Probabilités avec la loi normale

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Des notes suivent une loi normale avec $\mu = 60$ et $\sigma = 10$ . Quelle expression donne le score z d'une note de 75 ?
1. a) $\frac{75 - 60}{10^2}$
2. b) $\frac{75 - 10}{60}$
3. c) $\frac{75 - 60}{10}$
4. d) $\frac{60 - 75}{10}$
Réponse: $\frac{75 - 60}{10}$
$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{10} = 1{,}5$ . Les autres expressions inversent l'ordre, mélangent les nombres ou divisent par la variance.
2.
La taille des hommes adultes suit une loi normale avec $\mu = 170$ cm et $\sigma = 8$ cm. Quel est le score z d'un homme qui mesure 182 cm ?
Réponse: 1.5
$z = \frac{182 - 170}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ : il se trouve 1,5 écart-type au-dessus de la moyenne.
3.
La table donne $P(Z < 1) = 0{,}8413$ . Combien vaut $P(Z > 1)$ ?
1. a)0,1587
2. b)0,8413
3. c)0,3413
4. d)0,6587
Réponse: 0,1587
$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ . La valeur 0,8413 est l'aire à gauche, et 0,3413 est l'aire entre 0 et 1.
4.
Les pommes d'un verger pèsent $\mu = 150$ g avec $\sigma = 20$ g, selon une loi normale. Utilise $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Quelle proportion des pommes pèse moins de 160 g ? Donne un nombre décimal.
Réponse: 0.6915
$z = \frac{160 - 150}{20} = 0{,}5$ . Une aire à gauche se lit directement : $P(X < 160) = P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ , soit environ 69,15 % des pommes.
5.
Des notes d'examen suivent une loi normale avec $\mu = 72$ et $\sigma = 6$ . La table donne $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ . Calcule $P(X < 81)$ .
Réponse: 0.9332
1. Combien vaut $81 - 72$ ? 9
2. Divise par $\sigma = 6$ . Quel est le score z ? 1.5
3. Combien vaut $P(X < 81)$ en nombre décimal ? 0.9332
4. Quel pourcentage des élèves a moins de 81 ? 93.32
6.
Les temps de livraison de pizzas suivent une loi normale avec $\mu = 30$ min et $\sigma = 5$ min. La table donne $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Calcule la probabilité qu'une livraison dure plus de 40 minutes.
Réponse: 0.0228
1. Quel est le score z de 40 minutes ? 2
2. Combien vaut l'aire à gauche $P(Z < 2)$ ? 0.9772
3. Combien vaut $P(X > 40)$ ? 0.0228
7.
Des bouteilles sont remplies avec $\mu = 500$ mL et $\sigma = 5$ mL, selon une loi normale. Avec $P(Z < 2) = 0{,}9772$ et $P(Z < -1) = 0{,}1587$ , combien vaut $P(495 < X < 510)$ ?
1. a)0,8185
2. b)1,1359
3. c)0,9772
4. d)0,1587
Réponse: 0,8185
$P(495 < X < 510) = P(Z < 2) - P(Z < -1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ . Additionner les deux valeurs donne plus que 1, ce qui est impossible pour une probabilité.
8.
Une batterie d'ordinateur portable dure $\mu = 8$ heures avec $\sigma = 0{,}8$ heure, selon une loi normale. Utilise $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$ . Quelle est la probabilité qu'une batterie dure plus de 9 heures ? Donne un nombre décimal.
Réponse: 0.1056
$z = \frac{9 - 8}{0{,}8} = 1{,}25$ , donc $P(X > 9) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ , environ 10,56 % des batteries.
9.
La taille des femmes suit une loi normale avec $\mu = 165$ cm et $\sigma = 6$ cm. La table donne $P(Z < 1) = 0{,}8413$ et $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ . Calcule $P(156 < X < 171)$ .
Réponse: 0.7745
1. Quel est le score z de 156 cm ? -1.5
2. Quel est le score z de 171 cm ? 1
3. Combien vaut $P(156 < X < 171)$ ? 0.7745
10.
Les scores de QI suivent une loi normale avec $\mu = 100$ et $\sigma = 15$ . Trouve le 90e percentile.
Réponse: 119.2
1. Quel score z a une aire de 0,90 à sa gauche ? 1.28
2. Combien vaut $1{,}28 \times 15$ ? 19.2
3. Quel est le 90e percentile $x = 100 + 19{,}2$ ? 119.2
11.
Pour la taille des femmes ( $\mu = 165$ cm, $\sigma = 6$ cm), on a trouvé $P(X < 174) = 0{,}9332$ . Qu'est-ce que cela signifie ?
1. a)Environ 93,32 % des femmes mesurent exactement 174 cm
2. b)Environ 93,32 % des femmes mesurent moins de 174 cm
3. c)174 cm représente 93,32 % de la taille moyenne
4. d)Environ 93,32 % des femmes mesurent plus de 174 cm
Réponse: Environ 93,32 % des femmes mesurent moins de 174 cm
Une probabilité sous la courbe normale est une proportion de la population : 93,32 % des femmes mesurent moins de 174 cm, donc seulement 6,68 % sont plus grandes.
12.
Des notes d'examen suivent une loi normale avec $\mu = 70$ et $\sigma = 8$ . La table donne $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Quelle proportion des élèves obtient entre 66 et 74 ? Donne un nombre décimal.
Réponse: 0.383
$z = \pm 0{,}5$ . $P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ , donc $P(66 < X < 74) = 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}383$ , environ 38,3 % des élèves.
13.
Une usine fabrique 1000 ampoules. Leur durée de vie suit une loi normale avec $\mu = 1200$ heures et $\sigma = 100$ heures. La table donne $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Environ combien d'ampoules durent plus de 1400 heures ?
Réponse: 23
1. Quel est le score z de 1400 heures ? 2
2. Combien vaut $P(X > 1400)$ ? 0.0228
3. Combien vaut $0{,}0228 \times 1000$ ? 22.8
4. Arrondis à un nombre entier d'ampoules. 23
14.
Une machine remplit des bouteilles avec $\mu = 500$ mL et $\sigma = 4$ mL. Les 5 % les moins remplies sont écartées. Trouve le volume seuil en dessous duquel une bouteille est écartée.
Réponse: 493.42
1. Quel score z a une aire de 0,05 à sa gauche ? -1.645
2. Combien vaut $-1{,}645 \times 4$ ? -6.58
3. Quel est le seuil $x = 500 + (-6{,}58)$ en mL ? 493.42
15.
La taille des hommes suit une loi normale avec $\mu = 175$ cm et $\sigma = 7$ cm. Avec $z \approx 1{,}28$ pour le 90e percentile, quelle taille marque les 10 % les plus grands ?
1. a)166,04 cm
2. b)175,7 cm
3. c)182 cm
4. d)183,96 cm
Réponse: 183,96 cm
$x = 175 + 1{,}28 \times 7 = 175 + 8{,}96 = 183{,}96$ cm. 166,04 cm est le 10e percentile (mauvaise queue), 182 cm est seulement $\mu + \sigma$ , et 175,7 cm traite 10 % comme $0{,}1\sigma$ .
16.
Une batterie de téléphone dure $\mu = 20$ heures avec $\sigma = 2$ heures, selon une loi normale. La table donne $P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514$ . Combien d'heures au moins durent 75 % des batteries ? Donne la réponse avec deux décimales.
Réponse: 18.66
75 % au-dessus de la valeur signifie 0,25 en dessous, donc $z \approx -0{,}67$ (valeur de la table 0,2514). $x = 20 + (-0{,}67) \times 2 = 20 - 1{,}34 = 18{,}66$ heures.
17.
Un entrepôt expédie 4000 colis par jour. Leur masse suit une loi normale avec $\mu = 250$ g et $\sigma = 10$ g. La table donne $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ et $P(Z < -1) = 0{,}1587$ . Environ combien de colis pèsent entre 240 g et 265 g ?
Réponse: 3098
1. Quel est le score z de 240 g ? -1
2. Quel est le score z de 265 g ? 1.5
3. Combien vaut $P(240 < X < 265)$ ? 0.7745
4. Combien de colis sur 4000 cela fait-il ? 3098
18.
Une marque de céréales remplit des boîtes avec $\sigma = 6$ g. L'étiquette indique 500 g, et seulement 2,5 % des boîtes peuvent contenir moins. Sur quelle moyenne $\mu$ faut-il régler la machine ?
Réponse: 511.76
1. Quel score z a une aire de 0,025 à sa gauche ? -1.96
2. Combien de grammes font $1{,}96\sigma$ , c'est-à-dire $1{,}96 \times 6$ ? 11.76
3. 500 g se trouve 11,76 g sous la moyenne. Combien vaut $\mu$ ? 511.76