Continuité

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Laquelle de ces affirmations n'est PAS l'une des trois conditions pour que $f$ soit continue en $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe
2. b) $f(a)$ est définie
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
Réponse: $f(a) = 0$
Les trois conditions sont : $f(a)$ est définie, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, et la limite est égale à $f(a)$ . La valeur $f(a)$ peut être n'importe quel nombre ; elle n'a pas à valoir $0$ .
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ est continue partout. Calcule $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
Réponse: 13
Comme $f$ est continue, $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 13$ .
3.
Où $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ n'est-elle PAS continue ?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Elle est continue partout
Réponse: $x = 4$
Le dénominateur $x - 4$ vaut $0$ en $x = 4$ , donc $f(4)$ n'y est pas définie. Partout ailleurs, $f$ est continue.
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $x = 1$ . Quelle valeur faut-il donner à $g(1)$ pour que $g$ soit continue en $x = 1$ ?
Réponse: 2
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ pour $x \neq 1$ , donc la limite vaut $1 + 1 = 2$ . En posant $g(1) = 2$ , la limite est égale à la valeur.
5.
Vérifie si $f(x) = x^2 + 2x$ est continue en $x = 3$ .
Réponse: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 15$
1. Que vaut $f(3)$ ? 15
2. Que vaut $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 15
3. $f$ est-elle continue en $x = 3$ ? oui
6.
La fonction $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ est-elle continue en $x = 1$ ?
Réponse: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$
1. Limite à gauche $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? 3
2. Limite à droite $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? 3
3. Valeur $f(1)$ ? 3
4. $f$ est-elle continue en $x = 1$ ? oui
7.
Quelle fonction est continue pour TOUS les nombres réels ?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
Réponse: $e^x + x^3$
$\frac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ , $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ et $\sqrt{x}$ que pour $x \geq 0$ . $e^x + x^3$ est la somme de deux fonctions continues partout, donc elle est continue partout.
8.
Trouve $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ soit continue en $x = 2$ .
Réponse: 2
À gauche : $2 + k$ . À droite et valeur : $2^2 = 4$ . Donc $2 + k = 4$ et $k = 2$ .
9.
Trouve $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ soit continue partout.
Réponse: 4
1. Limite à droite en $x = 3$ (avec $x^2 + 1$ ) ? 10
2. Le morceau de gauche donne $3k - 2$ . De $3k - 2 = 10$ , que vaut $3k$ ? 12
3. Que vaut $k$ ? 4
10.
Soit $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $h(2) = 3$ . $h$ est-elle continue en $x = 2$ ?
Réponse: $\lim_{x \to 2} h(x) = -1 \neq h(2) = 3$
1. Que vaut $h(2)$ ? 3
2. Après factorisation et simplification, $h(x) = x - 3$ . Que vaut $\lim_{x \to 2} h(x)$ ? -1
3. $h$ est-elle continue en $x = 2$ ? non
11.
Où $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ est-elle continue ?
1. a)Tous les réels sauf $x = -3$
2. b)Tous les réels sauf $x = 3$ et $x = -3$
3. c)Tous les réels
4. d)Tous les réels sauf $x = 3$
Réponse: Tous les réels sauf $x = 3$ et $x = -3$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ vaut $0$ en $x = 3$ et en $x = -3$ , donc $f$ n'est définie en aucun des deux. En $x = -3$ la courbe a un trou, en $x = 3$ une asymptote verticale, mais dans les deux cas $f$ n'y est pas continue.
12.
En combien de valeurs de $x$ la fonction $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ n'est-elle pas continue ?
Réponse: 3
$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ s'annule en $x = 0$ , $x = 2$ et $x = -2$ . Le numérateur n'en simplifie aucun, donc $f$ est discontinue en exactement $3$ valeurs.
13.
Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour savoir si $f(x) = x^3 - 2x - 5$ a une racine dans $[2, 3]$ .
Réponse: $f(2) = -1 < 0 < 16 = f(3)$
1. Que vaut $f(2)$ ? -1
2. Que vaut $f(3)$ ? 16
3. Le TVI garantit-il une racine dans $[2, 3]$ ? oui
14.
Trouve $a$ pour que $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ soit continue partout.
Réponse: 1
À gauche : $2a + 3$ . À droite et valeur : $4 + a$ . Alors $2a + 3 = 4 + a$ , donc $a = 1$ . Vérification : les deux côtés donnent $5$ .
15.
Trouve $a$ et $b$ pour que $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ soit continue partout.
Réponse: a = 2, b = 0
1. En $x = 1$ , le morceau de gauche donne $1 + 1$ . Donc $a + b = ?$ 2
2. En $x = 3$ , le morceau de droite donne $3^2 - 3$ . Donc $3a + b = ?$ 6
3. Soustrais la première équation de la seconde. Que vaut $a$ ? 2
4. Que vaut $b$ ? 0
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ , mais $f(x) = 0$ n'a pas de solution. Pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique-t-il pas sur $[-1, 1]$ ?
1. a) $f(-1)$ et $f(1)$ ont le même signe
2. b)Le théorème ne vaut que pour les polynômes
3. c) $f$ n'est pas continue sur $[-1, 1]$ : elle n'est pas définie en $x = 0$
4. d) $0$ n'est pas entre $-1$ et $1$
Réponse: $f$ n'est pas continue sur $[-1, 1]$ : elle n'est pas définie en $x = 0$
Le TVI exige que $f$ soit continue sur tout l'intervalle fermé. $\frac{1}{x}$ n'est pas définie en $x = 0$ , qui est dans $[-1, 1]$ , donc le théorème ne dit rien ici.
17.
Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ pour $x \neq 4$ et $f(4) = k$ . Trouve $k$ pour que $f$ soit continue en $x = 4$ .
Réponse: 1/4
1. Remplace $x$ par $4$ dans le numérateur $\sqrt{x} - 2$ . Qu'obtiens-tu ? 0
2. $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - c$ . Que vaut $c$ ? 4
3. Donc $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ . Que vaut $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? Écris-la sous forme de fraction. 1/4
4. Que doit valoir $k$ ? 1/4
18.
Combien de racines de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ dans $[0, 2]$ le théorème des valeurs intermédiaires garantit-il, en utilisant les points $x = 0$ , $1$ , $2$ ?
Réponse: 2
1. Que vaut $f(0)$ ? 1
2. Que vaut $f(1)$ ? -1
3. Que vaut $f(2)$ ? 3
4. Combien de changements de signe, donc combien de racines garanties ? 2