Modèles de croissance de population

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Un village de $2000$ habitants augmente de $4\%$ par an. Quelle fonction modélise sa population après $t$ années ?
1. a) $P(t) = 2000 \cdot 0{,}04^t$
2. b) $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
3. c) $P(t) = 2000 + 1{,}04t$
4. d) $P(t) = 2000 \cdot 4^t$
Réponse: $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
$4\% = 0{,}04$ , donc le facteur de croissance est $1{,}04$ et $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$ . La base $0{,}04$ ferait diminuer le village, $4$ le quadruplerait chaque année, et $2000 + 1{,}04t$ est linéaire.
2.
Une population de $6000$ double tous les $15$ ans. Quel modèle donne la population après $t$ années ?
1. a) $P(t) = 6000 \cdot 2^{15t}$
2. b) $P(t) = 6000 \cdot 2^t$
3. c) $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
4. d) $P(t) = 6000 \cdot 15^{t/2}$
Réponse: $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
Le modèle de doublement est $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ avec $d = 15$ , donc $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$ . Après $15$ ans, l'exposant vaut $1$ et la population est de $12000$ .
3.
La population d'un pays augmente de $2\%$ par an. D'après la règle de 70, en combien de temps environ double-t-elle ?
1. a)14 ans
2. b)35 ans
3. c)140 ans
4. d)3500 ans
Réponse: 35 ans
$d \approx \frac{70}{2} = 35$ ans. En divisant par $0{,}02$ , on obtiendrait $3500$ , bien trop grand. Le temps de doublement exact est lui aussi d'environ $35$ ans.
4.
Une population de lapins sur une île a crû de façon exponentielle pendant quelques années, mais sa croissance ralentit maintenant. Quelle est la raison la plus probable ?
1. a)Le facteur de croissance d'un modèle exponentiel passe sous 1 après quelques années
2. b)Les populations passent toujours à une croissance linéaire après exactement 5 ans
3. c)La nourriture et l'espace sont limités, donc la population approche de la capacité de charge
4. d)Les fonctions exponentielles atteignent toujours une valeur maximale
Réponse: La nourriture et l'espace sont limités, donc la population approche de la capacité de charge
La nourriture et l'espace sur l'île sont limités. Quand la population approche de la capacité de charge, la croissance ralentit et la courbe s'aplatit (croissance logistique). Les fonctions exponentielles avec $b > 1$ n'ont pas de maximum, donc le ralentissement vient du milieu, pas des mathématiques.
5.
Les villes A et B comptent toutes deux $10000$ habitants aujourd'hui. La ville A gagne $500$ habitants par an ; la ville B augmente de $5\%$ par an. Quelle affirmation sur les populations dans 20 ans est vraie ? (Utilise $1{,}05^{20} \approx 2{,}6533$ .)
1. a)La ville B a environ 6533 habitants de plus
2. b)Les deux villes ont 20000 habitants
3. c)La ville B a exactement 500 habitants de plus
4. d)La ville A a environ 6533 habitants de plus
Réponse: La ville B a environ 6533 habitants de plus
Ville A : $10000 + 500 \cdot 20 = 20000$ . Ville B : $10000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 26533$ . La première année, les deux gagnent $500$ habitants, mais la ville exponentielle prend une avance d'environ $26533 - 20000 = 6533$ personnes.
6.
Une colonie de $1500$ lapins augmente de $10\%$ par an. Combien y a-t-il de lapins au bout d'un an ?
Réponse: 1650
$P(1) = 1500 \cdot 1{,}1 = 1650$ lapins.
7.
Une ville de $4000$ habitants double tous les $8$ ans. Quelle est sa population au bout de $24$ ans ?
Réponse: 32000
$\frac{24}{8} = 3$ doublements, donc $P(24) = 4000 \cdot 2^3 = 4000 \cdot 8 = 32000$ .
8.
Une population de poissons augmente de $7\%$ par an. Utilise la règle de 70 pour estimer son temps de doublement en années.
Réponse: 10
$d \approx \frac{70}{7} = 10$ ans. C'est une estimation : le temps de doublement exact est d'environ $10{,}2$ ans.
9.
Un village comptait $2500$ habitants en 2023 et $2600$ en 2024. Quel est son taux de croissance annuel en pourcentage ? (Écris seulement le nombre, par exemple 5.)
Réponse: 4
$\frac{2600}{2500} = 1{,}04$ , donc $r = 1{,}04 - 1 = 0{,}04 = 4\%$ par an.
10.
Une culture de $200$ bactéries double toutes les $25$ minutes. Au bout de combien de minutes y aura-t-il $12800$ bactéries ?
Réponse: 150
$\frac{12800}{200} = 64 = 2^6$ , il faut donc 6 doublements : $6 \cdot 25 = 150$ minutes.
11.
Une ville de $30000$ habitants augmente de $2\%$ par an. Quelle est sa population au bout de 2 ans ?
Réponse: 31212
1. Quel est le facteur de croissance $1 + r$ ? 1.02
2. Combien vaut $1{,}02^2$ ? 1.0404
3. Multiplie par $30000$ . Quelle est la population au bout de 2 ans ? 31212
12.
Un échantillon de $50$ bactéries double toutes les $10$ minutes. Combien y a-t-il de bactéries au bout d'une heure ?
Réponse: 3200
1. Combien de doublements y a-t-il en 60 minutes ? 6
2. Combien vaut $2^6$ ? 64
3. Combien y a-t-il de bactéries au bout d'une heure ? 3200
13.
Un lac comptait $800$ poissons l'an dernier et en compte $880$ cette année. En supposant la même croissance annuelle en pourcentage, combien y a-t-il de poissons 2 ans après le comptage de 800 ?
Réponse: 968
1. Quel est le facteur de croissance $\frac{880}{800}$ ? 1.1
2. Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage ? (Écris seulement le nombre.) 10
3. Calcule $P(2) = 800 \cdot 1{,}1^2$ . 968
14.
Un pays de $5$ millions d'habitants augmente de $1{,}4\%$ par an. Utilise la règle de 70 pour estimer sa population dans 100 ans (en millions).
Réponse: 20
1. Estime le temps de doublement en années avec la règle de 70. 50
2. Combien de doublements y a-t-il en 100 ans ? 2
3. Estime la population dans 100 ans, en millions. 20
15.
Une population de $1000$ cerfs double tous les $10$ ans. Estime la population au bout de $5$ ans. (Arrondis $2^{0{,}5}$ à 3 décimales.)
Réponse: 1414
1. Combien vaut l'exposant $\frac{t}{d}$ ? 0.5
2. Combien vaut $2^{0{,}5}$ , arrondi à 3 décimales ? 1.414
3. Estime la population au bout de 5 ans. 1414
16.
Une ville comptait $40000$ habitants en 2020 et $44000$ en 2021. Fais une prévision pour 2023 avec un modèle linéaire et avec un modèle exponentiel. De combien la prévision exponentielle est-elle plus grande ?
Réponse: 1240
1. Modèle linéaire : combien d'habitants s'ajoutent chaque année ? 4000
2. Quelle est la prévision linéaire pour 2023 ? 52000
3. Modèle exponentiel : quel est le facteur de croissance ? 1.1
4. Quelle est la prévision exponentielle pour 2023 ? 53240
5. De combien la prévision exponentielle est-elle plus grande ? 1240
17.
Une ville comptait $5000$ habitants en 2018 et $7200$ en 2020. En supposant la même croissance annuelle en pourcentage, prédis la population en 2022.
Réponse: 10368
1. Quel est le facteur de croissance sur 2 ans, $\frac{7200}{5000}$ ? 1.44
2. Quel est le facteur de croissance annuel $b$ ? 1.2
3. Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage ? (Écris seulement le nombre.) 20
4. Prédis la population en 2022. 10368
18.
Une population de $10000$ augmente de $5\%$ par an. Estime le temps de doublement avec la règle de 70, puis vérifie l'estimation : quelle est la population au bout de ce nombre d'années ?
Réponse: 19800
1. Estime le temps de doublement en années avec la règle de 70. 14
2. Calcule $1{,}05^{14}$ à la calculatrice, arrondi à 2 décimales. 1.98
3. Avec $1{,}98$ , quelle est la population au bout de 14 ans ? 19800