Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Tu veux estimer $\lim_{x \to 3} f(x)$ avec un tableau de valeurs. Quelles valeurs de $x$ sont le meilleur choix ?
1. a) $3 ; 3{,}1 ; 3{,}2 ; 3{,}3$
2. b) $1 ; 2 ; 4 ; 5$
3. c)seulement $2{,}9 ; 2{,}99 ; 2{,}999$
4. d) $2{,}9 ; 2{,}99 ; 2{,}999 ; 3{,}001 ; 3{,}01 ; 3{,}1$
Réponse: $2{,}9 ; 2{,}99 ; 2{,}999 ; 3{,}001 ; 3{,}01 ; 3{,}1$
Un bon tableau s'approche de $3$ des deux côtés et se rapproche à chaque fois : $2{,}9 ; 2{,}99 ; 2{,}999$ à gauche et $3{,}001 ; 3{,}01 ; 3{,}1$ à droite. Des valeurs comme $1 ; 2 ; 4 ; 5$ sont trop éloignées, un seul côté peut manquer un saut, et il ne faut pas utiliser $x = 3$ .
2.
Un tableau de valeurs donne $f(4{,}9) = 9{,}9$ ; $f(4{,}99) = 9{,}99$ ; $f(4{,}999) = 9{,}999$ ; $f(5{,}001) = 10{,}001$ ; $f(5{,}01) = 10{,}01$ ; $f(5{,}1) = 10{,}1$ . Estime $\lim_{x \to 5} f(x)$ .
Réponse: 10
À gauche, les valeurs $9{,}9$ ; $9{,}99$ ; $9{,}999$ montent vers $10$ ; à droite, $10{,}1$ ; $10{,}01$ ; $10{,}001$ descendent vers $10$ . Les deux côtés sont d'accord, donc $\lim_{x \to 5} f(x) = 10$ .
3.
À gauche de $2$ : $f(1{,}9) = 6{,}8$ ; $f(1{,}99) = 6{,}98$ ; $f(1{,}999) = 6{,}998$ . À droite de $2$ : $f(2{,}1) = 7{,}2$ ; $f(2{,}01) = 7{,}02$ ; $f(2{,}001) = 7{,}002$ . Que vaut $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)n'existe pas
2. b) $7$
3. c) $7{,}002$
4. d) $6{,}998$
Réponse: $7$
Les valeurs de gauche $6{,}8$ ; $6{,}98$ ; $6{,}998$ et celles de droite $7{,}2$ ; $7{,}02$ ; $7{,}002$ se rapprochent toutes de $7$ . Les valeurs $6{,}998$ et $7{,}002$ ne sont que des estimations ; la limite vaut $7$ .
4.
Pour $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ , calcule la valeur du tableau $f(2{,}99)$ .
Réponse: 5.99
$f(2{,}99) = \frac{8{,}9401 - 9}{2{,}99 - 3} = \frac{-0{,}0599}{-0{,}01} = 5{,}99$ . Les valeurs du tableau tendent vers $6$ quand $x \to 3$ .
5.
Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Réponse: 2
1. Calcule $f(0{,}9)$ . 1.9
2. Calcule $f(0{,}99)$ . 1.99
3. Calcule $f(1{,}01)$ . 2.01
4. Vers quel nombre tendent les deux côtés ? 2
6.
Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Réponse: 8
1. Calcule $f(3{,}9)$ . 7.9
2. Calcule $f(3{,}99)$ . 7.99
3. Calcule $f(4{,}01)$ . 8.01
4. Vers quel nombre tendent les deux côtés ? 8
7.
Un tableau de valeurs de $g(x)$ près de $x = 1$ donne $g(0{,}9) = -2$ ; $g(0{,}99) = -2$ ; $g(0{,}999) = -2$ ; $g(1{,}001) = 5$ ; $g(1{,}01) = 5$ ; $g(1{,}1) = 5$ . Que peux-tu conclure sur $\lim_{x \to 1} g(x)$ ?
1. a)La limite vaut $1{,}5$
2. b)La limite n'existe pas
3. c)La limite vaut $5$
4. d)La limite vaut $-2$
Réponse: La limite n'existe pas
À gauche, $g(x)$ reste à $-2$ , à droite il reste à $5$ . Les limites à gauche et à droite diffèrent ( $-2 \neq 5$ ), donc la limite n'existe pas. Faire la moyenne ( $1{,}5$ ) n'a pas de sens.
8.
Un tableau de valeurs de $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ donne $x = -0{,}01$ : $0{,}99502$ ; $x = -0{,}001$ : $0{,}99950$ ; $x = 0{,}001$ : $1{,}00050$ ; $x = 0{,}01$ : $1{,}00502$ . Estime $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Réponse: 1
À gauche, $0{,}99502$ ; $0{,}99950$ montent vers $1$ . À droite, $1{,}00502$ ; $1{,}00050$ descendent vers $1$ . Donc $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Cette fonction ne se factorise pas : c'est justement là qu'un tableau est utile.
9.
Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , avec $x$ en radians.
Réponse: 1
1. Calcule $f(0{,}1)$ , arrondi à quatre décimales. 0.9983
2. Calcule $f(0{,}01)$ , arrondi à quatre décimales. 1.0000
3. Calcule $f(-0{,}1)$ , arrondi à quatre décimales. 0.9983
4. Vers quel nombre tendent les deux côtés ? 1
10.
Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Réponse: 12
1. Calcule $f(1{,}9)$ . 11.41
2. Calcule $f(1{,}99)$ . 11.9401
3. Calcule $f(2{,}01)$ . 12.0601
4. Vers quel nombre tendent les deux côtés ? 12
11.
Pour $f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ , un tableau donne $f(-0{,}01) \approx 0{,}16671$ ; $f(-0{,}001) \approx 0{,}16667$ ; $f(0{,}001) \approx 0{,}16666$ ; $f(0{,}01) \approx 0{,}16662$ . Estime $\lim_{x \to 0} f(x)$ sous forme décimale, arrondie à trois décimales.
Réponse: 0.167
Les deux côtés se rapprochent d'environ $0{,}1667$ , soit $0{,}167$ une fois arrondi. Le calcul algébrique le confirme : la limite exacte vaut $\frac{1}{6} \approx 0{,}16667$ .
12.
Un tableau de valeurs de $h(x)$ près de $x = 1$ donne $h(0{,}9) = 100$ ; $h(0{,}99) = 10\,000$ ; $h(0{,}999) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}001) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}01) = 10\,000$ ; $h(1{,}1) = 100$ . Quelle affirmation décrit le mieux $\lim_{x \to 1} h(x)$ ?
1. a)La limite vaut $100$
2. b)La limite vaut $0$
3. c)La limite vaut $1\,000\,000$
4. d) $h(x)$ devient aussi grand qu'on veut, il n'y a donc pas de limite finie
Réponse: $h(x)$ devient aussi grand qu'on veut, il n'y a donc pas de limite finie
Chaque pas vers $1$ rend $h(x)$ $100$ fois plus grand, des deux côtés. Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut, il n'y a donc pas de limite finie ; on écrit $\lim_{x \to 1} h(x) = \infty$ . La valeur $1\,000\,000$ n'est que la dernière du tableau, pas une limite.
13.
Soit $f(x) = x + 1$ pour $x < 2$ et $f(x) = x^2$ pour $x \geq 2$ . Utilise un tableau de valeurs pour décider si $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe.
Réponse: La limite n'existe pas : à gauche les valeurs tendent vers $3$ , à droite vers $4$
1. Calcule $f(1{,}99)$ . 2.99
2. Calcule $f(2{,}01)$ . 4.0401
3. Vers quel nombre tend le côté gauche ? 3
4. Vers quel nombre tend le côté droit ? 4
5. La limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe-t-elle ? non
14.
Un tableau de valeurs de $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ donne $x = -0{,}01$ : $2{,}73200$ ; $x = -0{,}001$ : $2{,}71964$ ; $x = 0{,}001$ : $2{,}71692$ ; $x = 0{,}01$ : $2{,}70481$ . Estime $\lim_{x \to 0} f(x)$ , arrondie à deux décimales.
Réponse: 2.72
Les valeurs les plus proches $2{,}71964$ et $2{,}71692$ encadrent la limite, et les deux s'arrondissent à $2{,}72$ . La limite exacte est le nombre $e \approx 2{,}71828$ .
15.
Un tableau de valeurs de $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ avec $x = \pm 0{,}1 ; \pm 0{,}01 ; \pm 0{,}001$ donne $0$ à chaque fois. Mais $f\left(\frac{2}{101}\right) = 1$ et $f\left(\frac{2}{103}\right) = -1$ , et ces deux valeurs de $x$ sont à moins de $0{,}02$ de $0$ . Que vaut $\lim_{x \to 0} f(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d)La limite n'existe pas
Réponse: La limite n'existe pas
Les valeurs choisies $x = \pm 0{,}1 ; \pm 0{,}01 ; \pm 0{,}001$ font de $\frac{\pi}{x}$ un multiple de $\pi$ , elles tombent donc toutes sur des zéros. Aussi près de $0$ qu'on veut, il existe aussi des $x$ donnant $1$ et $-1$ : $f(x)$ oscille sans cesse et la limite n'existe pas. Le tableau seul était trompeur ici.
16.
Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Réponse: 0.25
1. Calcule $f(3{,}9)$ , arrondi à quatre décimales. 0.2516
2. Calcule $f(3{,}99)$ , arrondi à quatre décimales. 0.2502
3. Calcule $f(4{,}01)$ , arrondi à quatre décimales. 0.2498
4. Vers quel nombre décimal tendent les deux côtés ? 0.25
17.
Utilise un tableau de valeurs pour décrire $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}$ .
Réponse: $\infty$
1. Calcule $f(-1{,}1)$ . 100
2. Calcule $f(-1{,}01)$ . 10000
3. Calcule $f(-0{,}99)$ . 10000
4. Combien de fois $f(-1{,}01)$ est-il plus grand que $f(-1{,}1)$ ? 100
18.
Étudie $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ avec des valeurs de tableau bien choisies ( $x$ en radians).
Réponse: La limite n'existe pas : près de $0$ , les valeurs oscillent sans cesse entre $-1$ et $1$
1. Calcule $f(0{,}1)$ . 0
2. Calcule $f(0{,}4)$ . 1
3. Calcule $f\left(\frac{2}{7}\right)$ . -1
4. La limite $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ existe-t-elle ? non