Guide de l'enseignant: Suite de Fibonacci

Découvre la suite de Fibonacci, où chaque terme est la somme des deux précédents, ses motifs cachés et pourquoi le rapport de deux termes voisins s'approche du nombre d'or.

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Quiz de classe

10 questions sur Suites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer les termes de la suite de Fibonacci avec la relation $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Expliquer comment le problème des lapins de Fibonacci produit la suite
Reconnaître et utiliser le motif des termes pairs et la règle $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$
Calculer les rapports de termes voisins et décrire comment ils s'approchent du nombre d'or
Examiner de façon critique les affirmations sur les nombres de Fibonacci dans la nature et l'art

Prérequis

• Introduction aux suites : les termes et la notation $a_n$
• Suites arithmétiques et géométriques (différence constante et rapport constant)
• Diviser des nombres entiers et arrondir des nombres décimaux
• Racines carrées comme $\sqrt{5} \approx 2{,}236$

Amorces de discussion

1. En quoi la règle de Fibonacci diffère-t-elle des règles des suites arithmétiques et géométriques ?
2. Dans le modèle des lapins, aucun lapin ne meurt. Que changerait-il si les couples mouraient après quelques mois ?
3. Pourquoi un nombre de Fibonacci sur trois est-il pair ? Pense à impair + impair et impair + pair.
4. Si quelqu'un affirme que le nombre d'or se cache dans un tableau célèbre, que faudrait-il vérifier avant de le croire ?

Idées reçues courantes

Le terme suivant est le double du précédent

Remédiation: Place $1, 1, 2, 4, 8$ à côté de $1, 1, 2, 3, 5$ et demande aux élèves d'énoncer la règle de chacune. Insiste sur le fait que la règle de Fibonacci utilise DEUX termes précédents.

Les rapports atteignent exactement $1{,}618$ à un moment donné

Remédiation: Fais calculer les rapports à 5 décimales dans un tableau : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}61538$ , $1{,}61905$ , ... Les élèves verront l'alternance et qu'aucune fraction n'est égale au nombre irrationnel $\varphi$ .

Les nombres de Fibonacci et le nombre d'or sont partout dans la nature et l'art

Remédiation: Rassemblez de vrais comptages sur des pommes de pin ou des capitules et cherchez les exceptions. Parlez du nautile, dont la spirale n'est pas d'or, et montrez qu'on peut poser un rectangle d'or sur presque n'importe quelle image.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser un tableau avec une ligne pour le rang et une ligne pour la valeur, et le remplir en additionnant les deux cases de gauche
• Mimer le problème des lapins avec des cartes pour les couples adultes et les couples de bébés
• Autoriser la calculatrice pour les rapports afin de rester concentré sur le motif

Pour les élèves au niveau:

• Trouver les termes jusqu'à $F_{15}$ et vérifier la règle de la somme pour plusieurs valeurs de $n$
• Calculer les rapports de termes voisins et les représenter en fonction de $n$
• Résoudre le problème de l'escalier pour 5 à 10 marches

Pour les élèves avancés:

• Expliquer pourquoi un terme sur trois est pair à l'aide des sommes de nombres pairs et impairs
• Montrer que $r = 1 + \frac{1}{r}$ conduit à $r^2 = r + 1$ et résoudre l'équation
• Essayer d'autres termes initiaux (nombres de Lucas, 3 et 10) et expliquer pourquoi la limite du rapport ne change pas

Alignement aux standards

HSF-IF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.3)
Reconnaître que les suites sont des fonctions, parfois définies par récurrence, comme la suite de Fibonacci
HSF-BF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2)
Écrire des suites par récurrence et les utiliser pour modéliser des situations
8.NS.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.2)
Utiliser des approximations rationnelles de nombres irrationnels pour estimer leur valeur

Ressources de la leçon

visualCarrés et spirale de Fibonacci
Les élèves ajoutent des carrés dont les côtés sont des nombres de Fibonacci, voient grandir la spirale d'or et observent le graphique des rapports osciller autour de 1,618
activityCompter les spirales
Les élèves comptent les spirales dans les deux sens sur des pommes de pin, des ananas ou des photos de tournesols et notent si ce sont des nombres de Fibonacci
worksheetMotifs de Fibonacci
Trouver des termes, tester le motif des termes pairs et la règle de la somme, et calculer des rapports pour les nombres de Fibonacci et de Lucas

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La suite de Fibonacci est la liste de nombres

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

dans laquelle chaque terme après les deux premiers est la somme des deux termes précédents :

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, et ainsi de suite.

La relation de récurrence

On note les termes

F_1, F_2, F_3, \ldots

et on écrit :

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ pour } n \geq 3

Tu verras aussi l'écriture

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. C'est une relation de récurrence : pour obtenir un terme, il te faut les termes juste avant. Dans une suite arithmétique, tu ajoutes toujours la même raison

d

, dans une suite géométrique, tu multiplies toujours par la même raison

r

, mais ici la quantité ajoutée ne cesse de grandir.

Les lapins de Fibonacci

En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, a posé un problème de lapins dans son livre *Liber Abaci*. Aujourd'hui, on le raconte en général ainsi : on place un couple de lapins nouveau-nés dans un pré. Un couple devient adulte au bout d'un mois, et à partir de là chaque couple adulte donne naissance à un nouveau couple chaque mois. Aucun lapin ne meurt. En comptant les couples mois après mois, on obtient

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(Chez Fibonacci, le premier couple avait des petits dès le premier mois, donc son décompte commençait par

1, 2, 3, 5, \ldots

, les mêmes nombres. Des savants indiens les avaient déjà trouvés des siècles plus tôt en comptant les rythmes de syllabes longues et brèves en poésie.)

Des motifs cachés

Un terme sur trois est pair : $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , et tous les autres termes sont impairs.
**Somme des $n$ premiers termes** : $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Par exemple $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Rapport de deux voisins : $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se rapproche de plus en plus du nombre d'or

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Exemples résolus

La suite de Fibonacci commence par

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Calcule

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Repère les deux derniers termes connus

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Additionne-les pour obtenir $F_{10}$

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Additionne les deux derniers termes pour obtenir $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Recommence une fois pour $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Réponse: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ et $F_{12} = 144$ . Additionne toujours les deux termes les plus récents.

Erreurs courantes

Doubler le dernier terme : $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Pourquoi c'est faux: Doubler donne une suite géométrique. La règle de Fibonacci additionne les DEUX derniers termes, et ils ne sont pas égaux (sauf tout au début).

Correct: Après $2$ vient $1 + 2 = 3$ , puis $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Se tromper de rang, par exemple dire $F_{10} = 89$

Pourquoi c'est faux: Les deux premiers termes valent tous les deux $1$ , on en saute donc facilement un. Certains livres mettent aussi un $0$ au début ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ) ; si on compte ce $0$ comme premier terme, chaque rang est décalé d'une unité.

Correct: Écris les rangs au-dessus des termes : $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Vérifie avec quel départ travaille ton livre.

Croire que les rapports montent régulièrement jusqu'à $1{,}618$ , ou qu'un rapport vaut exactement $\varphi$

Pourquoi c'est faux: Les rapports sautent au-dessus et en dessous de $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Chaque rapport est une fraction et $\varphi$ est irrationnel, donc aucun rapport ne lui est jamais égal.

Correct: Dis que les rapports s'approchent de $\varphi$ des deux côtés, aussi près qu'on veut, sans jamais l'atteindre.

Croire que toute spirale et tout beau rectangle sont de Fibonacci ou d'or

Pourquoi c'est faux: La coquille du nautile est une spirale, mais son rapport de croissance n'est pas $\varphi$ . Beaucoup d'affirmations sur le nombre d'or dans le Parthénon ou la Joconde dépendent de l'endroit où l'on choisit de tracer les lignes.

Correct: Compte ou mesure d'abord. Les nombres de spirales des tournesols et des pommes de pin sont souvent des nombres de Fibonacci, mais pas toujours, et les affirmations sur l'art demandent de vraies mesures.

Pourquoi c'est important

La suite de Fibonacci est l'un des motifs les plus célèbres des mathématiques, et elle apparaît à des endroits surprenants :

Plantes : beaucoup de capitules de tournesol montrent 34 spirales dans un sens et 55 dans l'autre, les pommes de pin souvent 8 et 13, les ananas aussi 8 et 13. Placer les graines avec un angle de rotation constant (environ $137{,}5°$ , lié à $\varphi$ ) les répartit régulièrement, presque sans trous, et les nombres de spirales de Fibonacci en découlent.
Dénombrement : le nombre de façons de monter un escalier en montant 1 ou 2 marches à la fois est un nombre de Fibonacci.
Unités : comme $\varphi \approx 1{,}618$ est proche de $1{,}609$ (kilomètres dans un mile), deux nombres de Fibonacci voisins convertissent les miles en kilomètres : 5 miles font environ 8 km, 8 miles environ 13 km.
Pensée récursive : construire chaque étape à partir des précédentes, c'est ainsi que fonctionnent beaucoup de programmes informatiques et de modèles de croissance.

Pour être honnête : toutes les spirales de la nature ne sont pas des spirales de Fibonacci, les comptages sur les plantes ratent parfois d'une unité, et beaucoup d'affirmations sur le nombre d'or dans des tableaux ou des monuments célèbres sont exagérées. Un bon mathématicien vérifie les nombres avant de croire l'histoire.

Applications dans le monde réel

Les spirales du tournesol

Les graines d'un capitule de tournesol forment deux familles de spirales, l'une dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse. Leurs nombres sont très souvent deux nombres de Fibonacci voisins.

Exemple:

Un tournesol typique montre 34 spirales dans un sens et 55 dans l'autre. Les petits capitules peuvent montrer 21 et 34, les très grands 89 et 144. Certains capitules ne suivent pas le motif, donc compte toujours.

1Essaie par toi-même

Un tournesol géant a 55 spirales dans le sens des aiguilles d'une montre. Ses spirales dans le sens inverse suivent le nombre de Fibonacci suivant.

Combien de spirales dans le sens inverse attends-tu ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne 55 et le nombre de Fibonacci juste avant :

Monter un escalier

Si tu montes un escalier en prenant 1 ou 2 marches à la fois, le nombre de façons différentes d'arriver en haut suit la règle de Fibonacci.

Exemple:

1 marche : 1 façon. 2 marches : 2 façons (1 + 1 ou 2). 3 marches : 3 façons. Pour atteindre la marche $n$ , ton dernier pas part de la marche $n - 1$ (pas de 1) ou de la marche $n - 2$ (pas de 2), donc façons( $n$ ) = façons( $n - 1$ ) + façons( $n - 2$ ).

2Essaie par toi-même

Un escalier a 8 marches. Tu montes 1 ou 2 marches à la fois. 1 marche donne 1 façon, 2 marches donnent 2 façons, et chaque nombre suivant est la somme des deux précédents.

De combien de façons différentes peux-tu monter les 8 marches ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les façons pour 6 et 7 marches :

Des miles aux kilomètres

Un mile vaut environ $1{,}609$ km, très proche de $\varphi \approx 1{,}618$. Un nombre de Fibonacci en miles correspond donc à peu près au nombre de Fibonacci suivant en kilomètres.

Exemple:

5 miles $\approx$ 8 km (exactement $8{,}05$ km), 8 miles $\approx$ 13 km (exactement $12{,}87$ km), 13 miles $\approx$ 21 km (exactement $20{,}92$ km).

3Essaie par toi-même

Un parcours à vélo mesure 21 miles. Tu veux une estimation rapide en kilomètres.

Environ combien de kilomètres font 21 miles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le nombre de Fibonacci qui suit 21 :

Points clés

1La suite de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ suit la relation de récurrence $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ avec $F_1 = F_2 = 1$
2Le problème des lapins de Fibonacci (1202) donne exactement ces nombres mois après mois
3Un terme sur trois est pair ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) et tous les autres sont impairs
4La somme des $n$ premiers termes vaut $F_{n+2} - 1$
5Le rapport $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tend vers le nombre d'or $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , en passant tour à tour au-dessus et en dessous
6D'autres termes initiaux, comme les nombres de Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , donnent la même limite $\varphi$ ; les nombres de Fibonacci sont fréquents chez les plantes, mais pas dans toutes les spirales

Questions fréquentes

Pourquoi les rapports tendent-ils vers $1{,}618$ et pas vers un autre nombre ?

Si le rapport se stabilise vers un nombre

r

, alors

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

devient

r = 1 + \frac{1}{r}

, donc

r^2 = r + 1

. La solution positive est

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, le nombre d'or. Vérification :

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Existe-t-il une formule pour $F_n$ sans écrire tous les termes ?

Oui, c'est la formule de Binet :

F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}

. Même si elle contient

\sqrt{5}

, elle donne toujours un nombre entier. Sa démonstration viendra plus tard en algèbre ; pour l'instant, additionner les termes reste la méthode sûre.

La suite commence-t-elle par 0 ou par 1 ?

Les deux versions sont courantes. Beaucoup de livres ajoutent

F_0 = 0

devant :

0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots

Avec

F_0 = 0

F_1 = 1

, chaque terme garde son rang (

F_{10} = 55

dans les deux cas) ; les rangs ne sont décalés que si on appelle ce

0

le premier terme. Dans cette leçon,

F_1 = F_2 = 1

Le nombre d'or se cache-t-il vraiment dans le Parthénon et la Joconde ?

Sans doute beaucoup moins qu'on ne le prétend. Si on choisit librement ses lignes, on trouve presque toujours deux longueurs dont le rapport est proche de

1{,}6

, et il y a peu de preuves historiques que ces artistes l'aient voulu. Les spirales des plantes sont bien mieux établies, et même là les nombres ne sont pas toujours des nombres de Fibonacci.

Glossaire

Suite de Fibonacci: La suite $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ où chaque terme est la somme des deux termes précédents
Relation de récurrence: Une règle qui calcule chaque terme à partir des termes précédents, par exemple $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Nombre d'or ( $\varphi$ ): Le nombre $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , limite du rapport de deux nombres de Fibonacci voisins
Nombres de Lucas: La suite $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ construite avec la règle de Fibonacci à partir des nombres 2 et 1
Spirale d'or: La spirale formée de quarts de cercle tracés dans des carrés dont les côtés sont des nombres de Fibonacci

Carte des formules

Relation de récurrence

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Chaque terme est la somme des deux précédents

Somme des $n$ premiers termes

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Un de moins que le terme situé deux rangs plus loin

Nombre d'or

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

La limite de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Propriété clé de $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

Élever $\varphi$ au carré revient à lui ajouter 1

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Pour les élèves en difficulté:

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Contenu de la leçon

Définition

La relation de récurrence

Les lapins de Fibonacci

Des motifs cachés

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Les spirales du tournesol

Monter un escalier

Des miles aux kilomètres

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Relation de récurrence

Somme des $n$ premiers termes

Nombre d'or

Propriété clé de $\varphi$

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