Lire une limite sur un graphique

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
La courbe de $f$ est une droite qui passe par un cercle vide en $(3, 4)$ . Il y a aussi un point plein en $(3, 1)$ . Que vaut $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. a)1
2. b)3
3. c)4
4. d)n'existe pas
Réponse: 4
Les deux côtés de la droite vont vers le cercle vide à la hauteur $4$ , donc $\lim_{x \to 3} f(x) = 4$ . Le point plein en $(3, 1)$ donne seulement $f(3) = 1$ .
2.
La courbe de $g$ est la parabole $y = x^2$ avec un cercle vide en $(2, 4)$ et un point plein en $(2, 0)$ . Que vaut $\lim_{x \to 2} g(x)$ ?
Réponse: 4
Près de $x = 2$ , la parabole tend des deux côtés vers $2^2 = 4$ , la hauteur du cercle vide. Donc $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$ .
3.
La courbe de $f$ est la droite $y = x + 2$ avec un cercle vide en $(1, 3)$ et un point plein en $(1, 6)$ . Détermine $\lim_{x \to 1} f(x)$ et compare-la avec $f(1)$ .
Réponse: 3
1. Vers quelle hauteur tend la droite à gauche de $x = 1$ ? 3
2. Vers quelle hauteur tend la droite à droite de $x = 1$ ? 3
3. Que vaut $f(1)$ (le point plein) ? 6
4. Que vaut donc $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 3
4.
La courbe de $f$ est une droite qui passe par un cercle vide en $(3, 4)$ , avec en plus un point plein en $(3, 1)$ . Que vaut $f(3)$ ?
1. a)4
2. b)1
3. c)3
4. d)n'existe pas
Réponse: 1
Le cercle vide en $(3, 4)$ ne fait pas partie de la courbe. Le point plein en $(3, 1)$ en fait partie, donc $f(3) = 1$ , même si la limite en $3$ vaut $4$ .
5.
La courbe de $g$ est la parabole $y = x^2$ avec un cercle vide en $(2, 4)$ et un point plein en $(2, 0)$ . Que vaut $g(2)$ ?
Réponse: 0
Le point plein $(2, 0)$ est le point de la courbe en $x = 2$ , donc $g(2) = 0$ . Le cercle vide montre seulement vers où va la parabole.
6.
La courbe de $f$ est la droite $y = 4 - x$ , tracée sans trou ni point supplémentaire. Détermine $\lim_{x \to 1} f(x)$ et vérifie si elle est égale à $f(1)$ .
Réponse: 3
1. Vers quelle hauteur tend la droite à gauche de $x = 1$ ? 3
2. Vers quelle hauteur tend-elle à droite de $x = 1$ ? 3
3. Que vaut $f(1)$ ? 3
4. La limite est-elle égale à $f(1)$ ? oui
7.
Pour $x < 2$ , la courbe de $f$ suit $y = x$ et se termine par un cercle vide en $(2, 2)$ . Pour $x \ge 2$ , elle suit $y = 5 - x$ en partant d'un point plein en $(2, 3)$ . Que vaut $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)5
3. c)3
4. d)n'existe pas
Réponse: n'existe pas
Depuis la gauche, la courbe tend vers $2$ , depuis la droite vers $5 - 2 = 3$ . Les côtés ne sont pas d'accord, donc la limite n'existe pas, même si $f(2) = 3$ .
8.
La courbe de $h$ est la droite qui passe par $(0, -1)$ et $(4, 7)$ , avec un cercle vide en $x = 2$ et aucun point plein à cet endroit. Que vaut $\lim_{x \to 2} h(x)$ ?
Réponse: 3
La pente vaut $\frac{8}{4} = 2$ et la droite coupe l'axe des $y$ en $-1$ , donc $y = 2x - 1$ . Les deux côtés tendent vers $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , donc $\lim_{x \to 2} h(x) = 3$ bien que $h(2)$ ne soit pas défini.
9.
Pour $x < 2$ , la courbe de $f$ est la droite $y = x$ , qui se termine par un cercle vide en $(2, 2)$ . Pour $x \ge 2$ , c'est la droite $y = x + 3$ , qui part d'un point plein en $(2, 5)$ . La limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe-t-elle, et que vaut $f(2)$ ?
Réponse: 5
1. Vers quelle hauteur tend la courbe à gauche de $x = 2$ ? 2
2. Vers quelle hauteur tend la courbe à droite de $x = 2$ ? 5
3. Les deux côtés sont-ils d'accord, de sorte que $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe ? non
4. Que vaut $f(2)$ ? 5
10.
Quelle affirmation sur $\lim_{x \to a} f(x)$ est toujours vraie ?
1. a)Si $f(a)$ n'est pas défini, la limite en $a$ n'existe pas
2. b)S'il y a un point plein en $x = a$ , la limite est égale à sa hauteur
3. c)La limite en $a$ dépend seulement des valeurs de $f$ près de $a$ , pas en $a$
4. d)La limite en $a$ est toujours égale à $f(a)$
Réponse: La limite en $a$ dépend seulement des valeurs de $f$ près de $a$ , pas en $a$
La limite ne regarde que les valeurs de $f$ près de $a$ . Un trou ( $f(a)$ non défini) n'empêche pas la limite, un point déplacé rend la limite différente de $f(a)$ , et lors d'un saut il y a un point plein mais pas de limite.
11.
Près de $x = -2$ , la courbe de $f$ tend des deux côtés vers un cercle vide en $(-2, 3)$ , et il y a un point plein en $(-2, -1)$ . Calcule $\lim_{x \to -2} f(x) + f(-2)$ .
Réponse: 2
$\lim_{x \to -2} f(x) = 3$ (la hauteur vers laquelle tend la courbe) et $f(-2) = -1$ (le point plein), donc la somme vaut $3 + (-1) = 2$ .
12.
La courbe de $g$ : pour $x \le -1$ , c'est $y = x + 3$ , qui se termine par un point plein en $(-1, 2)$ ; pour $-1 < x < 2$ , c'est $y = (x - 1)^2$ , qui part d'un cercle vide en $(-1, 4)$ ; pour $x > 2$ , c'est $y = 3 - x$ . En $x = 2$ , il y a un cercle vide en $(2, 1)$ et aucun point plein. Lis les limites sur le graphique.
Réponse: 1
1. Que vaut $\lim_{x \to 0} g(x)$ ? 1
2. Que vaut $\lim_{x \to 2} g(x)$ ? 1
3. $g(2)$ est-il défini ? non
4. Vers quelle hauteur tend la courbe à droite de $x = -1$ ? 4
13.
La courbe de $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ ressemble à la droite $y = x - 1$ avec un trou. Utilise le graphique pour déterminer $\lim_{x \to -1} f(x)$ .
Réponse: -2
1. En quel $x$ se trouve le trou (là où $f$ n'est pas défini) ? -1
2. Quelle est la hauteur de la droite $y = x - 1$ en ce $x$ ? -2
3. Y a-t-il un point plein en $x = -1$ ? non
4. Que vaut donc $\lim_{x \to -1} f(x)$ ? -2
14.
La courbe de $f$ a trois endroits particuliers. En $x = 1$ , la partie gauche s'arrête à la hauteur $2$ et la partie droite commence à la hauteur $-1$ . En $x = 3$ , la courbe tend des deux côtés vers un cercle vide en $(3, 4)$ , sans point plein. En $x = 5$ , la courbe tend des deux côtés vers $(5, 0)$ , mais le point plein est en $(5, 3)$ . Pour quelle valeur de $a$ la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe-t-elle pas ?
1. a) $a = 0$
2. b) $a = 5$
3. c) $a = 3$
4. d) $a = 1$
Réponse: $a = 1$
En $x = 1$ , les côtés tendent vers $2$ et $-1$ : c'est un saut, donc pas de limite. En $x = 3$ , la limite vaut $4$ (un trou) et en $x = 5$ , elle vaut $0$ (le point à la hauteur $3$ ne compte pas). En $x = 0$ , il ne se passe rien de particulier.
15.
La courbe de $f$ suit $y = 3x + k$ pour $x < 2$ et $y = x^2$ pour $x > 2$ , avec des cercles vides aux deux extrémités en $x = 2$ . Pour quelle valeur de $k$ la limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe-t-elle ?
Réponse: -2
Le côté gauche tend vers $3 \cdot 2 + k = 6 + k$ et le côté droit vers $2^2 = 4$ . La limite existe quand $6 + k = 4$ , donc $k = -2$ .
16.
La courbe de $q$ : pour $x < 2$ , c'est $y = x^2$ , qui se termine par un cercle vide en $(2, 4)$ ; il y a un point plein en $(2, 1)$ ; pour $2 < x < 5$ , c'est $y = 6 - x$ , entre des cercles vides en $(2, 4)$ et $(5, 1)$ ; pour $x \ge 5$ , c'est $y = x - 2$ , qui part d'un point plein en $(5, 3)$ . Détermine $\lim_{x \to 2} q(x)$ et $q(2)$ , et décide si $\lim_{x \to 5} q(x)$ existe.
Réponse: 4
1. Que vaut $\lim_{x \to 2} q(x)$ ? 4
2. Que vaut $q(2)$ ? 1
3. Vers quelle hauteur tend la courbe à gauche de $x = 5$ ? 1
4. Vers quelle hauteur tend la courbe à droite de $x = 5$ ? 3
5. La limite $\lim_{x \to 5} q(x)$ existe-t-elle ? non
17.
Pour $x < 3$ , la courbe de $f$ est $y = ax$ , pour $x > 3$ c'est $y = 12 - x$ , et il y a un point plein en $(3, 0)$ . Trouve la valeur de $a$ pour laquelle $\lim_{x \to 3} f(x)$ existe.
Réponse: 3
1. Vers quelle hauteur tend la courbe à droite de $x = 3$ ? 9
2. Le côté gauche tend vers $3a$ . Quelle valeur de $a$ rend $3a$ égal à cette hauteur ? 3
3. Avec ce $a$ , que vaut $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 9
4. Que vaut $f(3)$ ? 0
18.
La courbe de $f$ : pour $x \le 0$ , c'est $y = -x$ , qui se termine par un point plein en $(0, 0)$ ; pour $0 < x < 4$ , c'est $y = x + 2$ , entre des cercles vides en $(0, 2)$ et $(4, 6)$ ; il y a un point plein en $(4, 1)$ ; pour $x > 4$ , c'est $y = 10 - x$ , qui part d'un cercle vide en $(4, 6)$ . Calcule $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ .
Réponse: 10
1. Que vaut $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? 6
2. Que vaut $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? 4
3. Que vaut $f(0)$ ? 0
4. La limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe-t-elle ? (Elle ne fait pas partie de la somme.) non
5. Que vaut la somme $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ ? 10