Propriété de la puissance des logarithmes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle expression est égale à $\log_3(x^5)$ pour $x > 0$ ?
1. a) $5 \log_3 x$
2. b) $(\log_3 x)^5$
3. c) $\log_3(5x)$
4. d) $\log_3 5 + \log_3 x$
Réponse: $5 \log_3 x$
D'après la propriété de la puissance, $\log_3(x^5) = 5 \log_3 x$ . L'expression $(\log_3 x)^5$ élève tout le logarithme à la puissance 5, ce qui est différent.
2.
Calcule $\log_2(8^4)$ .
Réponse: 12
$\log_2(8^4) = 4 \log_2 8 = 4 \cdot 3 = 12$ . Vérification : $8^4 = 2^{12} = 4096$ .
3.
Calcule $\log_3(9^4)$ avec la propriété de la puissance.
Réponse: 8
1. La propriété de la puissance donne $4 \log_3 9$ . Combien vaut $\log_3 9$ ? 2
2. Multiplie : $4 \cdot \log_3 9 = ?$ 8
4.
Quelle expression est égale à $\log \sqrt{x}$ pour $x > 0$ ?
1. a) $2 \log x$
2. b) $\log \frac{x}{2}$
3. c) $\sqrt{\log x}$
4. d) $\frac{1}{2} \log x$
Réponse: $\frac{1}{2} \log x$
$\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ . Une racine carrée divise le logarithme par deux, elle ne le double pas.
5.
Calcule $\log_5(25^3)$ .
Réponse: 6
$\log_5(25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$ .
6.
Calcule $\log \sqrt{1000}$ (base 10).
Réponse: 3/2
1. Écris $\sqrt{1000} = 1000^k$ . Que vaut $k$ ? 1/2
2. Combien vaut $\log 1000$ ? 3
3. Propriété de la puissance : calcule $k \cdot \log 1000$ . 3/2
7.
Écris $3 \log x - 2 \log y$ sous la forme d'un seul logarithme.
1. a) $\log(x^3 - y^2)$
2. b) $\frac{\log x^3}{\log y^2}$
3. c) $\log \frac{x^3}{y^2}$
4. d) $\log \frac{3x}{2y}$
Réponse: $\log \frac{x^3}{y^2}$
$3 \log x = \log x^3$ et $2 \log y = \log y^2$ , donc $3 \log x - 2 \log y = \log x^3 - \log y^2 = \log \frac{x^3}{y^2}$ .
8.
Calcule $\log_4 \sqrt{64}$ . Donne le résultat sous forme de fraction ou de nombre décimal.
Réponse: 3/2
$\log_4 \sqrt{64} = \frac{1}{2} \log_4 64 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Vérification : $\sqrt{64} = 8$ et $4^{1{,}5} = 8$ .
9.
Développe $\log_2(x^3 y^5)$ sous la forme $a \log_2 x + b \log_2 y$ , puis calcule sa valeur pour $x = 2$ et $y = 4$ .
Réponse: 13
1. Quel est le coefficient $a$ de $\log_2 x$ ? 3
2. Quel est le coefficient $b$ de $\log_2 y$ ? 5
3. Avec $\log_2 2 = 1$ et $\log_2 4 = 2$ , calcule $3 \cdot 1 + 5 \cdot 2$ . 13
10.
Quelle affirmation est vraie ?
1. a) $3 \log 100 = 8$
2. b) $\log(100^3) = 6$
3. c) $\log(100^3) = 8$
4. d) $(\log 100)^3 = 6$
Réponse: $\log(100^3) = 6$
$\log(100^3) = 3 \log 100 = 3 \cdot 2 = 6$ d'après la propriété de la puissance. En revanche, $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , car c'est tout le logarithme qui est élevé au cube.
11.
Si $\log_3 x = 2{,}5$ , combien vaut $\log_3(x^4)$ ?
Réponse: 10
$\log_3(x^4) = 4 \log_3 x = 4 \cdot 2{,}5 = 10$ . Tu n'as même pas besoin de connaître $x$ .
12.
Écris $2 \log 5 + \log 4$ sous la forme d'un seul logarithme et calcule-le.
Réponse: 2
1. Propriété de la puissance à l'envers : $2 \log 5 = \log ?$ 25
2. Propriété du produit : $\log 25 + \log 4 = \log ?$ 100
3. Combien vaut $\log 100$ ? 2
13.
Développe $\ln \dfrac{x^4}{\sqrt{y}}$ sous la forme $a \ln x + c \ln y$ , puis calcule sa valeur quand $\ln x = 1$ et $\ln y = 6$ .
Réponse: 1
1. Quel est le coefficient $a$ de $\ln x$ ? 4
2. Quel est le coefficient $c$ de $\ln y$ ? (Attention au signe.) -1/2
3. Calcule $4 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 6$ . 1
14.
Développe $\ln \dfrac{x^2 \sqrt[3]{y}}{z^4}$ (toutes les variables sont positives).
1. a) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
2. b) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y + 4 \ln z$
3. c) $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$
4. d) $\frac{2}{3} \ln(xy) - 4 \ln z$
Réponse: $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
Propriété du quotient, du produit, puis de la puissance : $\ln x^2 + \ln y^{1/3} - \ln z^4 = 2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$ .
15.
Utilise $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ pour donner une valeur approchée de $\log 48$ , avec 3 décimales.
Réponse: 1.681
$\log 48 = \log(2^4 \cdot 3) = 4 \log 2 + \log 3 \approx 4 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 1{,}204 + 0{,}477 = 1{,}681$ .
16.
Calcule $3 \log_2 4 - \frac{1}{2} \log_2 16$ en le regroupant en un seul logarithme.
Réponse: 4
1. $3 \log_2 4 = \log_2 4^3 = \log_2 ?$ 64
2. $\frac{1}{2} \log_2 16 = \log_2 16^{1/2} = \log_2 ?$ 4
3. Propriété du quotient : $\log_2 64 - \log_2 4 = \log_2 ?$ 16
4. Combien vaut $\log_2 16$ ? 4
17.
Utilise $\ln 2 \approx 0{,}693$ et $\ln 3 \approx 1{,}099$ pour donner une valeur approchée de $\ln \sqrt{72}$ . Calcule uniquement avec ces valeurs et n'arrondis pas.
Réponse: 2.1385
1. $72 = 2^a \cdot 3^2$ . Que vaut $a$ ? 3
2. $\ln 72 = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ . Calcule $3 \cdot 0{,}693 + 2 \cdot 1{,}099$ . 4.277
3. $\ln \sqrt{72} = \frac{1}{2} \ln 72$ . Calcule la moitié de $4{,}277$ . 2.1385
18.
Combien de chiffres a $3^{50}$ ? Utilise $\log 3 \approx 0{,}477$ .
Réponse: 24
1. Propriété de la puissance : $\log(3^{50}) = 50 \log 3$ . Calcule $50 \cdot 0{,}477$ . 23.85
2. Quelle est la partie entière de ce résultat ? 23
3. Ajoute 1. Combien de chiffres a $3^{50}$ ? 24