Guide de l'enseignant: La base naturelle e

Découvre d'où vient le nombre e, pourquoi il vaut environ 2,71828 et comment se comporte la fonction exponentielle naturelle y = e^x.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Expliquer comment le nombre e apparaît comme limite de (1 + 1/n)^n
Calculer des intérêts composés pour différentes fréquences de capitalisation et décrire la limite qu'ils approchent
Calculer des expressions contenant e avec la valeur approchée e ≈ 2,71828
Décrire la courbe de y = e^x et la comparer avec y = 2^x et y = 3^x
Reconnaître que e est irrationnel et utiliser correctement les valeurs approchées

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme f(x) = a · b^x, valeur initiale et base
• Croissance exponentielle : facteur de croissance et formule A(t) = A_0(1 + r)^t
• Formule des intérêts composés A = P(1 + r/n)^(nt)
• Exposants négatifs et exposant nul

Amorces de discussion

1. Si les intérêts étaient ajoutés chaque seconde, deviendrais-tu infiniment riche ? Pourquoi ?
2. Pourquoi (1 + 1/n)^n ne diminue-t-il pas simplement vers 1, alors que 1 + 1/n se rapproche de 1 ?
3. e et pi sont deux constantes irrationnelles. Quelles autres constantes célèbres connais-tu, et d'où viennent-elles ?
4. Sans calculatrice, comment pourrais-tu montrer que e^x doit se situer entre 2^x et 3^x ?

Idées reçues courantes

La suite (1 + 1/n)^n augmente indéfiniment parce que l'exposant augmente indéfiniment

Remédiation: Fais calculer les valeurs pour n = 10, 100, 1000 et 1000000 et observer combien chaque nouvelle valeur ajoute peu. Demande si une somme d'augmentations de plus en plus petites doit forcément devenir infinie.

e est une inconnue à trouver, comme x

Remédiation: Compare e avec pi : ce sont deux nombres fixes désignés par une lettre parce que leurs décimales ne s'arrêtent jamais. Réécris e^x sous la forme 2,71828^x dans quelques exercices pour le montrer.

La capitalisation continue rapporte énormément d'argent en plus

Remédiation: Montre le tableau pour 12 % sur 1000 € : la capitalisation quotidienne donne 1127,47 € et la continue 1127,50 €. La différence n'est que de quelques centimes.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par le tableau de (1 + 1/n)^n et ne faire compléter à la main que n = 1 et n = 2
• Donner e ≈ 2,71828 ainsi que e^2 ≈ 7,389 et e^-1 ≈ 0,368 sur une fiche mémo
• Utiliser le simulateur d'intérêts pour changer la période de capitalisation au lieu de calculer les puissances à la main

Pour les élèves au niveau:

• Calculer des intérêts composés avec une capitalisation annuelle, trimestrielle, mensuelle et quotidienne, puis comparer
• Calculer des expressions comme 3e^2 et e^0,5 avec la calculatrice
• Esquisser y = 2^x, y = e^x et y = 3^x dans le même repère à partir d'un tableau de valeurs

Pour les élèves avancés:

• Étudier la série e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... et comparer la vitesse à laquelle elle s'approche de e
• Étudier (1 + r/n)^n pour r = 2 et r = 0,5 et conjecturer la limite (e^r)
• Chercher pourquoi 1/e apparaît dans le problème de l'échange de cadeaux (dérangements)

Alignement aux standards

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Représenter graphiquement des fonctions exponentielles et logarithmiques en montrant les intersections avec les axes et le comportement aux bornes
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construire des fonctions affines et exponentielles à partir d'un graphique, d'une description ou de deux couples de valeurs
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Utiliser les propriétés des puissances pour transformer des expressions de fonctions exponentielles

Ressources de la leçon

visualExplorer la fréquence de capitalisation
Régler 1000 € à 100 % pendant un an et passer de la capitalisation annuelle à quotidienne pour voir le total s'approcher de 2718,28 €
activityÀ la chasse au nombre e
Des groupes calculent (1 + 1/n)^n pour n = 1, 2, 10, 100, 1000, 1000000 et placent les résultats sur un graphique
worksheetCalculer e^x
S'entraîner à calculer des expressions avec e et à comparer e^x avec 2^x et 3^x

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La base naturelle

e

est un nombre particulier, environ

2{,}71828

. Il apparaît quand on calcule l'expression

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

pour des valeurs de

n

de plus en plus grandes :

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

Les valeurs augmentent toujours, mais elles ne dépassent jamais une certaine limite. Cette limite est le nombre

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

À retenir :

$e$ est irrationnel : ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais, donc $2{,}71828$ n'est qu'une valeur approchée
$e$ est compris entre $2$ et $3$ , donc la courbe de la fonction exponentielle $y = e^x$ se situe entre les courbes de $y = 2^x$ et $y = 3^x$
Comme toute fonction $y = b^x$ , elle passe par $(0, 1)$ , car $e^0 = 1$
La base $e$ est tellement utilisée que l'on appelle souvent $e^x$ simplement la fonction exponentielle

Exemples résolus

Calcule $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 12$ . Que remarques-tu ?

Prends $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Prends $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Prends $n = 12$ (avec la calculatrice)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Compare avec des $n$ plus grands

$n = 365$ donne $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ donne $\approx 2{,}71828$ → Les valeurs augmentent de plus en plus lentement

Réponse: Les résultats $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... augmentent toujours, mais ils se stabilisent près de $e \approx 2{,}71828$ et ne le dépassent jamais.

Erreurs courantes

Penser que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ augmente sans limite, ou qu'il diminue vers $1$

Pourquoi c'est faux: Deux effets s'opposent : $1 + \frac{1}{n}$ se rapproche de $1$ , mais l'exposant $n$ devient plus grand. Aucun des deux ne l'emporte complètement.

Correct: Vérifie avec un tableau : $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . Les valeurs augmentent mais se stabilisent à $e \approx 2{,}71828$ .

Traiter $e$ comme une variable, comme $x$

Pourquoi c'est faux: En algèbre, les lettres désignent souvent des inconnues, alors certains élèves essaient de trouver $e$ ou de remplacer $e$ par d'autres nombres.

Correct: $e$ est une constante fixe, exactement comme $\pi$ . Dans $y = e^x$ , la variable est $x$ ; $e \approx 2{,}71828$ ne change jamais.

Calculer $e^2$ comme $2e \approx 5{,}437$

Pourquoi c'est faux: Un exposant signifie une multiplication répétée, pas une multiplication par l'exposant.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

Écrire $e = 2{,}71828$ ou $e = 2{,}72$ comme si c'était exact

Pourquoi c'est faux: $e$ est irrationnel, donc aucun nombre décimal fini et aucune fraction ne lui est exactement égal.

Correct: Écris $e \approx 2{,}71828$ et n'arrondis qu'à la fin du calcul, avec la précision demandée.

Pourquoi c'est important

Le nombre

e

apparaît partout où une quantité augmente ou diminue proportionnellement à sa taille actuelle :

Banque : quand les intérêts sont ajoutés de plus en plus souvent (chaque mois, chaque jour, chaque seconde), le résultat s'approche d'une limite construite avec $e$ . On parle d'intérêts composés en continu
Biologie : les bactéries et les cultures de cellules qui grandissent sans pause sont modélisées avec $e^x$
Physique et chimie : la désintégration radioactive, le refroidissement et la charge d'un condensateur utilisent des puissances de $e$
Probabilités : si beaucoup de personnes tirent des noms pour un échange de cadeaux, la probabilité que personne ne tire son propre nom vaut environ $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Analyse : $e^x$ est la seule fonction exponentielle dont le taux de variation en chaque point est égal à sa propre valeur, ce qui en fait le choix naturel en sciences

C'est pourquoi les calculatrices scientifiques ont une touche

e^x

, et pourquoi les leçons suivantes (croissance continue, modèles de population) utilisent la base

e

Applications dans le monde réel

Banques et fréquence de capitalisation

Les banques annoncent un taux annuel, mais elles peuvent ajouter les intérêts chaque année, chaque mois ou chaque jour. Plus les intérêts sont ajoutés souvent, plus le résultat se rapproche de la limite continue construite avec $e$.

Exemple:

À 12 % par an, 1000 € deviennent 1120,00 € avec une capitalisation annuelle et environ 1127,50 € avec une capitalisation continue ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Essaie par toi-même

Tu places 1000 € à 12 % par an, avec capitalisation mensuelle, pendant un an.

Combien y a-t-il sur le compte après un an, au centime près ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Cultures de cellules en croissance

Dans une culture de laboratoire, les cellules se divisent à tout moment, pas une fois par jour. Les biologistes décrivent donc leur croissance avec la base $e$ : $N = N_0 e^{kt}$.

Exemple:

Une culture de 200 cellules modélisée par $N = 200e^{t}$ ( $t$ en heures) compte $200e^{1} \approx 544$ cellules après 1 heure.

2Essaie par toi-même

Une culture commence avec 200 cellules et est modélisée par $N = 200e^{t}$ , avec $t$ en heures.

Combien y a-t-il de cellules environ après 2 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $200 \cdot e^2$ :

Échanges de cadeaux et 1/e

Dans un échange de cadeaux où chacun tire un nom dans un chapeau, la probabilité que personne ne tire son propre nom est presque exactement $\frac{1}{e}$ dès que le groupe compte plus de quelques personnes.

Exemple:

Dans une classe de 25 élèves, la probabilité que personne ne tire son propre nom est d'environ $0{,}368$ : il faut donc refaire le tirage dans environ 63 % des cas.

3Essaie par toi-même

Un grand groupe tire des noms pour un échange de cadeaux. La probabilité que personne ne tire son propre nom est $\frac{1}{e}$ .

Quelle est la probabilité, en pourcentage, qu'au moins une personne tire son propre nom ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $1 - \frac{1}{e}$ :

Points clés

1Quand $n$ augmente, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ se rapproche de plus en plus du nombre $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ est irrationnel : $2{,}71828$ est une valeur approchée, pas la valeur exacte
3Capitaliser plus souvent (chaque année, chaque mois, chaque jour) rapporte plus, mais le montant s'approche d'une limite : la capitalisation continue
4La fonction exponentielle $y = e^x$ passe par $(0, 1)$ et a l'axe des abscisses comme asymptote horizontale
5Comme $2 < e < 3$ , la courbe de $y = e^x$ se situe entre les courbes de $y = 2^x$ et $y = 3^x$
6La croissance continue utilise $A = Pe^{rt}$ , que tu étudieras dans la leçon Croissance et décroissance continues

Questions fréquentes

Pourquoi appelle-t-on e la base naturelle ?

Parce qu'il apparaît tout seul dans la nature et en finance chaque fois qu'une croissance se fait en permanence et non par étapes. En analyse,

e^x

est la seule fonction exponentielle dont la pente en chaque point est égale à sa propre valeur, ce qui rend les formules en base

e

les plus simples.

Qui a découvert e ?

Jacques Bernoulli l'a trouvé vers 1683 en étudiant les intérêts composés, exactement comme dans cette leçon. Leonhard Euler l'a ensuite nommé

e

, a démontré beaucoup de ses propriétés et en a calculé de nombreuses décimales. C'est pourquoi on l'appelle le nombre d'Euler.

Est-ce que e est la constante d'Euler ?

Non. Le nombre d'Euler

e \approx 2{,}71828

est la base de la fonction exponentielle. La constante d'Euler-Mascheroni

\gamma \approx 0{,}5772

est un autre nombre, issu de la théorie des nombres. Seul

e

est utilisé dans ce chapitre.

Comment utiliser e sur une calculatrice ?

La plupart des calculatrices scientifiques ont une touche

e^x

. La calculatrice de cette leçon connaît aussi

e

: tape e^0.5 pour

e^{0{,}5}

, ce qui donne environ

1{,}6487

. Sans touche

e

, tape 2.71828 à la place, par exemple 2.71828^0.5.

Glossaire

Nombre d'Euler e: La constante irrationnelle $e \approx 2{,}71828$ , limite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ quand $n$ augmente
Fonction exponentielle: La fonction $f(x) = e^x$ , fonction exponentielle de base $e$
Nombre irrationnel: Un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction ; ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais (exemples : $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Fréquence de capitalisation: Le nombre de fois par an où les intérêts sont ajoutés au solde, noté $n$ (annuelle $n = 1$ , mensuelle $n = 12$ , quotidienne $n = 365$ )
Intérêts composés en continu: La limite quand les intérêts sont ajoutés de plus en plus souvent ; le montant vaut $A = Pe^{rt}$

Carte des formules

Définition de e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Pour $n$ très grand, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ est très proche de $e$.

Fonction exponentielle

f(x) = e^x

Passe par $(0, 1)$, toujours positive, asymptote horizontale $y = 0$, se situe entre $2^x$ et $3^x$.

Intérêts composés

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capital initial, $r$ = taux annuel en nombre décimal, $n$ = capitalisations par an, $t$ = années.

Intérêts composés en continu

A = Pe^{rt}

La limite des intérêts composés quand $n$ devient infiniment grand.

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

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Banques et fréquence de capitalisation

Cultures de cellules en croissance

Échanges de cadeaux et 1/e

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Définition de e

Fonction exponentielle

Intérêts composés

Intérêts composés en continu

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