La base naturelle e

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel nombre est la meilleure valeur approchée de $e$ ?
1. a)2,5
2. b)1,41421
3. c)3,14159
4. d)2,71828
Réponse: 2,71828
$e \approx 2{,}71828$ . Le nombre $3{,}14159$ est $\pi$ , $1{,}41421$ est $\sqrt{2}$ , et $2{,}5$ est trop petit.
2.
Si $f(x) = e^x$ , que vaut $f(0)$ ?
1. a) $0$
2. b) $1$
3. c) $e$
4. d) $-1$
Réponse: $1$
$f(0) = e^0 = 1$ . C'est pourquoi la courbe de $y = e^x$ coupe l'axe des ordonnées en $(0, 1)$ .
3.
Pour $x > 0$ , où se situe la courbe de $y = e^x$ ?
1. a)Au-dessus de $y = 2^x$ et en dessous de $y = 3^x$
2. b)Exactement sur la courbe de $y = 3^x$
3. c)Au-dessus de $y = 2^x$ et de $y = 3^x$
4. d)En dessous de $y = 2^x$ et de $y = 3^x$
Réponse: Au-dessus de $y = 2^x$ et en dessous de $y = 3^x$
Comme $2 < e < 3$ , pour $x > 0$ on a $2^x < e^x < 3^x$ . Par exemple en $x = 2$ : $4 < 7{,}389 < 9$ .
4.
Que devient $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ quand $n$ devient de plus en plus grand ?
1. a)Il se rapproche de plus en plus de $1$
2. b)Il se rapproche de plus en plus de $e \approx 2{,}71828$
3. c)Il se rapproche de plus en plus de $2$
4. d)Il augmente sans limite
Réponse: Il se rapproche de plus en plus de $e \approx 2{,}71828$
Les valeurs sont $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , ... Elles augmentent mais se stabilisent à $e \approx 2{,}71828$ : elles ne grandissent pas sans limite et ne reviennent pas à $1$ ou $2$ .
5.
Avec $e \approx 2{,}71828$ , quelle valeur est la plus proche de $e^3$ ?
1. a) $27$
2. b) $20{,}09$
3. c) $8{,}15$
4. d) $9$
Réponse: $20{,}09$
$e^3 \approx 2{,}71828^3 \approx 20{,}09$ . La valeur $8{,}15$ est $3e$ (une erreur fréquente), et $9 = 3^2$ et $27 = 3^3$ utilisent la mauvaise base. Comme $e < 3$ , $e^3$ doit être inférieur à $27$ .
6.
Calcule $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 2$ .
Réponse: 2.25
$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ . C'est la deuxième valeur du tableau qui s'approche de $e$ .
7.
La courbe de $y = e^x$ coupe l'axe des ordonnées au point $(0, b)$ . Que vaut $b$ ?
Réponse: 1
En $x = 0$ : $y = e^0 = 1$ , donc $b = 1$ . Toute fonction $y = b^x$ passe par $(0, 1)$ .
8.
Avec $e^2 \approx 7{,}389$ , calcule $3e^2$ . Arrondis au dixième.
Réponse: 22.2
$3e^2 \approx 3 \cdot 7{,}389 = 22{,}167$ , soit $22{,}2$ arrondi au dixième.
9.
Avec $e \approx 2{,}718$ , calcule $e^{-1} = \frac{1}{e}$ . Arrondis à trois décimales.
Réponse: 0.368
$e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}718} \approx 0{,}36792$ , soit $0{,}368$ arrondi.
10.
On place 1000 € sur un compte qui rapporte 100 % d'intérêts par an, avec capitalisation trimestrielle ( $n = 4$ ). Combien y a-t-il sur le compte après un an ? Arrondis au centime.
Réponse: 2441.41
$1{,}25^4 = 2{,}44140625$ , donc $A = 1000 \cdot 2{,}44140625 = 2441{,}40625 \approx 2441{,}41$ €. C'est plus qu'avec une capitalisation annuelle (2000 €) et moins que la limite continue $1000e \approx 2718{,}28$ €.
11.
Calcule $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 4$ . Arrondis le résultat final à quatre décimales.
Réponse: 2.4414
1. Que vaut $1 + \frac{1}{4}$ en nombre décimal ? 1.25
2. Élève au carré : $1{,}25^2 = ?$ 1.5625
3. Élève encore au carré : $1{,}5625^2$ , arrondi à quatre décimales 2.4414
12.
Soit $f(x) = e^x$ . Calcule $f(0)$ , $f(1)$ et $f(2)$ , puis regarde comment les valeurs augmentent. Utilise $e \approx 2{,}71828$ et $e^2 \approx 7{,}389$ .
Réponse: 2.72
1. Que vaut $f(0) = e^0$ ? 1
2. Que vaut $f(1) = e^1$ , arrondi à trois décimales ? 2.718
3. Que vaut $f(2) = e^2$ (utilise la valeur donnée) ? 7.389
4. Divise $f(2)$ par $f(1)$ : $\frac{7{,}389}{2{,}718}$ , arrondi à deux décimales 2.72
13.
Compare $2^2$ , $e^2$ et $3^2$ avec $e^2 \approx 7{,}389$ . À quelle distance $e^2$ se trouve-t-il de chacune des deux autres valeurs ?
Réponse: 1.611
1. Que vaut $2^2$ ? 4
2. Que vaut $3^2$ ? 9
3. De combien $e^2$ est-il plus grand que $2^2$ ? ( $7{,}389 - 4$ ) 3.389
4. De combien $e^2$ est-il plus petit que $3^2$ ? ( $9 - 7{,}389$ ) 1.611
14.
On place 1000 € à 10 % par an pendant un an, avec capitalisation semestrielle ( $n = 2$ ). Compare le résultat avec une capitalisation continue, en utilisant $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ .
Réponse: 2.67
1. Quel est le taux d'intérêt par semestre, en nombre décimal ? 0.05
2. Quel est le facteur de croissance sur un an, $1{,}05^2$ ? 1.1025
3. Combien y a-t-il sur le compte avec la capitalisation semestrielle ? 1102.5
4. Combien y a-t-il avec la capitalisation continue ? ( $1000 \cdot 1{,}10517$ , au centime près) 1105.17
5. Quelle est la différence entre les deux montants ? 2.67
15.
Calcule $4e^{0{,}5}$ avec la calculatrice, en écrivant $e$ sous la forme $2{,}71828$ . Arrondis le résultat final au centième.
Réponse: 6.59
1. Que vaut $e^{0{,}5} = \sqrt{e}$ , arrondi à quatre décimales ? (tape 2.71828^0.5) 1.6487
2. Multiplie par $4$ : $4 \cdot 1{,}6487 = ?$ 6.5948
3. Arrondis $6{,}5948$ au centième 6.59
16.
1000 € rapportent 100 % d'intérêts par an, avec capitalisation quotidienne ( $n = 365$ ), pendant un an. De combien le résultat est-il inférieur à la limite continue $1000e$ ? Utilise $e \approx 2{,}71828$ , arrondis les deux montants au centime et donne la différence en euros.
Réponse: 3.71
1. Calcule $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365}$ , arrondi à quatre décimales 2.7146
2. Combien y a-t-il sur le compte après un an, au centime près ? 2714.57
3. Que vaut la limite continue $1000e$ , au centime près ? 2718.28
4. Quelle est la différence entre les deux montants ? 3.71
17.
Montre qu'en $x = -1$ la valeur de $e^x$ se situe toujours entre $2^x$ et $3^x$ . Utilise $e \approx 2{,}718$ et arrondis à trois décimales.
Réponse: 0.368
1. Que vaut $2^{-1}$ ? 0.5
2. Que vaut $3^{-1}$ , arrondi à trois décimales ? 0.333
3. Que vaut $e^{-1} = \frac{1}{2{,}718}$ , arrondi à trois décimales ? La valeur doit se trouver entre tes deux réponses. 0.368
18.
On place 1000 € à 12 % par an pendant un an. Combien gagnes-tu de plus avec une capitalisation continue ( $A = Pe^{rt}$ ) qu'avec une capitalisation annuelle ? Utilise $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ .
Réponse: 7.5
1. Que vaut l'exposant $rt$ ? 0.12
2. Quel est le montant avec la capitalisation continue ? ( $1000 \cdot 1{,}1275$ ) 1127.5
3. Quel est le montant avec la capitalisation annuelle ? ( $1000 \cdot 1{,}12$ ) 1120
4. Combien la capitalisation continue rapporte-t-elle de plus ? 7.5