : $\frac{1}{16} = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? -4
2. Égale les exposants : $3x = -4$ . Combien vaut $x$ ? Écris-le sous forme de fraction. -4/3
10.
Résous $8^x = 32$ . Donne la réponse sous forme de fraction, comme 7/2.
Réponse: 5/3
1. $8 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 3
2. $32 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 5
3. Maintenant $2^{3x} = 2^5$ , donc $3x = 5$ . Combien vaut $x$ ? Écris-le sous forme de fraction. 5/3
11.
Résous $25^x = 125$ . Donne la réponse sous forme de fraction, comme 5/4.
Réponse: 3/2
$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$ et $125 = 5^3$ , donc $2x = 3$ et $x = \frac{3}{2}$ . Vérification : $25^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$ ✓
12.
Résous $5 \cdot 3^{x+1} = 405$ .
Réponse: 3
1. Divise les deux membres par 5 : $3^{x+1} = \square$ 81
2. $81 = 3^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 4
3. $x + 1 = 4$ . Combien vaut $x$ ? 3
13.
La solution de $2^x = 20$ n'est pas un nombre entier. Entre quels entiers consécutifs se trouve-t-elle ?
1. a)4 et 5
2. b)3 et 4
3. c)10 et 11
4. d)5 et 6
Réponse: 4 et 5
$2^4 = 16$ et $2^5 = 32$ . Comme $16 < 20 < 32$ , la solution est comprise entre $4$ et $5$ (environ $4{,}32$ ). Le choix 10 et 11 vient d'une division erronée de 20 par 2.
14.
Résous $4^{x+1} = 8^x$ .
Réponse: 2
1. $4 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 2
2. $8 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 3
3. Maintenant $2^{2(x+1)} = 2^{3x}$ , donc $2x + 2 = 3x$ . Combien vaut $x$ ? 2
15.
L'équation $2^{x^2 - x} = 64$ a deux solutions. Quelle est la plus grande ?
Réponse: 3
1. $64 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 6
2. Donc $x^2 - x - 6 = 0$ , qui se factorise en $(x - 3)(x + 2) = 0$ . Quelle est la plus petite solution ? -2
3. Quelle est la plus grande solution ? 3
16.
Résous $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$ .
Réponse: -3
$2^{-x} = 2^3$ , donc $-x = 3$ et $x = -3$ . Vérification : $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ ✓
17.
Quelle équation n'a aucune solution ?
1. a) $3^x = 1$
2. b) $2^x = \frac{1}{8}$
3. c) $4^x = 2$
4. d) $5^x = -25$
Réponse: $5^x = -25$
$5^x$ est positif pour tout $x$ , donc il ne peut jamais valoir $-25$ . Les autres ont des solutions : $2^x = \frac{1}{8}$ donne $x = -3$ , $3^x = 1$ donne $x = 0$ et $4^x = 2$ donne $x = \frac{1}{2}$ .
18.
La solution de $3^x = 50$ n'est pas un nombre entier. Quel est le plus petit entier $n$ tel que $3^n > 50$ ?
Réponse: 4
1. Combien vaut $3^3$ ? 27
2. Combien vaut $3^4$ ? 81
3. Comme $27 < 50 < 81$ , quel est le plus petit entier $n$ tel que $3^n > 50$ ? 4