Guide de l'enseignant: Modèles de croissance de population

Modélise des populations de bactéries, de villes et d'animaux avec des fonctions exponentielles, le temps de doublement et la règle de 70.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Écrire et évaluer des modèles de population de la forme $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ et $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$
Estimer des temps de doublement avec la règle de 70 et expliquer que c'est une approximation
Construire un modèle exponentiel de population à partir de deux données
Comparer des prévisions linéaires et exponentielles issues des mêmes données
Expliquer qualitativement pourquoi la croissance réelle ralentit près de la capacité de charge

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme $f(x) = a \cdot b^x$
• Croissance exponentielle : facteur de croissance $1 + r$ et formule $A(t) = A_0 (1 + r)^t$
• Conversion entre pourcentages et nombres décimaux
• Fonctions affines de la forme $y = mx + b$

Amorces de discussion

1. Si une ville double tous les 35 ans, combien de fois plus grande sera-t-elle dans 140 ans ? Est-ce réaliste ?
2. Pourquoi deux scientifiques ayant les mêmes données peuvent-ils faire des prévisions très différentes pour 2050 ?
3. Qu'est-ce qui pourrait limiter la croissance d'une population de lapins sur une île ?
4. Dans quelles situations de la vie courante la règle de 70 est-elle utile, par exemple pour l'épargne ou les prix ?

Idées reçues courantes

La croissance exponentielle peut continuer pour toujours

Remédiation: Fais tourner le modèle loin dans le futur : 1000 lapins qui doublent chaque année dépasseraient un milliard en 20 ans. Discute de la nourriture, de l'espace et des prédateurs, puis esquisse la courbe logistique en S qui se stabilise à la capacité de charge.

Deux données déterminent toujours un seul modèle correct

Remédiation: Fais passer une droite et une exponentielle par les deux mêmes points (exemple 5). Les deux passent par les données, mais leurs prévisions s'écartent. Il faut davantage de données pour décider quel modèle convient.

La règle de 70 donne le temps de doublement exact

Remédiation: Demande aux élèves de vérifier $1{,}05^{14}$ à la calculatrice : on obtient environ $1{,}98$ , pas exactement $2$ . La règle est un raccourci, proche de la vérité pour les petits taux.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des doublements entiers (t/d est un nombre entier) et construire un tableau pas à pas
• Donner une fiche qui convertit les pourcentages en facteurs de croissance (2% donne 1,02, 5% donne 1,05)
• Utiliser le visualiseur de suites pour voir chaque doublement comme une nouvelle barre

Pour les élèves au niveau:

• Appliquer la règle de 70 et comparer avec les valeurs de $(1 + r)^d$ à la calculatrice
• Construire des modèles à partir de deux comptages annuels consécutifs et faire des prédictions
• Comparer des prévisions linéaires et exponentielles pour la même ville

Pour les élèves avancés:

• Construire un modèle à partir de comptages espacés de plusieurs années, avec des racines comme $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$
• Rechercher de vraies données de recensement et vérifier si elles semblent linéaires, exponentielles ou logistiques
• Étudier la règle de 72 utilisée en finance et la comparer à la règle de 70

Alignement aux standards

HSF-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Distinguer les situations modélisables par des fonctions linéaires et par des fonctions exponentielles
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construire des fonctions linéaires et exponentielles à partir d'un graphique, d'une description ou de deux couples de valeurs
HSF-LE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.3)
Observer qu'une quantité à croissance exponentielle finit par dépasser une quantité à croissance linéaire
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpréter les paramètres d'une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte

Ressources de la leçon

visualSuite de doublements
Suite géométrique de premier terme 300 et de raison 2 : chaque barre est un doublement d'une culture de bactéries
visualDiagramme en barres d'une population
Une population de 10000 qui augmente de 10% par an, avec des sauts plus grands chaque année
activityDuel de prévisions
Les groupes reçoivent deux recensements d'une vraie ville, construisent une prévision linéaire et une exponentielle, puis les comparent au recensement réel suivant
worksheetExercices sur le temps de doublement
Estimations avec la règle de 70 comparées aux valeurs exactes de la calculatrice pour différents taux

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un modèle de population est une fonction qui prédit combien d'individus (personnes, bactéries, animaux) il y aura après un temps

t

. Quand une population augmente du même pourcentage chaque année, elle suit un modèle exponentiel :

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = population initiale (à $t = 0$ )
$r$ = taux de croissance annuel en écriture décimale (3% signifie $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = facteur de croissance
$t$ = temps en années

Quand on connaît le temps de doublement

d

(le temps nécessaire pour que la population double), on peut écrire le même type de modèle ainsi :

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

L'exposant

\frac{t}{d}

compte le nombre de doublements. Une estimation rapide relie les deux formes, la règle de 70 :

d \approx \frac{70}{\text{taux de croissance en pourcentage}}

Ce n'est qu'une approximation, mais elle est très bonne pour les petits taux.

Le diagramme en barres montre une population de

10000

qui augmente de

10\%

par an :

10000

11000

12100

13310

14641

. Chaque barre vaut

1{,}1

fois la précédente, donc les sauts sont plus grands chaque année.

Exemples résolus

Une ville compte $50000$ habitants et augmente de $2\%$ par an. Estime sa population au bout de 5 ans.

Identifie $P_0$ , $r$ et $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Valeurs identifiées

Trouve le facteur de croissance

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Facteur de croissance $1{,}02$

Écris le modèle

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Modèle prêt

Calcule pour $t = 5$

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Réponse: Au bout de 5 ans, la ville comptera environ 55204 habitants.

Erreurs courantes

Utiliser directement le pourcentage dans le facteur de croissance : $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Pourquoi c'est faux: Un taux de $2\%$ s'écrit $0{,}02$ en décimal. Écrire $1 + 2 = 3$ voudrait dire que la ville triple chaque année.

Correct: Convertis d'abord le pourcentage : $2\% = 0{,}02$ , donc le facteur de croissance est $1{,}02$ et $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Oublier de diviser par le temps de doublement : $300 \cdot 2^{180}$

Pourquoi c'est faux: L'exposant doit compter les doublements, pas les minutes. En 180 minutes, il n'y a que $\frac{180}{30} = 6$ doublements.

Correct: Utilise $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Utiliser le taux décimal dans la règle de 70 : $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ ans

Pourquoi c'est faux: La règle de 70 est faite pour le taux écrit en pourcentage. Avec le décimal, on obtient un résultat 100 fois trop grand.

Correct: Divise 70 par le nombre du pourcentage : $\frac{70}{3{,}5} = 20$ ans, et souviens-toi que c'est une estimation.

Diviser par le comptage le plus récent pour trouver le taux : $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Pourquoi c'est faux: Le taux de croissance se mesure par rapport à la population de départ, pas à celle d'arrivée.

Correct: Divise le nouveau comptage par l'ancien : $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , donc $r = 10\%$ .

Pourquoi c'est important

Les modèles de population aident à prévoir l'avenir :

Les villes utilisent des prévisions de croissance pour décider combien d'écoles, de logements et de bus il leur faudra dans 10 ou 20 ans
Les biologistes et les médecins prédisent à quelle vitesse les bactéries se multiplient dans un échantillon ou lors d'une infection
Les gestionnaires de la faune suivent les espèces menacées et les espèces invasives pour savoir si une population se rétablit ou explose
Les gouvernements comparent des prévisions linéaires et exponentielles pour planifier l'eau, l'énergie et la nourriture

Connaître la différence entre une droite et une courbe qui ne cesse de doubler peut changer complètement un plan : une prévision exponentielle peut dépasser de plusieurs milliers de personnes une prévision linéaire en quelques décennies seulement. Les vraies populations ne peuvent pas croître exponentiellement pour toujours, donc un bon prévisionniste sait aussi quand le modèle cesse de fonctionner.

Applications dans le monde réel

Urbanisme

Les urbanistes prévoient combien d'habitants une ville aura afin de construire à temps assez d'écoles, de logements et de transports en commun.

Exemple:

Une ville de $250000$ habitants qui augmente de $1\%$ par an aurait environ $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ habitants au bout de 10 ans.

1Essaie par toi-même

Une ville en forte croissance compte $80000$ habitants et augmente de $5\%$ par an.

Combien d'habitants aura-t-elle au bout de 3 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Des bactéries au laboratoire

Les microbiologistes utilisent les temps de doublement pour prévoir quand une culture sera assez grande pour être étudiée, ou à quelle vitesse une infection peut se propager avant un traitement.

Exemple:

Certaines bactéries doublent environ toutes les 20 minutes dans des conditions idéales, soit 3 doublements, c'est-à-dire un facteur $2^3 = 8$ , par heure.

2Essaie par toi-même

Une culture commence avec $1000$ bactéries qui doublent toutes les $20$ minutes.

Combien y a-t-il de bactéries au bout de 1 heure et 40 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Le retour de la faune sauvage

Les équipes de protection de la nature comptent les animaux chaque année, construisent un modèle de croissance à partir des comptages et vérifient si une espèce protégée se rétablit. Elles savent aussi qu'une réserve ne peut nourrir qu'un nombre limité d'animaux, sa capacité de charge, donc la croissance ralentira plus tard.

Exemple:

Si un troupeau passe de $500$ à $540$ animaux en un an, le facteur de croissance est $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , donc le troupeau augmente de $8\%$ par an tant que la nourriture est abondante.

3Essaie par toi-même

Une meute de loups d'une réserve est passée de $64$ à $80$ loups en un an.

Si le même pourcentage annuel se maintient, combien y aura-t-il de loups 2 ans après le comptage de 80 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $80 \cdot (80/64)^2$ :

Points clés

1Une population qui augmente du même pourcentage chaque année suit $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , avec $r$ en écriture décimale
2Avec un temps de doublement $d$ , le modèle est $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , où $\frac{t}{d}$ compte les doublements
3La règle de 70 estime le temps de doublement : $d \approx \frac{70}{\text{taux en pourcentage}}$ ; c'est une approximation, pas une formule exacte
4À partir de deux comptages annuels, le facteur de croissance est $\frac{P_1}{P_0}$ et le taux est $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Les prévisions linéaires ajoutent le même nombre chaque année ; les prévisions exponentielles multiplient, donc elles prennent de l'avance avec le temps
6Les vraies populations ralentissent à l'approche de la capacité de charge de leur milieu, donc les modèles exponentiels conviennent surtout au début de la croissance

Questions fréquentes

Pourquoi la règle de 70 fonctionne-t-elle ?

Le temps de doublement exact est

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, et pour les petits taux

\ln(1 + r)

est très proche de

r

. Comme

\ln 2 \approx 0{,}693

, le temps de doublement vaut environ

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{pourcentage}}

, arrondi à 70. Tu verras les logarithmes dans une leçon ultérieure ; pour l'instant, utilise la règle comme estimation rapide.

Quelle est la précision de la règle de 70 ?

Pour des taux jusqu'à environ

10\%

, l'erreur est en général inférieure à un an. À

2\%

, elle donne

35

ans et la valeur exacte est d'environ

35{,}0

ans. À

7\%

, elle donne

10

ans et la valeur exacte est d'environ

10{,}2

ans. Pour de grands taux, l'erreur augmente.

Qu'est-ce que la capacité de charge ?

La capacité de charge est la plus grande population qu'un milieu peut faire vivre avec sa nourriture, son eau et son espace. Quand une population s'en approche, la croissance ralentit et la courbe s'aplatit en forme de S. On parle de croissance logistique ; dans cette leçon, on la décrit seulement, sans formule.

Faut-il utiliser un modèle linéaire ou exponentiel ?

Regarde les données. Si la population augmente à peu près du même nombre chaque année, utilise un modèle linéaire. Si elle augmente à peu près du même pourcentage chaque année (les quotients

\frac{P_1}{P_0}

\frac{P_2}{P_1}

sont à peu près égaux), utilise un modèle exponentiel.

Glossaire

Modèle de population: Une fonction $P(t)$ qui prédit la taille d'une population après un temps $t$
Population initiale: La population $P_0$ au départ, quand $t = 0$
Taux de croissance: Le pourcentage dont la population augmente à chaque période, écrit en décimal $r$ dans la formule
Temps de doublement: Le temps $d$ nécessaire pour qu'une population double
Règle de 70: L'estimation $d \approx \frac{70}{\text{taux en pourcentage}}$ du temps de doublement
Capacité de charge: La plus grande population qu'un milieu peut faire vivre durablement

Carte des formules

Modèle de population avec un taux annuel

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = population initiale, $r$ = taux de croissance annuel en décimal, $t$ = années.

Modèle avec temps de doublement

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = temps de doublement, dans la même unité que $t$. L'exposant $\frac{t}{d}$ est le nombre de doublements.

Règle de 70 (estimation)

d \approx \frac{70}{\text{taux en pourcentage}}

Temps de doublement approximatif. Utilise le taux en pourcentage, par exemple $\frac{70}{2} = 35$ ans pour $2\%$.

Facteur de croissance à partir de deux comptages

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ et $P_1$ sont des comptages réalisés à une période d'intervalle.

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

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Le retour de la faune sauvage

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Modèle de population avec un taux annuel

Modèle avec temps de doublement

Règle de 70 (estimation)

Facteur de croissance à partir de deux comptages

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