Introduction à la loi normale

Découvre la courbe en cloche, la distribution de probabilité la plus importante en statistique.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La loi normale (également appelée distribution gaussienne ou courbe en cloche) est une distribution de probabilité symétrique en forme de cloche qui décrit comment de nombreux phénomènes naturels sont répartis autour d'une valeur moyenne.

Propriétés clés

  1. 1.Symétrique : La distribution est parfaitement symétrique autour de la moyenne (μ\mu)
  2. 2.En forme de cloche : La plupart des valeurs se regroupent près du centre, avec moins de valeurs aux extrémités
  3. 3.Moyenne = Médiane = Mode : Les trois mesures de tendance centrale sont égales
  4. 4.Définie par deux paramètres :
  • Moyenne (μ\mu) : Le centre de la distribution
  • Écart-type (σ\sigma) : La dispersion des données

La loi normale centrée réduite

Quand μ=0\mu = 0 et σ=1\sigma = 1, nous avons la loi normale centrée réduite :
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Cette formule convertit n'importe quelle valeur XX en un score Z, indiquant combien d'écarts-types elle se trouve de la moyenne.

Essaie tout de suite

Quelle forme a la loi normale ?

Exemples résolus

La taille des hommes adultes dans un pays suit une loi normale avec moyenne μ=175\mu = 175 cm et écart-type σ=7\sigma = 7 cm. Quel pourcentage d'hommes mesurent entre 168 cm et 182 cm ?
1

Identifier les limites en termes d'écarts-types

168=175−7=μ−1σ168 = 175 - 7 = \mu - 1\sigma 182=175+7=μ+1σ182 = 175 + 7 = \mu + 1\sigma → Nous regardons ±1\pm 1 écart-type de la moyenne
2

Appliquer la règle 68-95-99,7

Dans 1 écart-type de la moyenne : 68% Dans 2 écarts-types : 95% Dans 3 écarts-types : 99,7% → 68% des données se trouvent dans 1 écart-type
3

Énoncer la réponse

Puisque 168 cm et 182 cm sont exactement à 1 écart-type de la moyenne → Environ 68% des hommes mesurent entre 168 cm et 182 cm

Erreurs courantes

Confondre écart-type et variance

Pourquoi c'est faux: La variance (σ2\sigma^2) est le carré de l'écart-type. Utiliser la variance au lieu de l'écart-type dans les calculs de score Z donne des résultats erronés.

Correct: Utilise toujours l'écart-type (σ\sigma) dans la formule du score Z : Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}

Oublier que la loi normale est symétrique

Pourquoi c'est faux: Les élèves calculent parfois les probabilités pour une seule extrémité et oublient de tenir compte de la symétrie.

Correct: La probabilité d'être à plus de 2 écarts-types au-dessus de la moyenne (2,5%) est égale à la probabilité d'être à plus de 2 écarts-types en dessous de la moyenne (2,5%).

Appliquer la règle 68-95-99,7 à des distributions non normales

Pourquoi c'est faux: Cette règle ne s'applique qu'aux lois normales. D'autres distributions peuvent avoir des pourcentages très différents.

Correct: Vérifie d'abord que tes données suivent une loi normale avant d'appliquer ces règles.

Penser qu'un score Z négatif est mauvais

Pourquoi c'est faux: Un score Z négatif signifie simplement que la valeur est en dessous de la moyenne, pas qu'elle est incorrecte ou invalide.

Correct: Les scores Z peuvent être positifs (au-dessus de la moyenne) ou négatifs (en dessous de la moyenne). Le contexte détermine si plus haut ou plus bas est souhaitable.

Visuel interactif

Loi normale

Taille des hommes : μ = 175 cm, σ = 7 cm

34,1 %34,1 %13,6 %13,6 %2,1 %2,1 %154μ − 3σ161μ − 2σ168μ − σ175μ182μ + σ189μ + 2σ196μ + 3σcm

μ = 175, σ = 7

Colorier entre

P(168 ≤ X ≤ 182) ≈ 0,6827 = 68,3 %z = -1, z = 1

Règle 68-95-99,7 : environ 68 % des valeurs sont à moins de 1σ de la moyenne, 95 % à moins de 2σ et 99,7 % à moins de 3σ.

Loi normale

Scores au test : μ = 500, σ = 100

200μ − 3σ300μ − 2σ400μ − σ500μ600μ + σ700μ + 2σ800μ + 3σ

μ = 500, σ = 100

Colorier entre

P(X ≤ 650) ≈ 0,9332 = 93,3 %z = 1,5

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle forme a la loi normale ?

Pourquoi c'est important

La loi normale apparaît partout dans le monde réel :
  • Caractéristiques humaines : Tailles, poids, pression artérielle et scores de QI suivent approximativement une loi normale
  • Erreurs de mesure : Les erreurs aléatoires dans les mesures scientifiques tendent à être normalement distribuées
  • Résultats aux tests : Le baccalauréat et de nombreux tests standardisés sont conçus pour produire des distributions normales
  • Contrôle qualité : Les processus de fabrication utilisent les lois normales pour surveiller la qualité des produits
  • Théorème central limite : Les moyennes d'échantillons de N'IMPORTE QUELLE distribution deviennent approximativement normales avec de grands échantillons
Comprendre la loi normale est essentiel pour faire des prédictions, détecter les valeurs aberrantes et comprendre l'inférence statistique.

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité dans la fabrication

Les usines utilisent les lois normales pour surveiller la qualité des produits et définir des plages de tolérance acceptables.

Exemple:

Une usine de boulons produit des boulons avec un diamètre moyen μ=10,00\mu = 10{,}00 mm et σ=0,02\sigma = 0{,}02 mm. Les boulons hors de ±3σ\pm 3\sigma (9,94 mm à 10,06 mm) sont rejetés comme défectueux.

1Essaie par toi-même

Une usine produit des bouteilles qui doivent contenir 500 mL de liquide. Le processus de remplissage suit une loi normale avec μ=500\mu = 500 mL et σ=5\sigma = 5 mL.

Quelle plage contient 95% de toutes les bouteilles ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Utilise la règle 68-95-99,7 avec ±2σ\pm 2\sigma :

Tests médicaux et diagnostic

Les médecins utilisent les lois normales pour interpréter les résultats des tests médicaux et déterminer ce qui est considéré comme sain ou anormal.

Exemple:

Les mesures de pression artérielle sont approximativement normalement distribuées. Une lecture à plus de 2 écarts-types au-dessus de la moyenne de la population peut indiquer une hypertension.

2Essaie par toi-même

Les taux de cholestérol chez les adultes en bonne santé suivent une loi normale avec μ=200\mu = 200 mg/dL et σ=35\sigma = 35 mg/dL. Un taux supérieur à μ+1,5σ\mu + 1{,}5\sigma est considéré comme élevé.

À quel taux de cholestérol un résultat devient-il élevé ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule μ+1,5σ\mu + 1{,}5\sigma :

Points clés

  • 1La loi normale est une courbe symétrique en forme de cloche définie par la moyenne (μ\mu) et l'écart-type (σ\sigma)
  • 2La règle 68-95-99,7 : 68% des données se trouvent dans ±1σ\pm 1\sigma, 95% dans ±2σ\pm 2\sigma, 99,7% dans ±3σ\pm 3\sigma
  • 3Formule du score Z : Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma} indique combien d'écarts-types une valeur est de la moyenne
  • 4La loi normale centrée réduite a μ=0\mu = 0 et σ=1\sigma = 1
  • 5Les lois normales apparaissent dans les tailles, les résultats de tests, les erreurs de mesure et de nombreux phénomènes naturels

Questions fréquentes

La forme du graphique de la loi normale ressemble à une cloche - large au milieu où la plupart des valeurs se trouvent, et s'amincissant symétriquement aux deux extrémités où les valeurs extrêmes sont rares.
La forme du graphique de la loi normale ressemble à une cloche - large au milieu où la plupart des valeurs se trouvent, et s'amincissant symétriquement aux deux extrémités où les valeurs extrêmes sont rares.
Oui ! Un score Z négatif signifie que la valeur est en dessous de la moyenne. Par exemple, z = -1,5 signifie que la valeur est à 1,5 écart-type en dessous de la moyenne. Ce n'est pas mauvais - cela dépend du contexte.
Toute loi normale peut avoir n'importe quelle moyenne et écart-type. La loi normale centrée réduite a spécifiquement moyenne = 0 et écart-type = 1. Nous convertissons vers la normale centrée réduite en utilisant les scores Z.
Non. Les distributions de revenus sont généralement asymétriques (pas symétriques). Les comptages et proportions suivent des distributions différentes. Vérifie toujours si la normalité est une hypothèse raisonnable pour tes données.

Glossaire

Loi normale
Une distribution de probabilité symétrique en forme de cloche définie par sa moyenne et son écart-type
Moyenne (μ)
Le centre de la loi normale ; la valeur moyenne
Écart-type (σ)
Une mesure de dispersion ; indique à quelle distance les valeurs s'écartent typiquement de la moyenne
Score Z
Le nombre d'écarts-types qu'une valeur est de la moyenne : Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Loi normale centrée réduite
Une loi normale avec moyenne 0 et écart-type 1
Règle 68-95-99,7
Dans une loi normale, environ 68% des données sont dans 1σ de la moyenne, 95% dans 2σ, et 99,7% dans 3σ
Courbe en cloche
Un autre nom pour la loi normale, en raison de sa forme de cloche
Percentile
Le pourcentage de valeurs dans une distribution qui sont inférieures à une valeur donnée

Carte des formules

Score Z

Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}

Convertit une valeur brute en unités standard

Valeur brute à partir du score Z

X=μ+Z⋅σX = \mu + Z \cdot \sigma

Reconvertit un score Z en unités d'origine

Règle 68-95-99,7

μ±1σ\mu \pm 1\sigma: 68%, μ±2σ\mu \pm 2\sigma: 95%, μ±3σ\mu \pm 3\sigma: 99,7%

Pourcentages dans les écarts-types

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux distributions de probabilités

Avancé25 min

Probabilité binomiale

Avancé25 min

Distributions discrètes vs continues

Avancé25 min

Espérance mathématique

Avancé25 min