Guide de l'enseignant: Limites à gauche et à droite

Apprends à trouver la limite à gauche et la limite à droite à partir d'un graphique ou d'une fonction définie par morceaux, et à décider quand une limite existe.

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Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Traduire $x \to a^-$ et $x \to a^+$ en valeurs concrètes de $x$ du bon côté de $a$ (comme $2{,}99$ et $3{,}01$ pour $a = 3$ )
Lire la limite à gauche et la limite à droite sur un graphique avec ronds vides et points pleins
Calculer les limites latérales de fonctions définies par morceaux et d'expressions avec valeur absolue
Décider si une limite existe en comparant les limites latérales
Trouver une constante qui rend égales les limites latérales d'une fonction définie par morceaux

Prérequis

• Introduction aux limites et Notation des limites (le sens de $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Lire une limite sur un graphique et Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs
• Limites par substitution directe
• Fonctions définies par morceaux et valeur absolue

Amorces de discussion

1. Pourquoi une fonction peut-elle avoir une valeur en $x = a$ mais pas de limite en $a$ ?
2. Un tarif de parking saute à chaque heure pleine. Que disent la limite à gauche et la limite à droite à une conductrice ?
3. Peux-tu dessiner un graphique où les deux limites latérales en $x = 2$ valent $3$ , mais où $f(2) = 5$ ?
4. Pourquoi le mot "et" est-il nécessaire dans la règle : la limite existe si les deux limites latérales existent et sont égales ?

Idées reçues courantes

La limite est l'ordonnée du point plein

Remédiation: Montre l'exemple 3 : le graphique se rapproche de $4$ des deux côtés alors que $g(2) = 7$ . Fais cacher le point $x = a$ avec un doigt et demande vers quelle hauteur se dirige chaque côté.

$a^-$ désigne un nombre négatif

Remédiation: Écris au tableau $3^- \to 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ et $3^+ \to 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ . Fais remarquer que $3^-$ reste proche de $+3$ .

Si les deux limites latérales existent, la limite existe

Remédiation: Utilise $\frac{|x|}{x}$ : les deux limites latérales existent ( $-1$ et $1$ ), et pourtant il n'y a pas de valeur unique. Insiste sur le fait que les deux nombres doivent aussi être égaux.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des fonctions en escalier dont les morceaux sont horizontaux, pour lire directement chaque limite latérale
• Utiliser des tableaux de valeurs avec $x = 0{,}9$ ; $0{,}99$ ; $0{,}999$ et $1{,}1$ ; $1{,}01$ ; $1{,}001$ à côté du graphique
• Colorier le morceau de gauche et le morceau de droite de couleurs différentes

Pour les élèves au niveau:

• Calculer les limites latérales de fonctions par morceaux données uniquement par des formules
• Simplifier $\frac{|x - a|}{x - a}$ et des expressions semblables de chaque côté
• Expliquer avec des mots pourquoi une limite existe ou n'existe pas

Pour les élèves avancés:

• Trouver des constantes pour qu'une fonction par morceaux ait une limite au point de raccord
• Étudier des fonctions à trois morceaux avec deux points de raccord
• Pour aller plus loin : comparer $\lim_{x \to 0^-}$ et $\lim_{x \to 0^+}$ de $\frac{|x|}{x}$ avec les pentes de $|x|$ de chaque côté

Alignement aux standards

AP Calculus LIM-1.A (AP.CALC.LIM-1.A)
Représenter des limites avec une notation correcte, y compris les limites latérales
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Estimer des limites de fonctions à partir de graphiques et de tableaux, y compris les limites latérales
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Représenter graphiquement des fonctions définies par morceaux, y compris les fonctions en escalier et les fonctions valeur absolue

Ressources de la leçon

visualGraphique avec curseur de saut
Déplace le curseur $b$ pour décaler le morceau de droite ; le panneau des limites montre quand les deux côtés se rejoignent
activityGauche ou droite ?
Les élèves classent des cartes avec des valeurs de $x$ comme $2{,}99$ et $3{,}01$ dans les groupes $x \to 3^-$ et $x \to 3^+$
worksheetExercices sur les limites par morceaux
Trouver les limites à gauche, à droite et en $a$ de fonctions par morceaux et de fonctions avec valeur absolue

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une limite latérale regarde une fonction d'un seul côté d'un point.

La limite à gauche $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ signifie : quand $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs inférieures à $a$ (par exemple $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ pour $a = 2$ ), $f(x)$ se rapproche de $L$ .
La limite à droite $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ signifie : quand $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs supérieures à $a$ (par exemple $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), $f(x)$ se rapproche de $M$ .

Tu connais cette notation grâce à la leçon Notation des limites : le petit signe indique le côté et ne fait pas partie du nombre, donc

3^-

n'est pas

-3

. Dans cette leçon, tu calcules ces limites et tu t'en sers pour décider si

\lim_{x \to a} f(x)

existe. En France, on écrit aussi

\lim_{x \to a,\, x < a} f(x)

pour la limite à gauche.

La règle essentielle relie les limites latérales et la limite (des deux côtés) :

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ et } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Si les deux limites latérales sont différentes, la limite en

a

n'existe pas. La valeur

f(a)

elle-même ne compte jamais pour ces limites : la fonction peut ne pas être définie en

a

, ou y prendre une valeur complètement différente.

Exemples résolus

Le graphique de $f$ montre la droite $y = x + 1$ pour $x < 1$ (rond vide en $(1, 2)$ ) et la droite $y = x + 3$ pour $x \ge 1$ (point plein en $(1, 4)$ ). Trouve $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Suis le graphique par la gauche

Parcours la partie gauche vers $x = 1$ : les hauteurs se rapprochent du rond vide en $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Suis le graphique par la droite

Parcours la partie droite vers $x = 1$ : les hauteurs se rapprochent de $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Compare les deux côtés

$2 \neq 4$ , donc le graphique fait un saut en $x = 1$ → Les limites latérales sont différentes

Conclus sur la limite en $1$

Des limites latérales différentes signifient qu'aucune valeur unique n'est approchée. Le point plein $f(1) = 4$ n'y change rien → $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas

Réponse: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , donc $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas (même si $f(1) = 4$ ).

Erreurs courantes

Prendre le point plein $f(a)$ comme limite

Pourquoi c'est faux: Une limite décrit les hauteurs dont le graphique se rapproche près de $a$ , pas la hauteur en $a$ . Dans l'exemple 1, $f(1) = 4$ , mais par la gauche le graphique se rapproche de $2$ .

Correct: Suis chaque côté du graphique jusqu'à $a$ et ignore le point en $x = a$ . N'utilise $f(a)$ que si la question demande la valeur de la fonction.

Lire $x \to 3^-$ comme " $x$ tend vers $-3$ "

Pourquoi c'est faux: Le petit signe moins est écrit après le nombre, en exposant. Il indique le côté, pas le signe du nombre.

Correct: $x \to 3^-$ veut dire $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (valeurs inférieures à $3$ ). $x \to 3^+$ veut dire $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Utiliser pour les deux côtés le morceau qui contient $x = a$

Pourquoi c'est faux: Pour $f(x) = x + 1$ si $x < 1$ et $f(x) = x + 3$ si $x \ge 1$ , le morceau $x + 3$ ne décrit que le côté droit. Le côté gauche est toujours donné par le morceau pour $x < 1$ .

Correct: Pour $x \to a^-$ , utilise la formule valable juste en dessous de $a$ ; pour $x \to a^+$ , celle valable juste au-dessus de $a$ . Le signe $\le$ ou $\ge$ ne décide que de $f(a)$ .

Dire que la limite existe parce que les deux limites latérales existent

Pourquoi c'est faux: Dans l'exemple 1, les deux limites latérales existent ( $2$ et $4$ ), mais ce sont des nombres différents, donc il n'y a pas de valeur unique $L$ .

Correct: La limite en $a$ n'existe que si les deux limites latérales existent et sont égales.

Pourquoi c'est important

Les limites latérales sont l'outil idéal pour les fonctions qui changent de formule en un point :

Fonctions définies par morceaux : les tranches d'impôt, les forfaits de téléphone et les tarifs postaux changent de formule pour certaines valeurs, et tu dois étudier chaque côté séparément
Sauts : un tarif de parking qui passe de 3 € à 5 € après une heure a une limite à gauche et une limite à droite différentes
Valeurs absolues : des expressions comme $\frac{|x|}{x}$ se comportent différemment pour $x$ négatif et pour $x$ positif
Continuité : dans les leçons Continuité et Types de discontinuités, tu étudieras les limites latérales pour classer chaque rupture d'un graphique
Analyse : la dérivée de fonctions comme $|x|$ s'étudie avec des limites à gauche et à droite

Dès qu'un graphique présente une rupture, la première question est toujours : que se passe-t-il à gauche, et que se passe-t-il à droite ?

Applications dans le monde réel

Tarifs de parking

Beaucoup de parkings facturent chaque heure commencée, donc le prix fait un saut à chaque heure pleine. Les limites latérales décrivent le prix juste avant et juste après le saut.

Exemple:

Un parking coûte $P(t) = 3$ € pour $0 < t \le 1$ heure et $P(t) = 5$ € pour $1 < t \le 2$ heures. Juste avant une heure, tu paies 3 €, juste après, 5 €.

1Essaie par toi-même

Le parking utilise $P(t) = 3$ pour $0 < t \le 1$ et $P(t) = 5$ pour $1 < t \le 2$ ( $t$ en heures, prix en €).

De combien d'euros le prix saute-t-il en $t = 1$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Limite à droite moins limite à gauche en $t = 1$ :

Construire une rampe sans marche

Quand on relie une rampe à une plateforme, les hauteurs des deux côtés doivent se rejoindre. Sinon, il reste une marche sur laquelle on peut trébucher.

Exemple:

Une rampe a une hauteur $h(x) = 0{,}2x$ mètre pour $0 \le x < 5$ , et en $x = 5$ commence une plateforme de hauteur constante $c$ . La rampe et la plateforme se rejoignent sans marche exactement quand $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ .

2Essaie par toi-même

La rampe a une hauteur $h(x) = 0{,}2x$ pour $0 \le x < 5$ et la plateforme une hauteur $c$ pour $x \ge 5$ (toutes les longueurs en mètres).

Quelle hauteur $c$ de la plateforme évite une marche en $x = 5$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La hauteur de la plateforme doit être égale à la limite à gauche en $x = 5$ :

Forfaits de données mobiles

Un forfait de données a souvent un prix fixe jusqu'à un seuil, puis un supplément par gigaoctet. Les limites latérales montrent si le prix fait un saut au seuil.

Exemple:

Un forfait coûte $C(g) = 10$ € pour $0 \le g \le 5$ Go et $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € pour $g > 5$ . Juste au-dessus de 5 Go, le prix commence à augmenter, mais il part de 10.

3Essaie par toi-même

Le forfait coûte $C(g) = 10$ pour $0 \le g \le 5$ et $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ pour $g > 5$ ( $g$ en Go, prix en €).

Que vaut $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve les deux limites latérales en $g = 5$ et compare-les :

Points clés

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ est la limite à gauche : $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs inférieures à $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ est la limite à droite : $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs supérieures à $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ exactement quand les deux limites latérales existent et valent toutes les deux $L$
4Si les limites latérales sont différentes (un saut), la limite en $a$ n'existe pas
5Pour une fonction définie par morceaux, utilise à gauche le morceau valable juste en dessous de $a$ et à droite celui valable juste au-dessus de $a$
6La valeur $f(a)$ (rond vide ou point plein) ne change jamais une limite

Questions fréquentes

Une limite latérale peut-elle exister quand la limite en $a$ n'existe pas ?

Oui, c'est même le cas typique d'un saut. Pour

\frac{|x|}{x}

0

, les deux limites latérales existent (

-1

1

), mais la limite en

0

n'existe pas, car elles sont différentes.

Est-ce le point plein ou le rond vide qui décide de la limite ?

Ni l'un ni l'autre. Les ronds et les points montrent seulement la valeur

f(a)

. Les limites viennent de la courbe de chaque côté, quand elle se rapproche de

x = a

Et si la fonction n'est définie que d'un seul côté ?

Alors une seule limite latérale a du sens. Pour

\sqrt{x}

0

, il n'y a pas de valeurs à gauche, donc on utilise

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0

. Au bord de l'ensemble de définition, la limite latérale est la question naturelle.

Une limite latérale peut-elle être infinie ?

Oui. Par exemple,

\frac{1}{x}

devient aussi grand qu'on veut quand

x \to 0^+

. Ces cas sont traités dans la leçon Limites infinies ; dans cette leçon, toutes les limites latérales sont des nombres.

Glossaire

Limite latérale: Une limite qui n'utilise que des valeurs de $x$ d'un seul côté de $a$
Limite à gauche: La valeur dont $f(x)$ se rapproche quand $x \to a^-$ , par des valeurs inférieures à $a$
Limite à droite: La valeur dont $f(x)$ se rapproche quand $x \to a^+$ , par des valeurs supérieures à $a$
Limite en $a$ (des deux côtés): La limite habituelle $\lim_{x \to a} f(x)$ ; elle n'existe que si la limite à gauche et la limite à droite sont égales
Fonction définie par morceaux: Une fonction donnée par des formules différentes sur différents intervalles de $x$
Discontinuité de saut: Une rupture où les deux limites latérales existent mais sont différentes, de sorte que le graphique fait un saut

Carte des formules

Limite à gauche

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ se rapproche de $a$ par la gauche (valeurs inférieures à $a$)

Limite à droite

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ se rapproche de $a$ par la droite (valeurs supérieures à $a$)

Quand la limite existe

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Les deux limites latérales doivent exister et être égales

Valeur absolue selon le côté

|x - a| = x - a

pour

x > a

|x - a| = -(x - a)

pour

x < a

Utilise-la pour simplifier les expressions avec valeur absolue de chaque côté

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Tarifs de parking

Construire une rampe sans marche

Forfaits de données mobiles

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Limite à gauche

Limite à droite

Quand la limite existe

Valeur absolue selon le côté

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Introduction aux limites

Notation des limites

Lire une limite sur un graphique

Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs