Guide de l'enseignant: Probabilités avec la loi normale

Calcule des probabilités et des percentiles pour une loi normale en unités réelles : centrer-réduire, lire la table, puis revenir aux valeurs seuils.

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Quiz de classe

10 questions sur Distributions de probabilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer $P(X < a)$ , $P(X > a)$ et $P(a < X < b)$ pour une variable normale en unités réelles
Centrer-réduire des valeurs et lire des aires à gauche dans la table
Résoudre des problèmes inverses : trouver la valeur d'un percentile ou d'un seuil avec $x = \mu + z\sigma$
Interpréter des probabilités comme des proportions et des effectifs d'une population

Prérequis

• Introduction à la loi normale : moyenne, écart-type et courbe en cloche
• Les scores z (cote z) : $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
• Loi normale centrée réduite : lire la table
• Pourcentages et nombres décimaux

Amorces de discussion

1. Avant de calculer, comment une esquisse peut-elle te dire si le résultat est au-dessus ou en dessous de 0,5 ?
2. Pourquoi une seule table suffit-elle pour toute loi normale, quels que soient la moyenne et l'écart-type ?
3. Un fabricant promet que 90 % de ses batteries durent au moins 18 heures. Comment a-t-il pu trouver ce nombre ?
4. Si les 10 % les meilleurs reçoivent un diplôme, pourquoi le seuil n'est-il pas simplement 10 % au-dessus de la moyenne ?
5. Que signifie une mesure dont le score z vaut 4 ?

Idées reçues courantes

La valeur de la table est toujours la réponse

Remédiation: Exige une esquisse pour chaque problème. Demande : la zone hachurée est-elle le côté gauche ? Sinon, que faut-il faire avec la valeur de la table ?

L'aire entre deux valeurs s'obtient avec la différence des scores z

Remédiation: Utilise la visualisation : déplace les deux bornes et compare l'aire avec $P(Z < z_2 - z_1)$ . Montre que la zone de -1 à 2 n'est pas la même que la zone à gauche de 3.

Un percentile et un score z sont le même nombre

Remédiation: Compare le 90e percentile (une aire de 0,90) avec son score z (1,28) et sa valeur brute (80,24 points). Travaille avec trois colonnes : aire, z, x.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement par des aires à gauche et des scores z entiers
• Fournir un modèle : esquisse, z, table, ajustement
• Donner les valeurs de la table dans l'énoncé pour que les élèves se concentrent sur le centrage-réduction et l'ajustement

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger les aires à gauche, à droite et entre deux valeurs dans différentes unités réelles
• Convertir des probabilités en effectifs pour une population donnée
• Résoudre des problèmes inverses pour les meilleurs et les plus bas pourcentages

Pour les élèves avancés:

• Trouver la moyenne à laquelle régler une machine pour que seulement 2,5 % des produits soient sous une limite
• Trouver l'écart-type à partir de la moyenne et d'un percentile connu
• Comparer la règle 68-95-99,7 avec les valeurs exactes de la table

Alignement aux standards

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Utiliser la moyenne et l'écart-type d'une série pour l'ajuster à une loi normale et estimer des pourcentages de la population ; utiliser calculatrices, tableurs et tables pour estimer des aires sous la courbe normale
MP4 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP4)
Modéliser avec les mathématiques

Ressources de la leçon

visualCourbe normale interactive
Les élèves déplacent les bornes en unités réelles et voient changer les scores z et l'aire hachurée
activityChasse aux percentiles
En mode inverse, les élèves trouvent le score z d'une aire cible, puis le convertissent en note seuil
worksheetQuatre zones, une table
Problèmes variés avec aires à gauche, à droite, entre deux valeurs et questions inverses dans différentes unités

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les probabilités avec la loi normale répondent à des questions comme "Quelle proportion de bouteilles contient moins de 494 mL ?" lorsqu'une grandeur

X

suit une loi normale de moyenne

\mu

et d'écart-type

\sigma

, mesurée en unités réelles (cm, points, heures, mL).

La probabilité est l'aire sous la courbe en cloche au-dessus des valeurs demandées. Toute courbe de loi normale devient celle de la loi normale centrée réduite en une seule étape, donc une seule table suffit toujours.

La méthode en quatre étapes

1.Esquisser et hachurer la zone : à gauche de $a$ , à droite de $a$ ou entre $a$ et $b$ .
2.Centrer-réduire : transforme chaque valeur en score z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

3.Lire la table de la loi normale : elle donne l'aire à gauche de $z$ , c'est-à-dire $P(Z < z)$ (voir la leçon sur la loi normale centrée réduite).
4.Adapter à la zone :

À gauche : $P(X < a) = P(Z < z_a)$
À droite : $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Entre deux valeurs : $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Raisonner à l'envers : percentiles et seuils

Parfois l'aire est donnée et c'est la valeur qui manque ("Quelle note marque les 10 % les meilleurs ?"). Cherche dans la table le

z

dont l'aire à gauche correspond, puis reviens aux unités réelles :

x = \mu + z\sigma

Une probabilité de

0{,}9332

signifie aussi 93,32 % de la population, donc chaque résultat se lit comme une proportion de personnes, de bouteilles ou de batteries.

Exemples résolus

Dans un pays, la taille des femmes suit une loi normale avec

\mu = 165

cm et

\sigma = 6

cm. Quelle proportion des femmes mesure moins de 174 cm ?

Esquisser et hachurer

Hachure l'aire à gauche de 174 cm, qui se trouve à droite de la moyenne 165 cm → Le résultat doit dépasser 0,5

Centrer-réduire

z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}

→

z = 1{,}5

Lire la table

Ligne 1,5, colonne 0,00 →

P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

Interpréter

Une aire à gauche ne demande aucun ajustement →

P(X < 174) = 0{,}9332

Réponse: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : environ 93,32 % des femmes mesurent moins de 174 cm.

Erreurs courantes

Prendre directement la valeur de la table pour une question "plus grand que", par exemple $P(X > 14) = 0{,}8944$

Pourquoi c'est faux: La table donne toujours l'aire À GAUCHE de $z$ . La queue droite, c'est tout le reste.

Correct: Soustrais de 1 : $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ . Une esquisse rapide montre que la queue droite est petite, donc 0,8944 ne peut pas être juste.

Soustraire d'abord les scores z : $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Pourquoi c'est faux: Les aires sous une courbe ne fonctionnent pas ainsi. Il faut l'aire jusqu'à chaque borne, puis la différence de ces aires.

Correct: Lis les deux aires à gauche et soustrais-les : $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Centrer-réduire dans le mauvais ordre ou diviser par le mauvais nombre : $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ ou $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Pourquoi c'est faux: Inverser la soustraction change le signe, et tu te retrouves du mauvais côté de la moyenne. Diviser par la variance donne une mauvaise distance.

Correct: Toujours $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : les valeurs au-dessus de la moyenne ont un $z$ positif, celles en dessous un $z$ négatif.

Dans un problème inverse, prendre le pourcentage comme score z (z = 0,90) ou se tromper de queue (z = -1,28 pour les 10 % les meilleurs)

Pourquoi c'est faux: Le pourcentage est une AIRE, que l'on cherche à l'intérieur de la table. Le score z se lit sur les bords des lignes et des colonnes.

Correct: Les 10 % les meilleurs signifient 0,90 à gauche, ce qui donne $z \approx 1{,}28$ (positif, au-dessus de la moyenne). Les 10 % les plus bas donnent $z \approx -1{,}28$ .

Pourquoi c'est important

Les probabilités de la loi normale transforment une moyenne et un écart-type en décisions concrètes :

Industrie : quelle part des bouteilles est sous-remplie, et comment régler la machine pour qu'il n'y en ait presque plus
Santé : les médecins comparent la taille ou le poids d'un enfant aux courbes de croissance, qui sont des percentiles d'une loi normale
Éducation : les jurys d'examen fixent la note des 10 % les meilleurs ou décident combien d'élèves réussissent
Produits : une entreprise ne peut promettre "90 % des batteries durent au moins 18 heures" qu'après ce calcul
Sport et sciences : savoir si un résultat est inhabituel, c'est se demander quelle aire se trouve au-delà

Les mêmes quatre étapes répondent à toutes ces questions, quelles que soient les unités.

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité : canettes sous-remplies

Les usines de boissons vérifient quelle part des canettes est sous la quantité indiquée sur l'étiquette, et règlent les machines de remplissage.

Exemple:

Une chaîne remplit des canettes avec $\mu = 330$ mL et $\sigma = 2$ mL. Toute canette sous 327 mL est signalée comme sous-remplie.

1Essaie par toi-même

Les canettes sont remplies avec $\mu = 330$ mL et $\sigma = 2$ mL, selon une loi normale. La table donne $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ .

Quelle proportion des canettes contient moins de 327 mL ? Donne un nombre décimal.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Centre-réduis 327 mL, puis lis l'aire à gauche :

Courbes de croissance chez le pédiatre

Les pédiatres comparent les bébés aux courbes de croissance. Chaque courbe du carnet est un percentile d'une loi normale.

Exemple:

Dans une étude, le poids des bébés de 6 mois suit à peu près une loi normale avec $\mu = 8$ kg et $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bébé sous le 10e percentile passe un contrôle supplémentaire.

2Essaie par toi-même

Poids à 6 mois : $\mu = 8$ kg, $\sigma = 0{,}5$ kg. La table montre que $z \approx -1{,}28$ a 10 % de l'aire à sa gauche.

En dessous de quel poids (en kg) un bébé fait-il partie des 10 % les plus légers ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $x = \mu + z\sigma$ :

Organiser un marathon en ville

Les organisateurs estiment combien de coureurs seront sur le parcours à certains moments, pour prévoir les ravitaillements et les bénévoles.

Exemple:

Les temps d'arrivée suivent à peu près une loi normale avec $\mu = 240$ minutes et $\sigma = 30$ minutes. Les organisateurs veulent connaître la part des coureurs qui arrivent entre 225 et 285 minutes.

3Essaie par toi-même

Temps d'arrivée : $\mu = 240$ min, $\sigma = 30$ min. Valeurs de la table : $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ et $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$ .

Quelle proportion des coureurs arrive entre 225 et 285 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais les deux aires à gauche :

Points clés

1Pour une probabilité avec la loi normale, esquisse la zone, centre-réduis avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , lis la table, puis ajuste
2La table donne l'aire À GAUCHE : $P(X < a) = P(Z < z_a)$
3Queue droite : $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
4Entre deux valeurs : $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
5Problèmes inverses : cherche $z$ pour l'aire donnée à l'intérieur de la table, puis $x = \mu + z\sigma$ (les 10 % les meilleurs donnent $z \approx 1{,}28$ )
6Une probabilité est aussi une proportion de la population : $0{,}0668$ de 2000 bouteilles, c'est environ 134 bouteilles

Questions fréquentes

Est-ce que $P(X < 174)$ est différent de $P(X \le 174)$ ?

Non. Pour une grandeur continue, une valeur isolée a une probabilité nulle, donc

<

\le

donnent la même aire. C'est différent avec la loi binomiale, où cela compte.

Mon score z a trois décimales, comme 1,645. Que faire ?

Arrondis à deux décimales pour la table, ou prends une valeur entre les deux entrées voisines. Pour

z = 1{,}645

, les aires 0,9495 et 0,9505 sont aussi proches l'une que l'autre, donc 0,95 est une bonne réponse.

Et si le score z dépasse la table, par exemple $z = 4$ ?

Les tables s'arrêtent en général vers 3,49. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 (pour un grand z positif) ou pratiquement 0 (pour un grand z négatif). De telles valeurs sont extrêmement rares.

Pourquoi un percentile correspond-il à l'aire à gauche ?

Le 90e percentile est la valeur sous laquelle se trouvent 90 % de la population. "En dessous" correspond au côté gauche de la courbe, exactement ce que mesure la table.

Glossaire

Centrer-réduire: Transformer une valeur $x$ en score z avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite
Table de la loi normale: Table de la loi normale centrée réduite : pour chaque $z$ , elle donne l'aire à gauche, $P(Z < z)$
Queue gauche / queue droite: L'aire sous la courbe en dessous d'une valeur (gauche) ou au-dessus d'une valeur (droite)
Événement contraire: $P(X > a) = 1 - P(X < a)$ , car l'aire totale sous la courbe vaut 1
Percentile: La valeur sous laquelle se trouve un pourcentage donné de la population, par exemple le 90e percentile
Valeur seuil: La valeur $x = \mu + z\sigma$ qui sépare une aire donnée, par exemple les 10 % les meilleurs

Carte des formules

Centrer-réduire

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Des unités réelles au score z

Aire à gauche

P(X < a) = P(Z < z_a)

Lue directement dans la table

Aire à droite

P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)

Complément de la valeur de la table

Aire entre deux valeurs

P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)

Différence de deux aires à gauche

Valeur seuil

x = \mu + z\sigma

Du score z aux unités réelles (percentiles)

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

La méthode en quatre étapes

Raisonner à l'envers : percentiles et seuils

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité : canettes sous-remplies

Courbes de croissance chez le pédiatre

Organiser un marathon en ville

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Centrer-réduire

Aire à gauche

Aire à droite

Aire entre deux valeurs

Valeur seuil

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