Guide de l'enseignant: Résoudre des équations exponentielles

Résous des équations où l'inconnue est dans l'exposant en écrivant les deux membres comme des puissances de même base, et estime les solutions qui ne sont pas entières.

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10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Résoudre des équations exponentielles en écrivant les deux membres comme des puissances de même base
Utiliser les exposants négatifs et fractionnaires pour écrire des fractions et des racines comme des puissances
Isoler la puissance avant de résoudre une équation avec un facteur devant, comme $3 \cdot 2^x = 48$
Vérifier les solutions par substitution et estimer les solutions non entières avec un tableau de puissances

Prérequis

• Lois des exposants (produit, quotient et puissance d'une puissance)
• Exposants rationnels (racines écrites comme exposants fractionnaires)
• Introduction aux fonctions exponentielles
• Croissance exponentielle
• Résolution d'équations du premier degré et d'équations du second degré simples

Amorces de discussion

1. Pourquoi est-il plus difficile de résoudre $2^x = 32$ en "défaisant" l'opération que $2x = 32$ ?
2. Comment savoir rapidement si la solution de $9^x = \frac{1}{27}$ est positive ou négative ?
3. Pourquoi $2^x = -8$ n'a-t-elle pas de solution, alors que $x^3 = -8$ en a une ?
4. Si $2^4 = 16$ et $2^5 = 32$ , la solution de $2^x = 24$ vaut-elle exactement $4{,}5$ ? Pourquoi ?

Idées reçues courantes

Traiter $2^x$ comme $2x$ et diviser par la base

Remédiation: Demande aux élèves de remplacer leur réponse : $2^{16}$ vaut 65536, pas 32. Fais de la vérification une habitude et liste $2^1, 2^2, \ldots$ pour qu'ils voient que les puissances augmentent par multiplication.

Égaler les exposants même quand les bases sont différentes

Remédiation: Compare $2^x = 2^3$ et $4^x = 2^3$ . Fais calculer $4^3$ pour voir que cela fait 64 et non 8, puis montre la réécriture $4^x = 2^{2x}$ .

S'attendre à une réponse entière à chaque fois

Remédiation: Utilise $4^x = 8$ et $2^x = 20$ : l'une a la solution fractionnaire $\frac{3}{2}$ , l'autre est comprise entre 4 et 5. Les graphiques et les tableaux montrent que la solution peut se trouver n'importe où sur la droite graduée.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Fournir un tableau de référence des puissances de 2, 3, 5 et 10 jusqu'à la puissance 6
• Commencer par des équations directes comme $3^x = 27$ avant de réécrire les deux membres
• Utiliser une liste d'étapes fixe : isoler, même base, égaler les exposants, vérifier

Pour les élèves au niveau:

• Résoudre des équations à solutions négatives et fractionnaires, comme $8^x = 32$ et $9^x = \frac{1}{27}$
• Résoudre des équations avec un facteur devant, comme $5 \cdot 3^{x+1} = 405$
• Encadrer des solutions non entières entre deux entiers consécutifs avec un tableau

Pour les élèves avancés:

• Résoudre des équations avec l'inconnue des deux côtés, comme $4^{x+1} = 8^x$
• Résoudre des équations avec un exposant du second degré, comme $2^{x^2 - x} = 64$
• Affiner une estimation au dixième près avec la calculatrice et la comparer plus tard avec un logarithme

Alignement aux standards

HSA-REI.D.11 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.11)
Expliquer pourquoi les abscisses des points d'intersection des courbes de y = f(x) et y = g(x) sont les solutions de f(x) = g(x) ; trouver des solutions approchées avec un outil numérique ou des tableaux de valeurs, y compris pour les fonctions exponentielles
HSN-RN.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.2)
Réécrire des expressions contenant des racines et des exposants rationnels à l'aide des propriétés des puissances
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Utiliser les propriétés des puissances pour transformer des expressions de fonctions exponentielles
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Écrire des équations et des inéquations à une inconnue et les utiliser pour résoudre des problèmes, y compris des équations issues de fonctions exponentielles

Ressources de la leçon

visualDroite graduée des puissances de 2
Les élèves placent les puissances de 2 sur une droite graduée et situent des valeurs comme 20 entre deux puissances
activityChasse aux puissances
Des cartes avec des nombres comme 81, 1/16 et 125 : les élèves écrivent chacun comme une puissance de 2, 3 ou 5
worksheetExercices sur la même base
Des équations allant de la même base directe aux exposants négatifs et fractionnaires, avec une colonne de vérification

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans l'exposant, par exemple

2^x = 32

3^{x+1} = 81

L'idée clé est la règle de la même base : si deux puissances de même base sont égales, leurs exposants sont égaux.

b^m = b^n \implies m = n \quad (b > 0,\ b \neq 1)

La méthode de la même base :

1.Isoler la puissance : si un nombre multiplie la puissance, divise les deux membres par ce nombre ( $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$ ).
2.Écrire les deux membres comme des puissances de la même base ( $16 = 2^4$ , $8 = 2^3$ , $4 = 2^2$ ).
3.Égaler les exposants et résoudre l'équation plus simple obtenue.
4.Vérifier en remplaçant la solution dans l'équation de départ.

Réécritures utiles :

Les fractions deviennent des exposants négatifs : $\frac{1}{27} = 3^{-3}$
Les racines deviennent des exposants fractionnaires : $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
Puissance d'une puissance : $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

Quand on ne peut pas écrire les deux membres avec la même base (comme pour

2^x = 20

), tu peux estimer la solution avec un tableau de puissances :

2^4 = 16

2^5 = 32

, donc

x

est compris entre

4

5

. Les logarithmes, vus plus tard, donnent la valeur exacte.

Exemples résolus

Résous $2^x = 32$ .

Écris 32 comme une puissance de 2

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ → $2^x = 2^5$

Égale les exposants

Même base $2$ , donc les exposants doivent être égaux → $x = 5$

Vérifie

$2^5 = 32$ ✓ → La solution est correcte

Réponse: $x = 5$

Erreurs courantes

Diviser par la base : $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Pourquoi c'est faux: $2^x$ signifie $2$ multiplié par lui-même $x$ fois, pas $2$ fois $x$ . La division annule une multiplication, pas une puissance.

Correct: Écris $32$ comme une puissance de $2$ : $32 = 2^5$ , donc $x = 5$ . Vérification : $2^{16} = 65536 \neq 32$ .

Faire entrer le facteur dans la base : $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Pourquoi c'est faux: L'exposant ne porte que sur le $2$ . D'après les priorités opératoires, on calcule d'abord la puissance, puis on multiplie par $3$ .

Correct: Divise d'abord : $2^x = 16 = 2^4$ , donc $x = 4$ . Vérification : $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Égaler les exposants alors que les bases sont différentes : $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Pourquoi c'est faux: La règle de la même base ne fonctionne que si les bases sont vraiment identiques. $4^3 = 64$ , pas $8$ .

Correct: Réécris d'abord $4^x = 2^{2x}$ , puis $2x = 3$ , donc $x = \frac{3}{2}$ .

Oublier le signe moins : $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Pourquoi c'est faux: Un nombre plus petit que $1$ demande un exposant négatif quand la base est plus grande que $1$ : $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ .

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$ , donc $x = -\frac{3}{2}$ . Test rapide : $9^{\frac{3}{2}} = 27$ , ce qui est bien plus grand que $\frac{1}{27}$ .

Pourquoi c'est important

Les équations exponentielles répondent à la question "quand ?" pour tout ce qui augmente ou diminue d'un facteur constant :

Biologie : quand une colonie de bactéries qui double chaque heure atteindra-t-elle 4800 cellules ?
Finance : combien d'années faut-il pour qu'un placement double ou triple ?
Technologie : combien de doublements de stockage faut-il pour contenir une quantité de données donnée ?
Sciences : combien de temps faut-il pour qu'une substance descende à un niveau sans danger ?

Dans les leçons précédentes, tu as calculé la quantité pour un temps donné. Ici, tu inverses la question et tu cherches le temps (l'exposant) pour une quantité donnée. La méthode de la même base t'apprend aussi à voir des nombres comme

8

81

\frac{1}{27}

comme des puissances, une compétence que tu réutiliseras avec les logarithmes.

Applications dans le monde réel

Colonies de bactéries

Une colonie qui double chaque heure suit $N = N_0 \cdot 2^t$. En résolvant pour $t$, un laboratoire sait quand la colonie atteint une taille visée.

Exemple:

Une colonie de 100 cellules double chaque heure. Elle atteint 800 cellules quand $100 \cdot 2^t = 800$ , donc $2^t = 8 = 2^3$ et $t = 3$ heures.

1Essaie par toi-même

Un échantillon contient 300 bactéries au départ et double chaque heure.

Au bout de combien d'heures y a-t-il 4800 bactéries ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $300 \cdot 2^t = 4800$ . Divise d'abord :

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double l'épaisseur d'une feuille de papier, donc l'épaisseur après $n$ pliages est $T = T_0 \cdot 2^n$.

Exemple:

Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur mesure 0,8 mm après 3 pliages, car $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$ .

2Essaie par toi-même

Une feuille de papier a une épaisseur de 0,1 mm. Chaque pliage double l'épaisseur.

Combien de pliages donnent une épaisseur de 6,4 mm ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $0{,}1 \cdot 2^n = 6{,}4$ . Divise d'abord :

Vidéos virales

Des vues qui doublent chaque jour suivent $V = V_0 \cdot 2^d$. Quand l'objectif n'est pas une puissance de 2, un tableau de puissances montre le jour où il est dépassé.

Exemple:

Une vidéo de 1000 vues qui doublent chaque jour a $1000 \cdot 2^5 = 32000$ vues après 5 jours et $1000 \cdot 2^6 = 64000$ après 6 jours.

3Essaie par toi-même

Une vidéo a 1000 vues et ses vues doublent chaque jour.

Entre quels jours entiers dépasse-t-elle 50000 vues ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $1000 \cdot 2^d = 50000$ . Divise d'abord :

Points clés

1Dans une équation exponentielle, l'inconnue est dans l'exposant, comme dans $2^x = 32$
2Règle de la même base : si $b^m = b^n$ (avec $b > 0$ , $b \neq 1$ ), alors $m = n$
3Isole d'abord la puissance : divise par le facteur devant, comme dans $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$
4Réécris avec une base commune grâce à $(b^m)^x = b^{mx}$ , aux exposants négatifs pour les fractions ( $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ ) et aux exposants fractionnaires pour les racines
5Vérifie toujours la solution en la remplaçant dans l'équation de départ
6S'il n'y a pas de base commune, un tableau de puissances montre entre quels entiers se trouve la solution ; les logarithmes donnent la valeur exacte

Questions fréquentes

Et si je ne peux pas écrire les deux membres avec la même base ?

Alors la méthode de la même base ne s'applique pas. Tu peux quand même estimer : fais un tableau de puissances et regarde où se place le membre de droite, par exemple

2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5

, donc la solution de

2^x = 20

est comprise entre

4

5

. Les logarithmes, étudiés plus tard, donnent la réponse exacte.

Pourquoi la base ne doit-elle pas être 1 ?

Parce que

1^x = 1

pour tout

x

. L'équation

1^x = 1^5

est vraie pour toutes les valeurs de

x

, donc tu ne peux pas conclure que

x = 5

. Avec toute autre base positive, des exposants différents donnent toujours des résultats différents.

Une équation exponentielle peut-elle n'avoir aucune solution ?

Oui. Une puissance de base positive est toujours positive, donc

2^x = -4

2^x = 0

n'ont pas de solution. Avant de commencer, vérifie que la puissance isolée est égale à un nombre positif.

Peut-il y avoir deux solutions ?

Oui, quand l'exposant contient

x^2

. Par exemple,

2^{x^2} = 2^4

donne

x^2 = 4

, donc

x = 2

x = -2

. Vérifie les deux dans l'équation de départ.

Glossaire

Équation exponentielle: Une équation dans laquelle l'inconnue apparaît dans un exposant, comme $5^{x-1} = 125$
Méthode de la même base: Résoudre une équation exponentielle en écrivant les deux membres comme des puissances d'une même base, puis en égalant les exposants
Base commune: Une base avec laquelle on peut écrire les deux membres, comme $2$ pour $4^x = 8$
Exposant négatif: Un exposant qui signifie un inverse : $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Exposant fractionnaire: Un exposant qui signifie une racine : $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ , par exemple $27^{\frac{1}{3}} = 3$
Logarithme: L'exposant nécessaire pour atteindre un nombre ; il donne des solutions exactes comme le $x$ de $2^x = 20$ (vu plus tard)

Carte des formules

Règle de la même base

b^m = b^n \implies m = n

Valable pour $b > 0$ et $b \neq 1$. Écris les deux membres avec la même base, puis égale les exposants.

Puissance d'une puissance

(b^m)^x = b^{mx}

Sert à changer de base, par exemple $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Exposant négatif

\frac{1}{b^n} = b^{-n}

Transforme une fraction en puissance, par exemple $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

Exposant fractionnaire

\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}

Transforme une racine en puissance, par exemple $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

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Exposant négatif

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