Suite de Fibonacci

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel nombre vient ensuite ? $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
1. a)20
2. b)18
3. c)21
4. d)26
Réponse: 21
Le terme suivant est $8 + 13 = 21$ .
2.
Avec $F_1 = F_2 = 1$ , combien vaut $F_{10}$ , le 10e nombre de Fibonacci ?
Réponse: 55
$F_8 = 21$ et $F_9 = 34$ , donc $F_{10} = 21 + 34 = 55$ .
3.
Quelle règle produit la suite de Fibonacci ?
1. a)Additionner les deux termes précédents
2. b)Élever le terme précédent au carré
3. c)Multiplier le terme précédent par 2
4. d)Ajouter 2 au terme précédent
Réponse: Additionner les deux termes précédents
Chaque terme est la somme des deux précédents : $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . Doubler donnerait plutôt $1, 2, 4, 8, \ldots$
4.
Deux nombres de Fibonacci voisins sont $34$ et $55$ . Quel est le terme suivant ?
Réponse: 89
$34 + 55 = 89$ .
5.
Dans le problème des lapins de Fibonacci, il y a $1, 1, 2, 3$ couples aux mois 1 à 4. Combien y a-t-il de couples au mois 7 ?
Réponse: 13
1. Combien y a-t-il de couples au mois 5 ? 5
2. Combien y a-t-il de couples au mois 6 ? 8
3. Combien y a-t-il de couples au mois 7 ? 13
6.
Pars de $F_4 = 3$ et $F_5 = 5$ et trouve $F_8$ .
Réponse: 21
1. Combien vaut $F_6$ ? 8
2. Combien vaut $F_7$ ? 13
3. Combien vaut $F_8$ ? 21
7.
Quel rapport de nombres de Fibonacci voisins est le plus proche du nombre d'or $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)13/8
2. b)89/55
3. c)3/2
4. d)8/5
Réponse: 89/55
$\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ , alors que $\frac{8}{5} = 1{,}6$ , $\frac{3}{2} = 1{,}5$ et $\frac{13}{8} = 1{,}625$ . Plus les termes sont loin, plus on est proche de $\varphi$ .
8.
Calcule la somme des 10 premiers nombres de Fibonacci : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55$ .
Réponse: 143
La somme vaut $F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$ .
9.
Deux nombres de Fibonacci voisins sont $233$ et $377$ . Remonte la suite : quel terme se trouve deux rangs avant $233$ ?
Réponse: 89
1. Quel terme vient juste avant $233$ ? 144
2. Quel terme vient avant celui-ci ? 89
3. Vérification : combien font $89 + 144$ ? 233
10.
Un nombre de Fibonacci sur trois est pair. Lequel de ces termes est pair ?
1. a) $F_{24}$
2. b) $F_{20}$
3. c) $F_{22}$
4. d) $F_{25}$
Réponse: $F_{24}$
$24 = 3 \times 8$ est un multiple de 3, donc $F_{24}$ est pair (il vaut $46368$ ). 20, 22 et 25 ne sont pas des multiples de 3.
11.
Les nombres de Lucas suivent la règle de Fibonacci mais commencent par 2 et 1 : $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ Quel est le terme suivant ?
Réponse: 29
$11 + 18 = 29$ .
12.
Les nombres de Fibonacci $8$ et $13$ sont voisins. Trouve le terme suivant, puis le rapport de ce terme à $13$ , arrondi à 3 décimales.
Réponse: 1.615
1. Quel est le terme suivant après $13$ ? 21
2. Combien vaut $\frac{21}{13}$ arrondi à 3 décimales ? 1.615
3. Quel est l'écart entre $1{,}615$ et $1{,}618$ ? 0.003
13.
Utilise la règle $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ pour calculer $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13$ .
Réponse: 33
1. Combien de termes additionne-t-on ? (C'est $n$ .) 7
2. La règle utilise $F_{n+2}$ . Combien vaut $n + 2$ ? 9
3. Combien vaut $F_9$ ? 34
4. Combien vaut la somme $F_9 - 1$ ? 33
14.
Le nombre d'or vérifie $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Avec $\varphi \approx 1{,}618$ , combien vaut $\varphi^2$ ?
1. a)2,618
2. b)3,236
3. c)2,236
4. d)1,309
Réponse: 2,618
$\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 1{,}618 + 1 = 2{,}618$ . Vérification : $1{,}618 \times 1{,}618 \approx 2{,}618$ . ( $3{,}236$ vaut $2\varphi$ , pas $\varphi^2$ .)
15.
Tu montes un escalier 1 ou 2 marches à la fois. Il y a 1 façon pour 1 marche et 2 façons pour 2 marches, et chaque nombre suivant est la somme des deux précédents. De combien de façons peux-tu monter 10 marches ?
Réponse: 89
Pour 1 à 10 marches : $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$ . On peut donc monter 10 marches de $89$ façons (c'est $F_{11}$ ).
16.
Une nouvelle suite suit la règle de Fibonacci mais commence par $4$ et $10$ . Trouve les termes 3 à 6, puis le rapport du 6e terme au 5e, arrondi à 2 décimales.
Réponse: 1.63
1. Quel est le 3e terme ? 14
2. Quel est le 4e terme ? 24
3. Quel est le 5e terme ? 38
4. Quel est le 6e terme ? 62
5. Combien vaut $\frac{62}{38}$ arrondi à 2 décimales ? 1.63
17.
Combien des 30 premiers nombres de Fibonacci $F_1, F_2, \ldots, F_{30}$ sont pairs ?
Réponse: 10
1. À quel rang se trouve le premier nombre de Fibonacci pair ? 3
2. À quel rang se trouve le suivant ? 6
3. Les termes pairs sont aux multiples de 3. Combien y a-t-il de multiples de 3 de 1 à 30 ? 10
18.
Vérifie numériquement que $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ satisfait $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ . Arrondis chaque résultat à 3 décimales.
Réponse: 1.618
1. Combien vaut $\sqrt{5}$ arrondi à 3 décimales ? 2.236
2. Combien vaut $\frac{1 + 2{,}236}{2}$ ? 1.618
3. Combien vaut $\frac{1}{1{,}618}$ arrondi à 3 décimales ? 0.618
4. Combien font $1 + 0{,}618$ ? 1.618