Guide de l'enseignant: Propriété de la puissance des logarithmes

Apprends comment la propriété de la puissance fait passer un exposant devant le logarithme, comment les racines deviennent des puissances fractionnaires, et comment développer et regrouper avec les trois propriétés.

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10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la propriété $\log_b(M^p) = p \log_b M$ et expliquer pourquoi elle découle des règles sur les puissances
Réécrire le logarithme d'une racine à l'aide d'exposants fractionnaires
Développer des expressions logarithmiques avec les propriétés du produit, du quotient et de la puissance
Regrouper des sommes et des différences de logarithmes en un seul logarithme
Distinguer $\log(M^p)$ de $(\log M)^p$

Prérequis

• Définition du logarithme
• Propriété du produit pour les logarithmes
• Propriété du quotient des logarithmes
• Règles sur les puissances, dont $(b^x)^p = b^{px}$ et $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Amorces de discussion

1. Si un logarithme est un exposant, que lui arrive-t-il quand on élève l'argument au cube ?
2. Pourquoi $\log \sqrt{x}$ est-il la moitié de $\log x$ et pas le double ?
3. Comment savoir combien de chiffres a $2^{100}$ sans le calculer ?
4. La calculatrice affiche $\log(100^3) = 6$ mais $(\log 100)^3 = 8$ . Lequel suit la propriété de la puissance, et pourquoi ?

Idées reçues courantes

Croire que $(\log x)^2 = 2 \log x$

Remédiation: Teste avec $x = 1000$ : $(\log 1000)^2 = 9$ mais $2 \log 1000 = 6$ . Montre ensuite les trois courbes du graphique et laisse les élèves trouver où elles diffèrent.

Déplacer un exposant qui ne porte que sur un facteur ( $\log 5x^3 = 3 \log 5x$ )

Remédiation: Fais entourer exactement ce sur quoi porte l'exposant avant d'appliquer une propriété. Toujours la propriété du produit d'abord, puis celle de la puissance.

Penser que la propriété ne marche qu'avec un exposant entier

Remédiation: Démontre la propriété à partir de $(b^x)^p = b^{px}$ , vraie pour tout réel $p$ , et entraîne-toi avec des racines et des exposants négatifs.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des puissances de la base : $\log_2(2^5)$ , $\log_2(4^3)$ , $\log 10^7$
• Donner une liste de contrôle : pour développer, propriété du produit, du quotient, puis de la puissance, dans cet ordre
• Vérifier chaque transformation à la calculatrice avant de continuer

Pour les élèves au niveau:

• Développer et regrouper des expressions à trois variables avec des racines
• Approcher des logarithmes comme $\log 72$ ou $\log 48$ à partir de $\log 2$ et $\log 3$
• Justifier chaque étape par le nom de la propriété utilisée

Pour les élèves avancés:

• Démontrer la propriété à partir de la définition et des règles sur les puissances
• Utiliser la propriété pour compter les chiffres de $3^{100}$ ou de $2^{1000}$
• Étudier avec le graphique pourquoi $\log(x^2) = 2 \log |x|$ pour tout $x \neq 0$

Alignement aux standards

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre puissances et logarithmes et l'utiliser pour résoudre des problèmes
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Exprimer la solution d'un modèle exponentiel sous forme de logarithme et la calculer avec un outil numérique
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Utiliser la structure d'une expression pour trouver des façons de la réécrire

Ressources de la leçon

visualGraphique à trois courbes
Compare $y = \log(x^2)$ , $y = 2 \log x$ et $y = (\log x)^2$ ainsi que leurs tableaux de valeurs
activityVérification à la calculatrice
Les élèves testent des affirmations comme $\log 8 = 3 \log 2$ et $\log(100^3) = (\log 100)^3$ dans la calculatrice
worksheetRelais développer et regrouper
En binôme, l'un développe un logarithme, l'autre le regroupe à nouveau

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La propriété de la puissance des logarithmes dit qu'un exposant à l'intérieur d'un logarithme peut passer devant, comme facteur :

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Elle est vraie pour tout exposant réel

p

, à condition que

M > 0

b > 0

b \neq 1

Pourquoi c'est vrai : pose

x = \log_b M

, donc

M = b^x

. Alors

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, et le logarithme de

b^{px}

vaut tout simplement

px

. Donc

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Les racines sont aussi des puissances. Comme

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Exemple :

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

, et

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Avec la propriété du produit (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) et la propriété du quotient (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

), la propriété de la puissance te permet de développer un logarithme en plusieurs logarithmes simples, ou de regrouper plusieurs logarithmes en un seul.

Exemples résolus

Calcule $\log_2(8^5)$ sans calculatrice.

Fais passer l'exposant devant

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Calcule le logarithme plus simple

$2^3 = 8$ , donc $\log_2 8 = 3$

Multiplie

$5 \cdot 3 = 15$

Réponse: $\log_2(8^5) = 15$ . Vérification : $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Erreurs courantes

Traiter $(\log M)^p$ comme $p \log M$

Pourquoi c'est faux: La propriété de la puissance ne s'applique que si l'exposant porte sur l'argument, à l'intérieur du logarithme. Dans $(\log M)^p$ , c'est tout le logarithme qui est élevé à la puissance. Exemple : $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , mais $3 \log 100 = 6$ .

Correct: $\log(M^p) = p \log M$ , alors que $(\log M)^p$ ne se simplifie pas avec cette propriété. Regarde où se trouve l'exposant avant de le déplacer.

Appliquer l'exposant à tout l'argument : $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Pourquoi c'est faux: Dans $3x^2$ , seul $x$ est au carré, pas le $3$ . Vérifie avec $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , mais $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Correct: Sépare d'abord le produit : $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Transformer une racine carrée en facteur 2 : $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Pourquoi c'est faux: Une racine carrée est la puissance $\frac{1}{2}$ , pas la puissance $2$ . L'indice de la racine va au dénominateur.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ , et $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

Regrouper $3 \log x - \log y$ en $\log \frac{3x}{y}$

Pourquoi c'est faux: Un coefficient devant un logarithme est un exposant de l'argument, pas un facteur de celui-ci.

Correct: Fais d'abord monter le coefficient : $3 \log x = \log x^3$ . Ensuite $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Pourquoi c'est important

C'est la propriété de la puissance qui rend les logarithmes vraiment utiles :

Résoudre des équations exponentielles : dans $1{,}05^t = 2$ , l'inconnue est dans l'exposant. En prenant le logarithme et en appliquant la propriété de la puissance, on obtient $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ : l'exposant descend et devient un facteur ordinaire.
Nombres gigantesques : $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ t'indique tout de suite que $2^{64}$ a 20 chiffres, sans le calculer.
Échelles scientifiques : décibels, pH et échelle de Richter utilisent des logarithmes ; la propriété de la puissance explique pourquoi élever un rapport d'intensités au carré double la variation en décibels.
Analyse : avant de dériver un produit compliqué de puissances, on développe son logarithme grâce à la propriété de la puissance.

C'est la dernière des trois grandes propriétés des logarithmes, et désormais tu utiliseras les trois ensemble dans presque chaque exercice sur les logarithmes.

Applications dans le monde réel

Intensité sonore en décibels

La variation du niveau sonore vaut $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ décibels, où $\frac{I_2}{I_1}$ indique combien de fois l'intensité augmente. La propriété de la puissance transforme les puissances de 10 en simples multiplications.

Exemple:

Si tu doubles ta distance à un haut-parleur, l'intensité est divisée par $2^2 = 4$ , donc $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Essaie par toi-même

Tu es à 2 m d'un haut-parleur et tu recules jusqu'à 20 m. L'intensité sonore diminue avec le carré de la distance : elle est donc divisée par $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ . Le niveau baisse de $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ décibels.

De combien de décibels le niveau sonore baisse-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $10 \log(10^2)$ :

Compter les chiffres de nombres gigantesques

Un entier naturel $N$ a $\lfloor \log N \rfloor + 1$ chiffres. Grâce à la propriété de la puissance, tu peux compter les chiffres de puissances énormes sans les calculer.

Exemple:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , donc $2^{10} = 1024$ a $3 + 1 = 4$ chiffres.

2Essaie par toi-même

Les ordinateurs utilisent souvent des nombres sur $64$ bits, et $2^{64}$ est le nombre de valeurs différentes qu'ils peuvent stocker. Utilise $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Combien de chiffres a $2^{64}$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Nombre de chiffres : $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Croissance d'une population

Une population qui augmente d'un pourcentage fixe chaque année est une fonction exponentielle du temps. Pour savoir quand elle atteint un objectif, la propriété de la puissance fait descendre le temps de l'exposant.

Exemple:

Avec une croissance de 10 % par an, une population double quand $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$ , donc $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ ans.

3Essaie par toi-même

Une ville compte 20000 habitants et sa population augmente de 3 % par an. Après $t$ années, elle compte $20000 \cdot 1{,}03^t$ habitants.

Après combien d'années complètes la ville compte-t-elle au moins 30000 habitants ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Arrondis $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ à l'année entière supérieure :

Points clés

1Propriété de la puissance : $\log_b(M^p) = p \log_b M$ pour $M > 0$ et tout exposant réel $p$
2Les racines sont des puissances fractionnaires : $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Un inverse est la puissance $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Développer : sépare d'abord produits et quotients, puis fais passer chaque exposant devant
5Regrouper : transforme d'abord chaque coefficient en exposant, puis réunis les sommes en produits et les différences en quotients
6 $(\log M)^p$ n'est pas $p \log M$ : l'exposant doit être à l'intérieur du logarithme

Questions fréquentes

Pourquoi la propriété de la puissance est-elle vraie ?

Un logarithme est un exposant. Si

\log_b M = x

, alors

M = b^x

M^p = b^{px}

. Élever à la puissance

p

multiplie l'exposant par

p

, donc le logarithme (l'exposant) est lui aussi multiplié par

p

L'exposant doit-il être un nombre entier ?

Non. La propriété est vraie pour tout exposant réel : négatif (

\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M

), fractionnaire (

\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M

) et même irrationnel.

$\log(x^2)$ et $2 \log x$ sont-elles vraiment la même fonction ?

Seulement pour

x > 0

. La fonction

\log(x^2)

existe aussi pour

x

négatif (par exemple

\log((-10)^2) = \log 100 = 2

), mais pas

2 \log x

. Pour tout

x \neq 0

, l'énoncé exact est

\log(x^2) = 2 \log |x|

. Le graphique ci-dessus montre les deux courbes.

Quand faut-il développer et quand faut-il regrouper ?

Développe quand tu veux des morceaux simples, par exemple pour approcher

\log 72

à partir de

\log 2

\log 3

. Regroupe quand tu veux un seul logarithme, par exemple pour résoudre une équation comme

2 \log x - \log 4 = 2

(voir Résoudre des équations logarithmiques).

Glossaire

Propriété de la puissance: La propriété des logarithmes $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exposant: Le nombre qui indique combien de fois la base est utilisée comme facteur, comme dans $M^p$
Exposant fractionnaire: Un exposant écrit sous forme de fraction ; $M^{1/n}$ est la racine $n$ -ième de $M$
Développer: Écrire un logarithme comme une somme et une différence de logarithmes plus simples
Regrouper: Écrire plusieurs logarithmes sous la forme d'un seul logarithme
Coefficient: Un nombre qui multiplie un logarithme, comme le $3$ de $3 \log x$ ; la propriété de la puissance le transforme en exposant

Carte des formules

Propriété de la puissance

\log_b(M^p) = p \log_b M

L'exposant de l'argument passe devant

Racine

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Car $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Inverse

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Car $\frac{1}{M} = M^{-1}$

Propriété du produit

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Rappel : les produits deviennent des sommes

Propriété du quotient

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Rappel : les quotients deviennent des différences

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Intensité sonore en décibels

Compter les chiffres de nombres gigantesques

Croissance d'une population

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Propriété de la puissance

Racine

Inverse

Propriété du produit

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