Loi normale centrée réduite

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle moyenne et quel écart-type a la loi normale centrée réduite $N(0, 1)$ ?
1. a) $\mu = 1$ , $\sigma = 0$
2. b) $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
3. c) $\mu = 1$ , $\sigma = 1$
4. d) $\mu = 0$ , $\sigma = 0$
Réponse: $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
La loi normale centrée réduite est centrée en $\mu = 0$ et a pour dispersion $\sigma = 1$ . C'est pourquoi une valeur de $Z$ est directement un nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne.
2.
La table donne $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ . Calcule $P(Z > 0{,}5)$ .
Réponse: 0.3085
$P(Z > 0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
3.
Lis $P(Z \le 1{,}28)$ dans la table. Extrait : la ligne $1{,}2$ contient $0{,}8980$ dans la colonne $0{,}07$ , $0{,}8997$ dans la colonne $0{,}08$ et $0{,}9015$ dans la colonne $0{,}09$ .
Réponse: 0.8997
1. Quelle ligne utilises-tu (z avec une décimale) ? 1.2
2. Quelle colonne utilises-tu (la deuxième décimale) ? 0.08
3. Quelle valeur lis-tu ? 0.8997
4.
La table indique $0{,}8413$ pour $z = 1$ . Que signifie ce nombre ?
1. a)La hauteur de la courbe en $z = 1$
2. b)L'aire à gauche de $z = 1$
3. c)L'aire entre $-1$ et $1$
4. d)L'aire à droite de $z = 1$
Réponse: L'aire à gauche de $z = 1$
La table donne l'aire cumulée à gauche : $\Phi(1) = P(Z \le 1) = 0{,}8413$ . L'aire à droite de $z = 1$ vaut $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
5.
Calcule $P(Z < 0)$ pour la variable $Z$ de loi normale centrée réduite. Donne un nombre décimal.
Réponse: 0.5
La courbe est symétrique par rapport à la moyenne 0, donc exactement la moitié de l'aire est à gauche : $\Phi(0) = 0{,}5$ .
6.
Calcule $P(Z > 2)$ . La table donne $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Réponse: 0.0228
1. Quelle est l'aire à gauche de $z = 2$ ? 0.9772
2. Combien vaut $1 - 0{,}9772$ ? 0.0228
7.
La table donne $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ . Quelle expression est égale à $P(Z < -1{,}2)$ ?
1. a) $-0{,}8849$
2. b) $1 - 0{,}8849$
3. c) $0{,}8849 - 0{,}5$
4. d) $0{,}8849$
Réponse: $1 - 0{,}8849$
Par symétrie $\Phi(-1{,}2) = 1 - \Phi(1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$ . Une aire ne peut pas être négative, et $0{,}8849$ serait plus de la moitié de la courbe à gauche d'un $z$ négatif.
8.
Calcule $P(Z < -0{,}25)$ grâce à la symétrie. La table donne $\Phi(0{,}25) = 0{,}5987$ .
Réponse: 0.4013
1. Par symétrie $P(Z < -0{,}25) = P(Z > 0{,}25)$ . Combien vaut $\Phi(0{,}25)$ ? 0.5987
2. Combien vaut $1 - 0{,}5987$ ? 0.4013
9.
La table donne $\Phi(1{,}75) = 0{,}9599$ . Calcule $P(Z < -1{,}75)$ .
Réponse: 0.0401
$\Phi(-1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) = 1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$ .
10.
Calcule $P(0{,}5 < Z < 1{,}5)$ . Table : $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .
Réponse: 0.2417
1. Quelle est l'aire à gauche jusqu'à la borne supérieure, $\Phi(1{,}5)$ ? 0.9332
2. Quelle est l'aire à gauche jusqu'à la borne inférieure, $\Phi(0{,}5)$ ? 0.6915
3. Combien vaut $0{,}9332 - 0{,}6915$ ? 0.2417
11.
Un camarade a calculé $P(-2 < Z < 2)$ avec la table. Quel résultat passe le contrôle 68-95-99,7 ?
1. a) $0{,}4772$
2. b) $0{,}9974$
3. c) $0{,}9544$
4. d) $0{,}6826$
Réponse: $0{,}9544$
À moins de $\pm 2$ écarts-types il y a environ 95 %. La table donne $\Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544$ . $0{,}6826$ correspond à $\pm 1$ , $0{,}9974$ à $\pm 3$ , et $0{,}4772$ n'est que la moitié de 0 à 2.
12.
Calcule $P(-1 < Z < 1)$ avec la valeur de la table $\Phi(1) = 0{,}8413$ , puis compare avec la règle 68-95-99,7.
Réponse: 0.6826
1. Combien vaut $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ ? 0.1587
2. Combien vaut $0{,}8413 - 0{,}1587$ ? 0.6826
3. Arrondis ton résultat au pour cent près. Quel pourcentage obtiens-tu ? 68
13.
$X$ suit une loi normale avec $\mu = 40$ et $\sigma = 4$ . Centre et réduis $x = 47$ : combien vaut $z$ ?
Réponse: 1.75
$z = \frac{47 - 40}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75$ . La valeur 47 est à 1,75 écart-type au-dessus de la moyenne.
14.
$X$ suit une loi normale avec $\mu = 100$ et $\sigma = 15$ . Calcule $P(X < 118)$ . Table : $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ , $\Phi(1{,}8) = 0{,}9641$ .
Réponse: 0.8849
1. Combien vaut $x - \mu = 118 - 100$ ? 18
2. Combien vaut $z = 18 / 15$ ? 1.2
3. Combien vaut $P(Z < 1{,}2)$ ? 0.8849
15.
$X$ suit une loi normale avec $\mu = 70$ et $\sigma = 5$ . La table donne $\Phi(1{,}6) = 0{,}9452$ . Quelle ligne est correcte pour $P(X > 78)$ ?
1. a) $z = 8$ , aire $0$
2. b) $z = -1{,}6$ , aire $0{,}0548$
3. c) $z = 1{,}6$ , aire $0{,}0548$
4. d) $z = 1{,}6$ , aire $0{,}9452$
Réponse: $z = 1{,}6$ , aire $0{,}0548$
$z = \frac{78 - 70}{5} = 1{,}6$ . On demande une aire à droite : $1 - 0{,}9452 = 0{,}0548$ . $0{,}9452$ est l'aire à gauche, $z = -1{,}6$ a le mauvais signe, et $z = 8$ oublie de diviser par $\sigma$ .
16.
$X$ suit une loi normale avec $\mu = 20$ et $\sigma = 2$ . Calcule $P(19 < X < 24)$ . Table : $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Réponse: 0.6687
1. Centre et réduis la borne inférieure : $z_1 = (19 - 20) / 2$ ? -0.5
2. Centre et réduis la borne supérieure : $z_2 = (24 - 20) / 2$ ? 2
3. Combien vaut $\Phi(-0{,}5) = 1 - 0{,}6915$ ? 0.3085
4. Combien vaut $0{,}9772 - 0{,}3085$ ? 0.6687
17.
La table donne $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$ . Calcule $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96)$ .
Réponse: 0.95
$\Phi(-1{,}96) = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$ , donc $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}95$ . C'est pourquoi $\pm 1{,}96$ apparaît dans les intervalles de confiance à 95 %.
18.
Calcule l'aire en dehors de $\pm 1{,}1$ : $P(Z < -1{,}1 \text{ ou } Z > 1{,}1)$ . Table : $\Phi(1{,}1) = 0{,}8643$ .
Réponse: 0.2714
1. Combien vaut la queue droite $P(Z > 1{,}1) = 1 - 0{,}8643$ ? 0.1357
2. Par symétrie, combien vaut la queue gauche $P(Z < -1{,}1)$ ? 0.1357
3. Combien vaut l'aire extérieure totale ? 0.2714