Guide de l'enseignant: Logarithme népérien (ln)

Apprends ce que signifie ln x, pourquoi ln e = 1 et ln 1 = 0, comment ln annule e^x et comment résoudre des équations comme e^x = 20 à la calculatrice.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Définir le logarithme népérien comme le logarithme de base $e$
Passer de $\ln x = y$ à $e^y = x$ et inversement
Utiliser $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ pour simplifier des expressions
Calculer des logarithmes népériens à la calculatrice et vérifier le résultat
Résoudre des équations exponentielles simples de la forme $ae^{kx} = b$ à l'aide de $\ln$

Prérequis

• La base naturelle e : le nombre $e \approx 2{,}71828$ et la fonction $e^x$
• Croissance et décroissance continues : modèles de la forme $A = Pe^{rt}$
• Définition du logarithme : $\log_b y = x$ signifie $b^x = y$
• Logarithme décimal (base 10) : la touche LOG de la calculatrice

Amorces de discussion

1. Ta calculatrice a deux touches de logarithme, LOG et LN. Pourquoi les mathématiciens ont-ils besoin des deux, à ton avis ?
2. Sans calculatrice, entre quels deux nombres entiers se trouve $\ln 10$ ? Comment le sais-tu ?
3. Pourquoi $\ln x$ est-il négatif quand $x$ est entre 0 et 1 ?
4. Si $e^x$ et $\ln x$ s'annulent mutuellement, à quoi devrait ressembler une courbe par rapport à l'autre ?

Idées reçues courantes

$\ln$ est un nombre qui multiplie $x$ (lire $\ln x$ comme $\ln \times x$ )

Remédiation: Insiste sur le fait que $\ln$ est une fonction, comme $\sqrt{\phantom{x}}$ . Lis toujours $\ln x$ comme une question : " $e$ puissance combien donne $x$ ?" Au début, écris $\ln(x)$ avec des parenthèses.

Le $\ln$ d'un petit nombre ne peut pas être négatif

Remédiation: Montre le tableau de valeurs : $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ car $e^{-0{,}693} \approx 0{,}5$ . Les exposants négatifs donnent des résultats entre 0 et 1, donc le ln de ces nombres est négatif.

On résout $e^x = k$ en divisant $k$ par $e$

Remédiation: Compare avec $x^2 = 9$ : on annule un carré avec une racine carrée, pas en divisant par 2. De la même façon, on annule $e^x$ avec $\ln$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Partir d'un tableau des puissances de $e$ ( $e^0 = 1$ , $e^1 \approx 2{,}718$ , $e^2 \approx 7{,}389$ ) et lire les valeurs de ln à l'envers
• S'entraîner uniquement aux règles $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ avant d'utiliser la calculatrice
• Utiliser un tableau à deux colonnes : forme exponentielle et forme ln

Pour les élèves au niveau:

• Calculer des valeurs de ln à la calculatrice et vérifier chacune avec $e^x$
• Résoudre des équations de la forme $ae^{kx} = b$
• Appliquer $\ln$ à des situations de croissance et de décroissance continues

Pour les élèves avancés:

• Expliquer la règle de 70 pour le temps de doublement à l'aide de $\ln 2 \approx 0{,}693$
• Comparer $\ln x$ et $\log x$ pour les mêmes valeurs et trouver le rapport constant entre eux
• Chercher pourquoi $\ln x$ croît si lentement : quelle doit être la taille de $x$ pour que $\ln x = 10$ ?

Alignement aux standards

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Exprimer la solution de modèles exponentiels sous forme de logarithme (base 2, 10 ou e) et la calculer avec un outil numérique
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation de réciprocité entre puissances et logarithmes
HSF-BF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.4)
Déterminer des fonctions réciproques

Ressources de la leçon

visualCourbes miroirs
Graphique interactif de $y = e^x$ et $y = \ln x$ , symétriques par rapport à la droite $y = x$ , avec des points correspondants
activityTri de cartes réciproques
Associer des cartes comme $\ln(e^4)$ , $e^{\ln 9}$ , $\ln 1$ et $\ln e$ à leurs valeurs
worksheetQuand cela arrive-t-il ?
Problèmes de croissance et décroissance continues résolus avec $\ln$ : bactéries, épargne, médecine

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Le logarithme népérien (ou logarithme naturel) est le logarithme de base

e

, où

e \approx 2{,}71828

est le nombre d'Euler. Au lieu d'écrire

\log_e x

, on écrit

\ln x

(on lit "logarithme népérien de x" ou "ln de x").

\ln x = \log_e x

Comme tout logarithme,

\ln x

répond à une question : **"À quelle puissance dois-je élever

e

pour obtenir

x

?"**

\ln x = y \iff e^y = x

Deux valeurs à connaître par cœur :

$\ln 1 = 0$ , car $e^0 = 1$
$\ln e = 1$ , car $e^1 = e$

ln annule e^x (et inversement) : la fonction

y = \ln x

est la fonction réciproque de

y = e^x

, donc

\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln x} = x \; (x > 0)

L'argument doit être strictement positif :

\ln x

n'existe que pour

x > 0

, car

e^y

n'est jamais nul ni négatif. L'ensemble de définition de

y = \ln x

est donc

x > 0

Exemples résolus

Calcule $\ln(e^5)$ sans calculatrice.

Reformuler en question

$\ln(e^5)$ demande : à quelle puissance dois-je élever $e$ pour obtenir $e^5$ ? → $e^{?} = e^5$

Lire l'exposant

La puissance qui transforme $e$ en $e^5$ est $5$ → $? = 5$

Utiliser la règle de réciprocité

$\ln$ annule $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ → $\ln(e^5) = 5$

Réponse: $\ln(e^5) = 5$

Erreurs courantes

Écrire $\ln 1 = 1$ ou $\ln e = 0$

Pourquoi c'est faux: On confond facilement les deux valeurs clés. $\ln$ donne un exposant, pas le nombre lui-même.

Correct: $\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$ , et $\ln e = 1$ car $e^1 = e$ .

Prendre le $\ln$ de zéro ou d'un nombre négatif, comme $\ln 0$ ou $\ln(-3)$

Pourquoi c'est faux: $e^y$ est toujours strictement positif, quel que soit $y$ . Aucune puissance de $e$ ne donne $0$ ou un nombre négatif.

Correct: $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ . La calculatrice affiche une erreur pour $\ln 0$ et $\ln(-3)$ .

Appuyer sur LOG au lieu de LN sur la calculatrice

Pourquoi c'est faux: LOG est le logarithme décimal (base 10), LN est le logarithme népérien (base $e$ ). Ils donnent des résultats différents.

Correct: $\log 10 = 1$ , mais $\ln 10 \approx 2{,}303$ . Utilise LN dès que la base est $e$ .

Résoudre $e^x = 20$ en divisant : $x = \frac{20}{e}$

Pourquoi c'est faux: $x$ est un exposant, pas un facteur. Diviser par $e$ n'annule pas l'élévation de $e$ à une puissance.

Correct: Annule $e^x$ avec $\ln$ : $x = \ln 20 \approx 2{,}996$ .

Pourquoi c'est important

Le nombre

e

apparaît dès que quelque chose croît ou décroît de façon continue, et

\ln

est l'outil qui fait redescendre le temps ou le taux de l'exposant :

Croissance continue : si des bactéries croissent selon $N = 500e^{0{,}4t}$ , $\ln$ te dit quand il y en aura 2000.
Argent : avec des intérêts composés en continu $A = Pe^{rt}$ , le temps de doublement est $t = \frac{\ln 2}{r}$ .
Médecine : la durée pendant laquelle un médicament reste au-dessus d'un seuil dans le sang se calcule avec $\ln$ .
Sciences et analyse : $\ln x$ apparaît en physique, en chimie et dans tout cours d'analyse, car $e^x$ et $\ln x$ ont les dérivées les plus simples.

Sans

\ln

, une équation comme

e^x = 20

ne se résoudrait qu'à tâtons. Avec

\ln

, une seule étape suffit :

x = \ln 20 \approx 2{,}996

Applications dans le monde réel

Biologie : quand la culture atteindra-t-elle son objectif ?

Une culture de bactéries bien nourrie croît de façon continue selon $N = N_0 e^{rt}$. Pour savoir QUAND elle atteint une taille donnée, il faut $\ln$ pour faire descendre $t$ de l'exposant.

Exemple:

Avec $N = 1000e^{0{,}3t}$ , la culture atteint 3000 quand $e^{0{,}3t} = 3$ , donc $0{,}3t = \ln 3$ et $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ heures.

1Essaie par toi-même

Une culture commence avec 500 bactéries et croît selon $N = 500e^{0{,}4t}$ , où $t$ est en heures.

Au bout de combien d'heures y a-t-il 2000 bactéries ? Arrondis à 2 décimales.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $t = \frac{\ln 4}{0{,}4}$ :

Finance : temps de doublement avec intérêts continus

Les banques comparent les placements avec des intérêts composés en continu, $A = Pe^{rt}$. Le temps nécessaire pour doubler un capital est $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Exemple:

À 7 % composés en continu, un capital double en $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ ans. Comme $\ln 2 \approx 0{,}693$ , les banquiers utilisent la "règle de 70" : 70 divisé par le taux en pourcentage.

2Essaie par toi-même

Tu places 1000 € à 5 % d'intérêts composés en continu, donc $A = 1000e^{0{,}05t}$ .

Au bout de combien d'années auras-tu 2000 € ? Arrondis à 2 décimales.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $t = \frac{\ln 2}{0{,}05}$ :

Médecine : combien de temps un médicament reste dans le sang

Beaucoup de médicaments sont éliminés de façon continue : la quantité dans le sang suit $C = C_0 e^{-kt}$. Les médecins utilisent $\ln$ pour savoir quand donner la dose suivante.

Exemple:

Un médicament avec $k = 0{,}25$ par heure a une demi-vie de $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ heures : après ce temps, il en reste la moitié.

3Essaie par toi-même

Une patiente prend 100 mg d'un médicament. La quantité restante après $t$ heures est $C = 100e^{-0{,}25t}$ .

Au bout de combien d'heures reste-t-il 40 mg ? Arrondis à 2 décimales.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $t = \frac{\ln 0{,}4}{-0{,}25}$ :

Points clés

1Le logarithme népérien est le logarithme de base $e \approx 2{,}71828$ : $\ln x = \log_e x$
2 $\ln x = y$ signifie $e^y = x$ : ln donne la puissance de $e$ qui produit $x$
3Valeurs clés : $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$
4 $\ln$ et $e^x$ sont des fonctions réciproques : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$
5 $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ ; il est négatif pour $0 < x < 1$ et positif pour $x > 1$
6Pour résoudre $e^x = k$ (avec $k > 0$ ), applique ln aux deux membres : $x = \ln k$

Questions fréquentes

Pourquoi l'appelle-t-on logarithme népérien ou naturel ?

"Népérien" vient de John Napier (Neper), l'inventeur des logarithmes. "Naturel" parce que sa base

e

apparaît naturellement : dans la croissance continue, les intérêts continus et en analyse, où

e^x

\ln x

ont les taux de variation les plus simples. Le "n" de

\ln

vient du latin "logarithmus naturalis".

ln, est-ce la même chose que log ?

Non.

\log x

(logarithme décimal) a pour base 10 et

\ln x

a pour base

e

. Par exemple,

\log 100 = 2

mais

\ln 100 \approx 4{,}605

. Les deux répondent au même type de question, seule la base change.

Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle une erreur pour ln(0) ?

Parce que

e^y

est toujours strictement positif : aucune puissance de

e

ne vaut

0

ou un nombre négatif. La courbe de

y = \ln x

se trouve uniquement à droite de l'axe des ordonnées, qui est une asymptote verticale.

Quel lien y a-t-il entre les courbes de $y = e^x$ et $y = \ln x$ ?

Elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite

y = x

, car ce sont des fonctions réciproques. Le point

(0, 1)

y = e^x

correspond au point

(1, 0)

y = \ln x

, et

(1, e)

correspond à

(e, 1)

Glossaire

Logarithme népérien: Le logarithme de base $e$ , noté $\ln x$ ; $\ln x = y$ signifie $e^y = x$
Nombre d'Euler $e$: Le nombre irrationnel $e \approx 2{,}71828$ , base de la croissance continue
Fonction réciproque: Une fonction qui annule l'effet d'une autre ; $\ln x$ et $e^x$ sont réciproques l'une de l'autre
Argument: Le nombre dont on prend le logarithme, le $x$ dans $\ln x$ ; il doit être strictement positif
Ensemble de définition: Toutes les valeurs autorisées pour la variable ; pour $y = \ln x$ , c'est $x > 0$
Équation exponentielle: Une équation où l'inconnue est dans l'exposant, comme $e^x = 20$

Carte des formules

Définition

\ln x = \log_e x

Logarithme de base $e \approx 2{,}71828$

Forme exponentielle

\ln x = y \iff e^y = x

Passer d'une forme à l'autre

Valeurs clés

\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1

Car $e^0 = 1$ et $e^1 = e$

Règles de réciprocité

\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x

La seconde pour $x > 0$

Résoudre $e^x = k$

x = \ln k

Seulement pour $k > 0$

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Logarithme népérien (ln)

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Biologie : quand la culture atteindra-t-elle son objectif ?

Finance : temps de doublement avec intérêts continus

Médecine : combien de temps un médicament reste dans le sang

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Définition

Forme exponentielle

Valeurs clés

Règles de réciprocité

Résoudre $e^x = k$

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Définition du logarithme

Logarithme décimal (base 10)

Représenter graphiquement une fonction logarithme