Guide de l'enseignant: Continuité

Découvre les trois conditions de la continuité, où les fonctions usuelles sont continues, comment trouver une constante qui rend continue une fonction définie par morceaux, et le théorème des valeurs intermédiaires.

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Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer et appliquer les trois conditions de la continuité en un point
Déterminer les intervalles sur lesquels les fonctions polynômes, rationnelles, exponentielles et logarithmes sont continues
Trouver la valeur d'une constante qui rend continue une fonction définie par morceaux
Expliquer la différence entre l'existence d'une limite et la continuité d'une fonction
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'une équation a une solution dans un intervalle

Prérequis

• Introduction aux limites et notation des limites
• Limites à gauche et à droite (limites latérales)
• Limites par substitution directe
• Factoriser des polynômes et résoudre des équations du premier degré

Amorces de discussion

1. Peux-tu citer une grandeur de la vie quotidienne qui varie de façon continue, et une autre qui varie par sauts ?
2. Si la limite d'une fonction en un point existe, que faut-il savoir de plus pour dire qu'elle est continue ?
3. Pourquoi l'administration fiscale ou un parking voudrait-il que ses formules de prix soient continues ?
4. Enfant, tu mesurais 1,20 m et aujourd'hui tu mesures 1,70 m. As-tu un jour mesuré exactement 1,50 m ? Pourquoi ?

Idées reçues courantes

Une fonction est continue si elle est définie au point

Remédiation: Montre une fonction en escalier avec un point plein au niveau du saut. Elle y est définie, et pourtant il faut lever le crayon. Fais vérifier les trois conditions.

Les fonctions rationnelles ne sont jamais continues parce qu'elles ont des asymptotes

Remédiation: Insiste sur les mots sur son ensemble de définition. $\frac{1}{x}$ est continue en tout point où elle existe ; elle n'est discontinue qu'en $x = 0$ , qui n'appartient pas à l'ensemble de définition.

Le TVI s'applique à toute fonction dont les valeurs aux bornes sont de signes contraires

Remédiation: Utilise $\frac{1}{x}$ sur $[-1, 1]$ ou une fonction en escalier comme contre-exemple, puis souligne l'hypothèse continue sur $[a, b]$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par le test du crayon sur des courbes avant d'utiliser la notation des limites
• Donner une liste de contrôle avec les trois conditions et une case à cocher pour chacune
• Utiliser des fonctions par morceaux dont les morceaux sont affines pour garder des calculs simples

Pour les élèves au niveau:

• Trouver k pour des fonctions par morceaux avec un morceau du second degré
• Donner les intervalles de continuité de fonctions rationnelles et logarithmes
• Utiliser le TVI pour encadrer une racine entre deux entiers consécutifs

Pour les élèves avancés:

• Trouver deux constantes inconnues dans une fonction à trois morceaux
• Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver une racine à deux décimales près
• Étudier des fonctions comme $\sin(\frac{1}{x})$ qui ne sont continues en $0$ pour aucun choix de $f(0)$

Alignement aux standards

AP Calculus LIM-2.A (AP.CALC.LIM-2.A)
Justifier des conclusions sur la continuité en un point à l'aide de la définition
AP Calculus LIM-2.B (AP.CALC.LIM-2.B)
Déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est continue
AP Calculus FUN-1.A (AP.CALC.FUN-1.A)
Expliquer le comportement d'une fonction sur un intervalle à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Représenter des fonctions définies par morceaux, y compris les fonctions en escalier

Ressources de la leçon

visualGraphique avec curseur k
Les élèves déplacent le curseur k jusqu'à ce que les deux limites latérales en x = 2 égalent la valeur de la fonction et que les morceaux se rejoignent
activityTest du crayon
Les élèves tracent des courbes, marquent chaque point où ils ont dû lever le crayon et nomment la condition non vérifiée
worksheetConstantes dans les fonctions par morceaux
Huit fonctions définies par morceaux avec une ou deux constantes inconnues à choisir pour obtenir la continuité

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une fonction

f

est **continue en

x = a

** si sa courbe n'a pas de coupure à cet endroit : tu peux passer par le point sans lever ton crayon. Avec les limites, trois conditions doivent toutes être vraies :

1. $f(a)$ est définie (la courbe a un point en $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe (la limite à gauche et la limite à droite sont égales)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (la limite est égale à la valeur de la fonction)

f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Si une seule condition n'est pas vérifiée,

f

présente une discontinuité en

x = a

. Les différents types de coupures (trous, sauts, asymptotes verticales) sont étudiés dans la leçon Types de discontinuités.

Continuité sur un intervalle :

f

est continue sur un intervalle ouvert

(a, b)

si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Sur un intervalle fermé

[a, b]

, il faut en plus

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

aux bornes.

Fonctions continues sur tout leur ensemble de définition :

les polynômes (partout)
les fonctions rationnelles (partout sauf là où le dénominateur vaut $0$ )
les fonctions exponentielles $b^x$ et $e^x$ (partout)
les logarithmes $\log_b x$ et $\ln x$ (pour $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (pour $x \geq 0$ )

Les sommes, différences, produits, quotients (là où le dénominateur n'est pas nul) et composées de fonctions continues sont aussi continues. C'est exactement pour cela que la substitution directe fonctionne : pour une fonction continue,

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Exemples résolus

La fonction $f(x) = x^2 - 3x + 1$ est-elle continue en $x = 2$ ? Vérifie les trois conditions.

Condition 1 : $f(2)$ est-elle définie ?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Condition 2 : la limite existe-t-elle ?

$f$ est un polynôme, on trouve donc la limite par substitution directe : $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → La limite existe et vaut $-1$

Condition 3 : comparer la limite et la valeur

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Les trois conditions sont vérifiées

Réponse: Oui, $f$ est continue en $x = 2$ (en tant que polynôme, elle est même continue partout).

Erreurs courantes

Vérifier seulement que $f(a)$ existe et en conclure que $f$ est continue

Pourquoi c'est faux: Une fonction peut avoir une valeur en $a$ et pourtant y faire un saut. Par exemple $f(x) = 1$ pour $x < 0$ et $f(x) = 2$ pour $x \geq 0$ donne $f(0) = 2$ , mais la limite à gauche vaut $1$ .

Correct: Vérifie toujours les trois conditions : $f(a)$ est définie, la limite existe, et la limite est égale à $f(a)$ .

Croire que si la limite existe, la fonction est forcément continue

Pourquoi c'est faux: La limite ne tient pas compte de ce qui se passe exactement en $x = a$ . Dans l'exemple 2, la limite vaut $6$ , mais le point est en $g(3) = 5$ .

Correct: Après avoir trouvé la limite, compare-la avec la vraie valeur $f(a)$ . Elles doivent être égales.

Chercher $k$ en remplaçant le point de raccord dans un seul morceau

Pourquoi c'est faux: La continuité au point de raccord consiste à faire se rejoindre les deux morceaux : un seul morceau ne donne aucune équation pour $k$ .

Correct: Calcule les deux morceaux au point de raccord (limite à gauche et limite à droite) et égalise-les : dans l'exemple 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction qui n'est pas continue sur l'intervalle

Pourquoi c'est faux: $f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ , mais ne s'annule jamais. Le TVI ne s'applique pas car $f$ n'est pas définie en $x = 0$ .

Correct: Avant d'utiliser le TVI, vérifie que $f$ est continue sur tout l'intervalle fermé $[a, b]$ .

Pourquoi c'est important

La continuité est la propriété qui fait fonctionner presque toute l'analyse :

Substitution directe : elle n'est permise que parce que les polynômes, les exponentielles et les logarithmes sont continus. La limite est simplement la valeur de la fonction.
Recherche de racines : le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une fonction continue qui change de signe s'annule. Les calculatrices et les ordinateurs s'en servent pour localiser les solutions d'équations.
Modélisation : la température, l'altitude, la distance ou le volume d'eau dans une cuve varient de façon continue avec le temps. Les prix, les tranches d'impôt et les tarifs de parking souvent pas, et il faut alors choisir des constantes pour éviter un saut brutal.
Ingénierie : deux tronçons de route, de rail ou de tuyau doivent se rejoindre à la même hauteur. C'est exactement la condition pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue au point de raccord.

Savoir où une fonction est continue te dit où tu peux te fier à sa courbe, où tu peux substituer, et où il se passe quelque chose de particulier (un trou, un saut, une asymptote).

Applications dans le monde réel

Des tarifs de parking équitables

Un parking applique un tarif pour les courtes durées et un autre pour les longues. Si les formules ne coïncident pas au moment du changement, le prix fait un saut, et un conducteur qui reste une minute de plus paie beaucoup plus ou beaucoup moins.

Exemple:

Un tarif de $C(t) = 5t$ € jusqu'à 2 heures puis $C(t) = 3t + 4$ € ensuite donne $C(2) = 10$ € avec les deux formules : le tarif ne fait pas de saut.

1Essaie par toi-même

Le parking coûte $C(t) = 4t$ € pour $0 \leq t \leq 3$ heures et $C(t) = 2t + k$ € pour $t > 3$ .

Quelle valeur de $k$ rend le tarif continu en $t = 3$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ pour trouver $k$ :

L'altitude en randonnée et le TVI

Ton altitude en randonnée varie de façon continue avec le temps : tu ne peux pas te téléporter d'une hauteur à une autre. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors que tu es passé par toutes les altitudes entre le départ et l'arrivée.

Exemple:

Si tu pars de 800 m et atteins un sommet à 2000 m, à un certain moment tu étais exactement à 1500 m, même si tu n'as pas regardé ta montre à cet instant.

2Essaie par toi-même

Une randonneuse est à 800 m à 8 h et au sommet, à 2000 m, à 13 h. L'altitude est une fonction continue du temps.

Par combien des altitudes 500 m, 1200 m, 1900 m et 2100 m la randonneuse passe-t-elle à coup sûr entre 8 h et 13 h, d'après le TVI ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte les valeurs entre 800 et 2000 :

Raccorder deux tronçons de route

Les concepteurs de routes et de voies ferrées décrivent un tracé avec des formules différentes selon les tronçons. À chaque raccord, les hauteurs doivent coïncider : c'est la condition pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.

Exemple:

Une rampe de hauteur $y = 0{,}5x$ pour $x \leq 2$ , suivie de $y = -0{,}25x + 1{,}5$ pour $x > 2$ (en mètres), se raccorde à $y = 1$ m : il n'y a pas de marche.

3Essaie par toi-même

Le profil d'une route (en mètres) est $y = 0{,}5x$ pour $0 \leq x \leq 4$ et $y = -0{,}25x + b$ pour $x > 4$ .

Quelle valeur de $b$ rend la route continue en $x = 4$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ pour trouver $b$ :

Points clés

1 $f$ est continue en $x = a$ quand $f(a)$ est définie, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Si l'une des trois conditions n'est pas vérifiée, $f$ présente une discontinuité en $a$ (les types sont traités dans la leçon Types de discontinuités)
3Les polynômes, les exponentielles, $\sin$ et $\cos$ sont continus partout ; les fonctions rationnelles, les logarithmes et les racines sont continus sur leur ensemble de définition
4Sur un intervalle fermé $[a, b]$ , la continuité aux bornes utilise les limites à gauche et à droite
5Pour rendre continue une fonction par morceaux, égalise la limite à gauche, la limite à droite et la valeur à chaque raccord, puis résous pour trouver la constante
6Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $N$ est entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors $f(c) = N$ pour un certain $c$ dans $(a, b)$

Questions fréquentes

La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est-elle continue ?

Elle est continue sur son ensemble de définition, c'est-à-dire en tout

x \neq 0

. En

x = 0

, elle n'est pas définie, donc pas continue. Quand on dit qu'une fonction est continue sans préciser de point, on veut généralement dire continue sur tout son ensemble de définition.

Pourquoi la substitution directe donne-t-elle la limite pour les polynômes ?

Parce que les polynômes sont continus partout, et être continue signifie exactement

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. La limite est donc la valeur de la fonction. Si la substitution donne

\frac{0}{0}

, la fonction n'est pas continue en ce point, et il faut d'abord simplifier.

Le TVI me dit-il où se trouve la racine ?

Non. Il garantit seulement qu'il existe au moins un

c

dans

(a, b)

. Pour l'encadrer, tu peux couper l'intervalle en deux encore et encore et garder la moitié où le signe change (méthode de dichotomie).

Une fonction peut-elle être continue partout et avoir un point anguleux ?

Oui.

f(x) = |x|

a un point anguleux en

x = 0

, mais tu peux la tracer sans lever le crayon, et

\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)

. Les points anguleux comptent pour la dérivée, pas pour la continuité.

Glossaire

Continue en un point: $f$ est continue en $a$ si $f(a)$ est définie, si $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et si les deux sont égales
Continue sur un intervalle: Continue en chaque point de l'intervalle, avec les limites à gauche et à droite aux bornes d'un intervalle fermé
Discontinuité: Un point où au moins une des trois conditions de la continuité n'est pas vérifiée
Fonction définie par morceaux: Une fonction définie par des formules différentes sur différents intervalles ; elle ne peut être discontinue qu'aux raccords ou là où un morceau lui-même l'est
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): Une fonction continue sur $[a, b]$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$

Carte des formules

Continuité en un point

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Contient les trois conditions : $f(a)$ définie, la limite existe, et elles sont égales

Condition au point de raccord

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Calculer les deux morceaux au point de raccord, les égaliser et résoudre pour trouver la constante inconnue

Théorème des valeurs intermédiaires

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ pour un } c \in (a, b)

Seulement pour $f$ continue sur $[a, b]$ ; avec $N = 0$, il prouve l'existence d'une racine

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Des tarifs de parking équitables

L'altitude en randonnée et le TVI

Raccorder deux tronçons de route

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Continuité en un point

Condition au point de raccord

Théorème des valeurs intermédiaires

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Notation des limites

Lire une limite sur un graphique

Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs