Limites à gauche et à droite

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Que signifie $x \to 3^-$ ?
1. a) $x$ se rapproche de $3$ par des valeurs inférieures à $3$
2. b) $x$ se rapproche de $3$ par des valeurs supérieures à $3$
3. c) $x$ vaut exactement $3$
4. d) $x$ prend la valeur $-3$
Réponse: $x$ se rapproche de $3$ par des valeurs inférieures à $3$
$x \to 3^-$ signifie que $x$ se rapproche de $3$ par la gauche : $2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... Ces valeurs sont inférieures à $3$ , et $x$ n'est jamais égal à $3$ .
2.
Soit $f(x) = x + 1$ pour $x < 1$ et $f(x) = x + 3$ pour $x \ge 1$ . Trouve $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
Réponse: 2
Pour $x < 1$ , la fonction est $x + 1$ , qui se rapproche de $1 + 1 = 2$ . Donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ .
3.
Soit $f(x) = x + 1$ pour $x < 1$ et $f(x) = x + 3$ pour $x \ge 1$ . Trouve $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
Réponse: 4
Pour $x > 1$ , la fonction est $x + 3$ , qui se rapproche de $1 + 3 = 4$ . Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ .
4.
Trouve $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$ .
Réponse: 1
Pour $x$ positif, $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ . À droite de $0$ , la fonction vaut toujours $1$ , donc la limite à droite vaut $1$ .
5.
Soit $f(x) = x + 1$ pour $x < 1$ et $f(x) = x + 3$ pour $x \ge 1$ . Que vaut $\lim_{x \to 1} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)n'existe pas
4. d)6
Réponse: n'existe pas
La limite à gauche vaut $2$ et la limite à droite vaut $4$ . Comme $2 \neq 4$ , la limite n'existe pas. La valeur $f(1) = 4$ n'y change rien.
6.
Soit $f(x) = 2x$ pour $x < 2$ et $f(x) = x + 6$ pour $x \ge 2$ . Quelle est la taille du saut en $x = 2$ (limite à droite moins limite à gauche) ?
Réponse: 4
1. Trouve $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ 4
2. Trouve $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 8
3. Limite à droite moins limite à gauche : 4
7.
On suppose que $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 5$ et $f(4) = 1$ . Quelle affirmation est vraie ?
1. a) $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$
2. b) $\lim_{x \to 4} f(x)$ n'existe pas
3. c) $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
4. d) $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$
Réponse: $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
Les deux limites latérales valent $5$ , donc $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$ . Le point $f(4) = 1$ est en dehors de la courbe et ne change pas la limite.
8.
Soit $g(x) = x^2 + 1$ pour $x < 3$ et $g(x) = 2x + 5$ pour $x \ge 3$ . Trouve $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ .
Réponse: 10
Pour $x < 3$ , $g(x) = x^2 + 1 \to 3^2 + 1 = 10$ . (Par la droite, $2x + 5 \to 11$ , donc la limite en $3$ n'existe pas.)
9.
Soit $h(x) = x^2 - 1$ pour $x < 3$ , $h(3) = 0$ et $h(x) = 2x + 2$ pour $x > 3$ . Trouve $\lim_{x \to 3} h(x)$ .
Réponse: 8
1. Trouve $\lim_{x \to 3^-} h(x)$ 8
2. Trouve $\lim_{x \to 3^+} h(x)$ 8
3. Les deux côtés sont d'accord. Que vaut $\lim_{x \to 3} h(x)$ ? 8
10.
La limite $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ existe-t-elle ?
Réponse: La limite n'existe pas : à gauche $-1$ , à droite $1$ .
1. Trouve $\lim_{x \to 5^+} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ 1
2. Trouve $\lim_{x \to 5^-} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ -1
3. La limite (des deux côtés) existe-t-elle ? non
11.
Pour quelle fonction la limite à gauche et la limite à droite en $x = 0$ sont-elles égales ?
1. a) $f(x) = \frac{|x|}{x}$
2. b) $f(x) = \frac{x}{|x|} + 1$
3. c) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
4. d) $f(x) = \frac{2|x|}{x}$
Réponse: $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
$\frac{x^2}{|x|} = |x|$ , qui se rapproche de $0$ des deux côtés. Les autres font un saut : $\frac{|x|}{x}$ donne $-1$ et $1$ , $\frac{x}{|x|} + 1$ donne $0$ et $2$ , $\frac{2|x|}{x}$ donne $-2$ et $2$ .
12.
Soit $p(x) = 4 - x$ pour $x \le 2$ et $p(x) = x^2 + 1$ pour $x > 2$ . Quelle est la taille du saut en $x = 2$ (limite à droite moins limite à gauche) ?
Réponse: 3
1. Trouve $\lim_{x \to 2^-} p(x)$ 2
2. Trouve $\lim_{x \to 2^+} p(x)$ 5
3. Que vaut $p(2)$ ? 2
4. Limite à droite moins limite à gauche : 3
13.
Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x < 1$ et $f(x) = 3x - 1$ pour $x \ge 1$ . Trouve $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Réponse: 2
1. Pour $x < 1$ : $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + \square$ . Que mets-tu dans la case ? 1
2. Trouve $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 2
3. Trouve $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 2
4. Que vaut $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 2
14.
Soit $f(x) = kx + 1$ pour $x < 2$ et $f(x) = x^2 + 3$ pour $x \ge 2$ . Trouve $k$ pour que $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe.
Réponse: 3
1. Trouve $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 7
2. La limite à gauche vaut $2k + 1$ . D'après $2k + 1 = 7$ , que vaut $2k$ ? 6
3. Que vaut $k$ ? 3
15.
La limite $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ existe-t-elle ?
Réponse: La limite n'existe pas : à gauche $-6$ , à droite $6$ .
1. Trouve $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ 6
2. Trouve $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ -6
3. La limite (des deux côtés) existe-t-elle ? non
16.
Soit $f(x) = cx$ pour $x < 2$ et $f(x) = x^2 + c$ pour $x \ge 2$ . Pour quelle valeur de $c$ la limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe-t-elle ?
1. a)2
2. b)8
3. c)-4
4. d)4
Réponse: 4
Limite à gauche : $2c$ . Limite à droite : $2^2 + c = 4 + c$ . De $2c = 4 + c$ , on tire $c = 4$ . Vérification : à gauche $8$ , à droite $8$ .
17.
Trouve $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$ .
Réponse: -8
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ . Pour $x < 4$ , $\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) \to -8$ .
18.
Soit $f(x) = x^2$ pour $x < 1$ , $f(x) = 2x - 1$ pour $1 \le x < 3$ et $f(x) = 10 - x$ pour $x \ge 3$ . Trouve $\lim_{x \to 1} f(x)$ , puis le saut en $x = 3$ (limite à droite moins limite à gauche).
Réponse: 2
1. Trouve $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 1
2. Trouve $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 1
3. Les deux côtés sont d'accord. Que vaut $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 1
4. Trouve $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 5
5. Trouve $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ 7
6. Limite à droite moins limite à gauche en $x = 3$ : 2