Logarithme décimal (base 10)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Combien vaut $\log 10\,000$ ?
1. a)1000
2. b)10000
3. c)3
4. d)4
Réponse: 4
$10\,000 = 10^4$ , donc $\log 10\,000 = 4$ . Le logarithme compte les zéros (facteurs 10), pas tous les chiffres.
2.
Combien vaut $\log 1\,000\,000$ ?
Réponse: 6
$1\,000\,000 = 10^6$ (six zéros), donc $\log 1\,000\,000 = 6$ .
3.
Combien vaut $\log 0{,}01$ ?
1. a)-2
2. b)2
3. c)0,01
4. d)-0,01
Réponse: -2
$0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$ , donc $\log 0{,}01 = -2$ . Les nombres entre 0 et 1 ont un logarithme négatif.
4.
Combien vaut $\log 1$ ?
Réponse: 0
$10^0 = 1$ , donc $\log 1 = 0$ . Ne confonds pas avec $\log 0$ , qui n'existe pas.
5.
Calcule $\log 0{,}001$ .
Réponse: -3
1. $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ . Écris $1\,000 = 10^n$ . Combien vaut $n$ ? 3
2. Donc $0{,}001 = 10^k$ . Combien vaut $k$ ? -3
3. Combien vaut $\log 0{,}001$ ? -3
6.
Calcule $\log 0{,}1$ en partant de $\log 10$ .
Réponse: -1
1. Combien vaut $\log 10$ ? 1
2. Écris $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ sous la forme $10^n$ . Combien vaut $n$ ? -1
3. Combien vaut $\log 0{,}1$ ? -1
7.
Entre quels deux entiers se trouve $\log 50$ ?
1. a)2 et 3
2. b)0 et 1
3. c)5 et 6
4. d)1 et 2
Réponse: 1 et 2
$10 < 50 < 100$ , donc $\log 10 < \log 50 < \log 100$ , c'est-à-dire $1 < \log 50 < 2$ . La calculatrice donne $\log 50 \approx 1{,}699$ .
8.
Encadre $\log 700$ entre deux entiers, puis calcule-le à la calculatrice à 3 décimales près.
Réponse: 2.845
1. $700$ est compris entre $100$ et $1\,000$ . Combien vaut $\log 100$ ? 2
2. Combien vaut $\log 1\,000$ ? 3
3. Tape log(700) à la calculatrice. Combien vaut $\log 700$ à 3 décimales près ? 2.845
9.
Utilise la calculatrice : combien vaut $\log 250$ , arrondi à 2 décimales ?
Réponse: 2.40
$\log 250 = 2{,}39794\ldots \approx 2{,}40$ . Il est bien compris entre $\log 100 = 2$ et $\log 1\,000 = 3$ .
10.
Un nombre positif $x$ vérifie $\log x = 3$ . Trouve $x$ .
Réponse: 1000
1. Réécris $\log x = 3$ sous la forme $b^3 = x$ . Quelle est la base $b$ ? 10
2. Combien vaut $x = 10^3$ ? 1000
3. Vérification : combien vaut $\log 1\,000$ ? 3
11.
Quelle valeur est la plus proche de $\log 2\,000$ ?
1. a)0,301
2. b)4,301
3. c)3,301
4. d)2,301
Réponse: 3,301
$1\,000 < 2\,000 < 10\,000$ , donc $3 < \log 2\,000 < 4$ . Seul $3{,}301$ est dans cet intervalle, et la calculatrice confirme $\log 2\,000 \approx 3{,}301$ .
12.
Encadre $\log 0{,}05$ entre deux entiers, puis calcule-le à la calculatrice à 3 décimales près.
Réponse: -1.301
1. $0{,}05$ est compris entre $0{,}01$ et $0{,}1$ . Combien vaut $\log 0{,}01$ ? -2
2. Combien vaut $\log 0{,}1$ ? -1
3. Tape log(0,05) à la calculatrice. Combien vaut $\log 0{,}05$ à 3 décimales près ? -1.301
13.
Un nombre positif $x$ vérifie $\log x = -2$ . Combien vaut $x$ ? Écris-le sous forme décimale.
Réponse: 0.01
$\log x = -2$ signifie $x = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ .
14.
Écris $62\,000$ en écriture scientifique, trouve la partie entière de $\log 62\,000$ , puis calcule $\log 62\,000$ à 3 décimales près.
Réponse: 4.792
1. $62\,000 = 6{,}2 \times 10^n$ . Combien vaut $n$ ? 4
2. Donc $4 \le \log 62\,000 < k$ . Quel est l'entier $k$ ? 5
3. Tape log(62000) à la calculatrice. Combien vaut $\log 62\,000$ à 3 décimales près ? 4.792
15.
Un entier $N$ vérifie $\log N \approx 5{,}3$ . Combien de chiffres a $N$ ?
1. a)5
2. b)53
3. c)3
4. d)6
Réponse: 6
$5 \le 5{,}3 < 6$ , donc $10^5 \le N < 10^6$ , c'est-à-dire $100\,000 \le N < 1\,000\,000$ . Ces nombres ont 6 chiffres ( $N \approx 10^{5{,}3} \approx 199\,526$ ).
16.
Un nombre positif $x$ vérifie $\log x = 2{,}5$ . Trouve $x$ , arrondi à l'unité.
Réponse: 316
1. $x = 10^{2{,}5}$ est compris entre $10^2$ et $10^3$ . Combien vaut $10^2$ ? 100
2. Combien vaut $10^3$ ? 1000
3. Tape 10^2,5 à la calculatrice. Combien vaut $x$ , arrondi à l'unité ? 316
17.
Un entier $N$ vérifie $\log N \approx 7{,}48$ . Combien de chiffres a $N$ ?
Réponse: 8
$7 \le 7{,}48 < 8$ , donc $10^7 \le N < 10^8$ : $N$ est compris entre $10\,000\,000$ et $99\,999\,999$ , il a donc 8 chiffres. En général, le nombre de chiffres est la partie entière du logarithme plus 1.
18.
Utilise les logarithmes décimaux pour trouver combien de fois $100\,000$ est plus grand que $100$ .
Réponse: 1000
1. Combien vaut $\log 100\,000$ ? 5
2. Combien vaut $\log 100$ ? 2
3. De combien les deux logarithmes diffèrent-ils ? 3
4. Un écart de 3 signifie un facteur $10^3$ . Combien de fois $100\,000$ est-il plus grand ? 1000