Logarithme népérien (ln)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la valeur de $\ln 1$ ?
1. a) $0$
2. b) $e$
3. c) $-1$
4. d) $1$
Réponse: $0$
$\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$ . Tout nombre (sauf 0) à la puissance 0 vaut 1.
2.
Calcule $\ln(e^7)$ sans calculatrice.
Réponse: 7
$\ln(e^7)$ demande quelle puissance de $e$ donne $e^7$ . La réponse est l'exposant : $\ln(e^7) = 7$ .
3.
Calcule $\ln(e^{-3}) + \ln(e^{8})$ sans calculatrice.
Réponse: 5
1. Combien vaut $\ln(e^{-3})$ ? -3
2. Combien vaut $\ln(e^{8})$ ? 8
3. Additionne les deux résultats. Quelle est la somme ? 5
4.
Quelle expression signifie la même chose que $\ln x$ ?
1. a) $\log_2 x$
2. b) $\log_e x$
3. c) $\log_{10} x$
4. d) $e^x$
Réponse: $\log_e x$
$\ln x$ est le logarithme de base $e$ , donc $\ln x = \log_e x$ . $\log_{10} x$ est le logarithme décimal et $e^x$ est la fonction réciproque de $\ln x$ .
5.
Simplifie $e^{\ln 12}$ .
Réponse: 12
$\ln 12$ est la puissance de $e$ qui donne $12$ . En élevant $e$ exactement à cette puissance, on retrouve $12$ : $e^{\ln 12} = 12$ .
6.
Calcule $4\ln e - 3\ln 1$ .
Réponse: 4
1. Combien vaut $\ln e$ ? 1
2. Combien vaut $\ln 1$ ? 0
3. Combien fait $4 \times 1 - 3 \times 0$ ? 4
7.
Résous $\ln x = 2$ . Donne $x$ arrondi à 2 décimales.
Réponse: 7.39
1. Écris sous forme exponentielle : $x = e^{\square}$ . Quel nombre va dans la case ? 2
2. Calcule $e^2$ , arrondi à 2 décimales. 7.39
8.
Laquelle de ces expressions n'a pas de valeur réelle ?
1. a) $\ln(-4)$
2. b) $\ln(e^{-2})$
3. c) $\ln 1$
4. d) $\ln 0{,}5$
Réponse: $\ln(-4)$
$\ln(-4)$ n'a pas de valeur réelle car $e^y$ est toujours strictement positif. Les autres existent : $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ , $\ln 1 = 0$ et $\ln(e^{-2}) = -2$ . Un RÉSULTAT négatif est permis, seul l'argument doit être positif.
9.
Utilise la calculatrice pour trouver $\ln 50$ . Arrondis à 3 décimales.
Réponse: 3.912
$\ln 50 = 3{,}91202...$ , donc $\ln 50 \approx 3{,}912$ . Vérification : $e^{3{,}912} \approx 50{,}0$ .
10.
Résous $e^x = 15$ . Arrondis à 3 décimales.
Réponse: 2.708
1. Applique $\ln$ aux deux membres : $x = \ln \square$ . Quel nombre va dans la case ? 15
2. Calcule $\ln 15$ , arrondi à 3 décimales. 2.708
11.
Quelle est la solution exacte de $e^x = 9$ ?
1. a) $x = \ln 9$
2. b) $x = \frac{9}{e}$
3. c) $x = e^9$
4. d) $x = \log 9$
Réponse: $x = \ln 9$
Applique $\ln$ aux deux membres : $\ln(e^x) = \ln 9$ , donc $x = \ln 9 \approx 2{,}197$ . Diviser par $e$ n'annule pas une puissance, et $\log 9$ utilise la base 10, pas $e$ .
12.
Calcule $\ln \sqrt{e}$ . Écris la réponse sous forme de fraction ou de nombre décimal.
Réponse: 1/2
$\sqrt{e} = e^{1/2}$ , et $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$ . Donc $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
13.
Résous $4e^x = 36$ . Arrondis à 3 décimales.
Réponse: 2.197
1. Divise les deux membres par 4. À quoi est égal $e^x$ ? 9
2. Applique $\ln$ aux deux membres. Combien vaut $x = \ln 9$ , arrondi à 3 décimales ? 2.197
3. Vérification : combien vaut $4e^{2{,}197}$ , arrondi à l'unité ? 36
14.
Calcule $e^{\ln 5} \times \ln(e^4)$ sans calculatrice.
Réponse: 20
1. Combien vaut $e^{\ln 5}$ ? 5
2. Combien vaut $\ln(e^4)$ ? 4
3. Multiplie les deux résultats. Quel est le produit ? 20
15.
Quelle valeur de $x$ est solution de $e^{2x} = 7$ ?
1. a) $x = 2\ln 7$
2. b) $x = \frac{\ln 7}{2}$
3. c) $x = \frac{7}{2e}$
4. d) $x = \ln \frac{7}{2}$
Réponse: $x = \frac{\ln 7}{2}$
$\ln(e^{2x}) = 2x$ , donc $2x = \ln 7$ et $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$ . Attention : $\frac{\ln 7}{2}$ n'est pas égal à $\ln \frac{7}{2} \approx 1{,}253$ .
16.
Résous $e^x = 0{,}2$ . Arrondis à 3 décimales.
Réponse: -1.609
Applique $\ln$ aux deux membres : $x = \ln 0{,}2 = -1{,}60943...$ , donc $x \approx -1{,}609$ . C'est négatif car $0{,}2 < 1$ . Vérification : $e^{-1{,}609} \approx 0{,}200$ .
17.
Résous $e^{3x} = 50$ . Arrondis à 3 décimales.
Réponse: 1.304
1. Applique $\ln$ aux deux membres : $3x = \ln 50$ . Combien vaut $\ln 50$ , arrondi à 4 décimales ? 3.9120
2. Divise par 3. Combien vaut $x$ , arrondi à 3 décimales ? 1.304
18.
La population d'une ville croît selon $P = 2000e^{0{,}03t}$ , où $t$ est en années. Au bout de combien d'années atteindra-t-elle 5000 habitants ? Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 30.54
1. Divise $5000 = 2000e^{0{,}03t}$ par 2000. À quoi est égal $e^{0{,}03t}$ ? 2.5
2. Applique $\ln$ aux deux membres : $0{,}03t = \ln 2{,}5$ . Combien vaut $\ln 2{,}5$ , arrondi à 4 décimales ? 0.9163
3. Divise par 0,03. Combien vaut $t$ , arrondi à 2 décimales ? 30.54