Guide de l'enseignant: Logarithme décimal (base 10)

Découvre le logarithme décimal log x de base 10 : valeurs exactes des puissances de 10, encadrement entre deux entiers et utilisation de la calculatrice.

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Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Lire $\log x$ comme le logarithme de base 10
Calculer $\log(10^n) = n$ pour les puissances de 10 de $0{,}001$ à $1\,000\,000$ sans calculatrice
Encadrer le logarithme de tout nombre positif entre deux entiers
Utiliser la touche LOG de la calculatrice et contrôler le résultat par un encadrement
Relier la partie entière de $\log x$ à l'écriture scientifique et aux ordres de grandeur

Prérequis

• Introduction aux logarithmes et Définition du logarithme : $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Puissances de 10, y compris avec des exposants négatifs ( $10^{-2} = 0{,}01$ )
• Écriture scientifique ( $3\,000 = 3 \times 10^3$ )

Amorces de discussion

1. À ton avis, pourquoi les logarithmes de base 10 ont-ils été les premiers imprimés dans des tables et mis sur les calculatrices ?
2. Si $\log x$ augmente de 1, que devient $x$ ? Et s'il augmente de 2 ?
3. $50$ est à peu près au milieu entre $10$ et $100$ . Pourquoi $\log 50$ ne vaut-il pas $1{,}5$ ?
4. Comment pourrais-tu deviner le nombre de chiffres d'un grand entier à partir de son logarithme ?
5. Où, en sciences ou dans la vie courante, as-tu vu une échelle où chaque graduation signifie 10 fois plus ?

Idées reçues courantes

Le logarithme d'un nombre entre 10 et 100 augmente régulièrement, donc $\log 50 = 1{,}5$

Remédiation: Montre la droite graduée à échelle logarithmique : des pas égaux signifient multiplier par 10. Calcule $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ à la calculatrice : le milieu de l'échelle est 31,6 et non 55.

Les logarithmes des nombres décimaux ne sont pas définis, ou $\log 0{,}01 = 2$

Remédiation: Prolonge le tableau vers la gauche : $\log 100 = 2$ , $\log 10 = 1$ , $\log 1 = 0$ , $\log 0{,}1 = ?$ . Chaque division par 10 retire 1, donc on obtient ensuite $-1$ et $-2$ .

$\log 0 = 0$

Remédiation: Compare $\log 1 = 0$ (car $10^0 = 1$ ) avec l'équation $10^n = 0$ , qui n'a pas de solution. Fais taper log(0) aux élèves sur la calculatrice et demande-leur d'expliquer le message d'erreur.

Le logarithme est égal au nombre de chiffres

Remédiation: Compare $\log 10 = 1$ (2 chiffres) et $\log 999 \approx 2{,}9996$ (3 chiffres). Un entier de $d$ chiffres a un logarithme compris entre $d - 1$ et $d$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par un tableau à deux lignes, puissances de 10 et logarithmes, à compléter de $10^{-3}$ à $10^6$
• Utiliser d'abord seulement des logarithmes entiers, puis ajouter un encadrement comme $1 < \log 50 < 2$
• Faire compter les zéros et les décimales avec un tableau de numération avant d'écrire le logarithme

Pour les élèves au niveau:

• Encadrer des logarithmes entre deux entiers, puis vérifier à la calculatrice
• Trouver l'ordre de grandeur de grandeurs données en écriture scientifique
• Revenir du logarithme au nombre avec $10^{\log x} = x$

Pour les élèves avancés:

• Justifier qu'un entier de $d$ chiffres a un logarithme compris entre $d - 1$ et $d$
• Comparer $\log 2$ , $\log 20$ et $\log 200$ à la calculatrice et décrire la régularité (expliquée dans la leçon Propriété du produit pour les logarithmes)
• Chercher comment on multipliait de grands nombres avec des tables de logarithmes avant les calculatrices

Alignement aux standards

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Exprimer la solution d'une équation exponentielle comme un logarithme de base 2, 10 ou e, et le calculer avec un outil numérique
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre puissances et logarithmes
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Utiliser des nombres écrits comme un chiffre multiplié par une puissance entière de 10 pour estimer des grandeurs très grandes ou très petites

Ressources de la leçon

visualDroite graduée à échelle logarithmique
Les puissances de 10 de 0,001 à 1 000 000 placées à intervalles réguliers : chaque pas ajoute 1 au logarithme
visualDiagramme en barres de log x
Compare les logarithmes de 0,01, 0,1, 1, 5, 10, 50, 100 et 1000, y compris les logarithmes négatifs
activityEncadre, puis appuie sur LOG
Par deux, les élèves écrivent les deux entiers qui encadrent un logarithme, vérifient à la calculatrice et marquent un point si l'encadrement est juste
worksheetChasse aux ordres de grandeur
Trouver des grandeurs réelles (taille d'une cellule, distances, populations) et les classer selon la partie entière de leur logarithme

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Le logarithme décimal est le logarithme de base 10. Il est si courant qu'on n'écrit pas la base :

\log x = \log_{10} x

\log x

répond à la question : **"10 à quelle puissance donne

x

?"**

\log x = n \iff 10^n = x

Les puissances de 10 ont des logarithmes entiers :

$x$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
$\log x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$

Donc

\log(10^n) = n

pour tout exposant

n

Un nombre compris entre deux puissances de 10 a un logarithme compris entre deux entiers. Comme

10 < 50 < 100

, on sait que

1 < \log 50 < 2

. La calculatrice (touche LOG) donne

\log 50 \approx 1{,}699

L'argument doit être strictement positif :

\log 0

\log(-5)

n'existent pas.

Exemples résolus

Calcule $\log 100\,000$ et $\log 1$ sans calculatrice.

Pose la question pour 100 000

10 à quelle puissance donne $100\,000$ ? → $10^n = 100\,000$

Compte les zéros

$100\,000$ s'écrit avec un 1 suivi de 5 zéros, donc $100\,000 = 10^5$ → $\log 100\,000 = 5$

Pose la question pour 1

Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1 : $10^0 = 1$ → $\log 1 = 0$

Réponse: $\log 100\,000 = 5$ et $\log 1 = 0$

Erreurs courantes

Penser que $\log 50 = 1{,}5$ parce que 50 est à peu près au milieu entre 10 et 100

Pourquoi c'est faux: Une échelle logarithmique n'est pas régulière. Chaque pas de 1 sur le logarithme multiplie le nombre par 10, donc le milieu entre 10 et 100 est $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ .

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$ . Encadre d'abord entre deux entiers ( $1 < \log 50 < 2$ ), puis utilise la calculatrice.

Écrire $\log 0{,}01 = 2$ ou dire que le logarithme d'un nombre décimal n'existe pas

Pourquoi c'est faux: $0{,}01 = 10^{-2}$ , l'exposant est donc négatif. Les logarithmes des nombres entre 0 et 1 existent, ils sont simplement négatifs.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$ , $\log 0{,}1 = -1$ , $\log 0{,}001 = -3$ .

Écrire $\log 0 = 0$ ou $\log(-100) = -2$

Pourquoi c'est faux: $10^n$ est positif pour tout exposant $n$ . Aucune puissance de 10 n'est égale à 0 ou à un nombre négatif.

Correct: $\log 0$ et $\log(-100)$ ne sont pas définis, la calculatrice affiche une erreur. Retiens : $\log 1 = 0$ , et non $\log 0$ .

Compter tous les chiffres : $\log 1\,000 = 4$

Pourquoi c'est faux: $1\,000$ a 4 chiffres mais seulement 3 zéros. Le logarithme compte les facteurs 10, pas les chiffres.

Correct: $\log 1\,000 = 3$ car $10^3 = 1\,000$ . Un entier de $d$ chiffres a un logarithme compris entre $d - 1$ et $d$ .

Pourquoi c'est important

Notre système de numération est en base 10, donc le logarithme décimal donne d'un coup d'œil la taille d'un nombre :

Ordres de grandeur : la partie entière de $\log x$ est l'exposant de $x$ en écriture scientifique. $\log(3\,000) \approx 3{,}477$ et $3\,000 = 3 \times 10^3$ .
Chimie : le pH d'une solution est $-\log$ de la concentration en ions hydrogène.
Son : les décibels utilisent $10 \log$ d'un rapport d'intensités.
Séismes et étoiles : l'échelle de Richter et les échelles de luminosité des étoiles reposent sur des logarithmes de base 10.
Graphiques scientifiques : une échelle logarithmique place $1$ , $10$ , $100$ et $1\,000\,000$ sur un même axe lisible.

Si tu connais par cœur les logarithmes des puissances de 10, tu peux vérifier n'importe quel résultat de la calculatrice en quelques secondes.

Applications dans le monde réel

Ordres de grandeur

Les scientifiques comparent des grandeurs immenses et minuscules par leur ordre de grandeur : la partie entière de leur logarithme décimal.

Exemple:

Un cheveu humain mesure environ $0{,}0001$ m d'épaisseur, et $\log 0{,}0001 = -4$ . La Terre mesure environ $10\,000\,000$ m de large, et $\log 10\,000\,000 = 7$ . L'écart de 11 ordres de grandeur signifie que la Terre est environ $10^{11}$ fois plus large.

1Essaie par toi-même

La population mondiale est d'environ $8\,000\,000\,000$ personnes.

Quel est son ordre de grandeur, c'est-à-dire la partie entière de $\log 8\,000\,000\,000$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la partie entière du logarithme :

Le pH en chimie

Le pH d'une solution est $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en mol/L. Plus le pH est bas, plus la solution est acide.

Exemple:

L'eau pure a $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$ , donc $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutre).

2Essaie par toi-même

Un échantillon de jus d'orange a $[H^+] = 0{,}0001$ mol/L.

Quel est son pH ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $-\log 0{,}0001$ :

Décibels et son

Le niveau sonore en décibels est $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, où $\dfrac{I}{I_0}$ indique combien de fois un son est plus intense que le son le plus faible que l'on peut entendre.

Exemple:

Un chuchotement est environ $100$ fois plus intense que le seuil d'audition : $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

3Essaie par toi-même

Une conversation normale est environ $1\,000\,000$ de fois plus intense que le seuil d'audition.

Quel est son niveau sonore en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $10 \log 1\,000\,000$ :

Points clés

1Le logarithme décimal a pour base 10 : $\log x = \log_{10} x$ , et $\log x = n$ signifie $10^n = x$
2Les puissances de 10 ont des logarithmes entiers : $\log(10^n) = n$ , par exemple $\log 1\,000 = 3$ et $\log 0{,}01 = -2$
3 $\log 1 = 0$ et $\log 10 = 1$ ; les nombres entre 0 et 1 ont un logarithme négatif
4Pour encadrer $\log x$ , cherche les puissances de 10 autour de $x$ : $10 < 50 < 100$ donne $1 < \log 50 < 2$
5La partie entière de $\log x$ est l'ordre de grandeur, l'exposant de $x$ en écriture scientifique
6La touche LOG donne les décimales ( $\log 50 \approx 1{,}699$ ) ; $\log 0$ et les logarithmes de nombres négatifs n'existent pas

Questions fréquentes

Pourquoi le logarithme de base 10 s'appelle-t-il décimal ?

Notre système de numération est décimal, c'est-à-dire en base 10. Pendant des siècles, les tables de logarithmes étaient en base 10, et aujourd'hui toutes les calculatrices scientifiques ont la touche LOG. Comme on s'en sert très souvent, on n'écrit pas la base :

\log x

signifie

\log_{10} x

Comment la calculatrice trouve-t-elle $\log 50$ ?

Elle utilise une méthode numérique rapide pour trouver l'exposant

n

tel que

10^n = 50

. Tu peux vérifier son résultat :

10^{1{,}699} \approx 50

. L'encadrement

1 < \log 50 < 2

te dit si tu as appuyé sur les bonnes touches.

Pourquoi les logarithmes de nombres décimaux comme $0{,}01$ sont-ils négatifs ?

On obtient les nombres entre 0 et 1 avec des exposants négatifs :

0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}

. Donc

\log 0{,}01 = -2

. Seul l'argument doit être positif, le logarithme lui-même peut être n'importe quel réel.

La touche $\log$ de ma calculatrice est-elle la même que $\ln$ ?

Non. LOG utilise la base 10, tandis que LN utilise une autre base, le nombre

e \approx 2{,}718

. Par exemple

\log 100 = 2

, mais

\ln 100 \approx 4{,}605

. La leçon Logarithme népérien (ln) présente cette touche.

Glossaire

Logarithme décimal: Le logarithme de base 10, noté $\log x$ : l'exposant $n$ tel que $10^n = x$
Base: Le nombre que l'on élève à une puissance ; pour le logarithme décimal, c'est 10
Argument: Le nombre dont on prend le logarithme, le $x$ de $\log x$ ; il doit être strictement positif
Puissance de 10: Un nombre de la forme $10^n$ , comme $1\,000 = 10^3$ ou $0{,}01 = 10^{-2}$
Ordre de grandeur: La partie entière de $\log x$ , c'est-à-dire l'exposant de $x$ en écriture scientifique
Écriture scientifique: Écrire un nombre sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ , comme $3\,000 = 3 \times 10^3$

Carte des formules

Logarithme décimal

\log x = n \iff 10^n = x

La base 10 n'est pas écrite

Logarithme d'une puissance de 10

\log(10^n) = n

Par exemple $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Valeurs particulières

\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Car $10^0 = 1$ et $10^1 = 10$

Encadrement

10^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Les puissances de 10 autour de $x$ donnent la partie entière

Retour au nombre

10^{\log x} = x

Par exemple $10^{1{,}699} \approx 50$

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Logarithme décimal (base 10)

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Ordres de grandeur

Le pH en chimie

Décibels et son

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Logarithme décimal

Logarithme d'une puissance de 10

Valeurs particulières

Encadrement

Retour au nombre

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